Analyse I Répétition 1 – 29/09/2011 Théorie naïve des ensembles

Analyse I Année académique 2011-2012 – 1BM
Répétition 1 – 29/09/2011
Théorie naïve des ensembles & Espace euclidien Rd
Exercice 1. Nier les expressions suivantes :
(a) « Il fait beau tous les jours. »
(b) « Tous les lundis, je joue au squash et je me douche. »
(c) « Tous les ans, il y a des semaines où je ne peux pas jouer au squash. »
(d) « Certaines années, je joue au squash tous les lundis. »
Exercice 2. Notons El’ensemble des étudiants de l’ULg, et Sl’ensemble des jours de la semaine.
Pour l’étudiant x∈E, on note hj(x)son heure de réveil le jour j∈S.
(a) Ecrire avec des quantificateurs la proposition : « Tout étudiant se réveille au moins un jour
de la semaine avant 7h. »
(b) Ecrire ensuite la négation de cette proposition avec des symboles mathématiques, puis en
français.
Exercice 3. Si Aet Bsont des parties de l’ensemble X, établir que
∁X(A∪B) = ∁XA∩∁XBet A△B=A∩∁XB∪B∩∁XA
où A△Bdésigne la différence symétrique de Aet B, c’est-à-dire l’ensemble des éléments de
A∪Bqui n’appartiennent pas à A∩B.
Exercice 4. Des parties Ej(j∈J) d’un ensemble Eforment une partition de Esi elles sont
disjointes deux à deux et si leur union contient E. Si Aet Bsont des parties de l’ensemble X,
montrer que
P={A∩B, A \B, B \A, X \(A∪B)}
forme une partition de X.
Exercice 5. Soient Aet Bdes parties de l’ensemble X. Montrer que A=Bsi et seulement si
A∩∁XB∪B∩∁XA=∅.
Exercice 6. Soient les ensembles Aet Bet soit l’application f:A→B.
(a) Si Bj⊂Bpour tout j∈J, montrer que
f−1
\
j∈J
Bj
=\
j∈J
f−1(Bj).
(b) Si A′⊂Aet B′⊂B, montrer que
f(A\A′) ? B\f(A′)et f−1(B\B′) = A\f−1(B′).

Exercice 7. Soient les points xet yde R4dont les coordonnées sont x= (1,0,1
2,−1) et
y= (3,−1,1
2,1). Calculer hx, yi,2x+y,|x|,|y|et d(x, y).
Exercice 8. Si xk, yk∈Rd(k= 1, . . . , K avec K∈N0), montrer que
K
X
k=1
hxk, yki
2
≤ K
X
k=1
|xk|2!
K
X
j=1
|yj|2
.
Exercice 9. Si xet ysont deux points de Rd, démontrer que
hx, yi=
d
X
j=1
hx, eji hy, ejiet hx, yi=1
4|x+y|2− |x−y|2.
Exercice 10. Si xet ysont deux points de Rd, démontrer que
|x+y|
1 + |x+y|≤|x| 1 + |x|+|y| 1 + |y|et 1 + |x+y|2≤21 + |x|21 + |y|2.
Exercices proposés
Exercice 11. Nier les expressions suivantes :
(a) « Tous les lundis où il fait beau, je joue au tennis. »
(b) « Tous les lundis, s’il fait beau, je joue au tennis. »
(c) « Tous les lundis, je joue au squash ou je me douche. »
(d) « Je joue au squash au moins une fois par semaine. »
Exercice 12. Si Aet Bsont des parties de l’ensemble X, établir que
∁X(A∩B) = ∁XA∪∁XB.
Exercice 13. Soient A1, . . . , Andes parties de l’ensemble X. On note A=Sn
j=1 Aj. Montrer
que, si les ensembles
B1=A1, Bp=Ap∩∁A
p−1
[
j=1
Aj
, p = 2, . . . , n,
ne sont pas vides, ils constituent une partition de A.
Exercice 14. Montrer que, pour tout (x, y)∈[−1,1] ×[−1,1], on a l’inégalité
xp1−y2+yp1−x2≤1.
Quand a-t-on l’égalité ?
Exercice 15. (a) Si xet ysont des points de Rddifférents de 0, démontrer que
x
|x|2−y |y|2
=|x−y|
|x||y|.
(b) En déduire que
|x||y−z| ≤ |y||z−x|+|z||x−y|
pour tous x, y, z ∈Rd.
M. Kreusch, C. Ruwet et L. Simons – 29 septembre 2011

Analyse I Année académique 2011-2012 – 1BM
Répétition 2 – 5/10/2011
Ensembles bornés & Suites de base dans R
Exercice 1. Trouver, si elles existent, les bornes supérieure et inférieure des ensembles suivants et établir
si elles sont réalisées :
(a) {x∈R:x≤1}
(b) {x∈R:x < 1}
(c) {0} ∪ {x∈R:x≥1}
(d) {0} ∪ {x∈R: 1 < x < 2}
(e) {(−1)m/m :m∈N0}
(f) {1−1/m :m∈N0}
Exercice 2. Si a∈R, calculer la distance entre les ensembles {a}et ]0,1[.
Exercice 3. Si Aest une partie non vide et bornée de R, montrer que
sup
x∈A
(rx) = 
rsup
x∈A
xsi r≥0
rinf
x∈Axsi r < 0.
Exercice 4. Soit Bune partie non vide et bornée de Rd. Démontrer que l’ensemble
Br=nx∈Rd: d(x, B)≤ro
est borné quel que soit r≥0. Etablir ensuite la relation
sup
x∈Br|x|= sup
y∈B|y|+r.
Exercice 5. Montrer que la suite (xj)j∈N0définie par xj= (−1)j/j converge vers 0.
Exercice 6. Etablir la convergence de la suite (xj)j∈N0lorsque
xj=2j2+ 5j+ 1
3j2+ 1 , xj=pj2+j+ 1 −pj2−j+ 1 et xj=j−3
pj3+j2.
Exercice 7 (Suites de base).(a) Pour tout a∈R, étudier la convergence de la suite (aj/j!)j∈N0.
(b) Etudier la convergence de la suite (aj)j∈N0pour toutes les valeurs réelles du paramètre a.
(c) Pour tout a > 0fixé, étudier la convergence de la suite (a1/j )j∈N0.
(d) Etudier la convergence de la suite (j
√j)j∈N0.
Exercices proposés
Exercice 8. Trouver, si elles existent, les bornes supérieure et inférieure des ensembles suivants et établir
si elles sont réalisées :
(a) ]10,36] (b) (−1)kk
k+ 1 :k∈N(c) {x2:x∈]−1,1/2[}
Exercice 9. Montrer que, dans Rd, la distance d’un point x0au plan
Π = nx∈Rd:ha, xi+b= 0o, a ∈Rd\{0}, b ∈R,
est donnée par
d(x0,Π) = |ha, x0i+b|
|a|.
Exercice 10. Montrer que si Eest un borné non vide de R, alors
diam(E) = sup
x∈E
x−inf
x∈Ex.
Exercice 11. Etablir la convergence de la suite (xj)j∈N0lorsque
xj=pjpj+ 1 −pjet xj=pj2+ 2 −3
pj3+ 3j.
M. Kreusch, C. Ruwet et L. Simons – 4 octobre 2011

Analyse I Année académique 2011-2012 – 1BM
Répétition 3 – 11/10/2011
Suites et suites récurrentes
Exercice 1. Étudier la convergence des suites (xj)j∈N0de terme général égal à
(a) xj=j!
jj,(b) xj=j
pj2,(c) xj=j2
pj!,(d) xj=(j!)2
(2j)!.
Exercice 2. Si a∈R, étudier la convergence des suites (xj)j∈N0de terme général égal à
(a) xj=j2+ 2
j2+j+ 1aj,(b) xj=aj 1 + a2j,(c) xj= 2jaj,
(d) xj=j2
aj,(e) xj=j3
√j
(a−1)2j−1.
Exercice 3. Étudier la convergence de la suite (xj)j∈N0de terme général
xj=j−pj2+ 2(x+ 1)j+ 5
1−(x+ 1)j
pour toutes les valeurs réelles du paramètre x.
Exercice 4. Dans R2, étudier la convergence des suites (xj)j∈N0de terme général égal à
(a) xj=1
j,1 j+ 1,(b) xj=j
pj, j!
jj,(c) xj= j j+ 1,1−1 j2!.
Exercice 5. Établir que la suite (xj)j∈Ndéfinie par récurrence selon
x0=√2et xj=p2 + xj−1, j ∈N0
converge vers 2.
Exercice 6. Établir que, pour tout a > 0, la suite (rj)j∈Ndéfinie par récurrence selon
r0>0et rj+1 =1
2rj+a rj, j ∈N
converge vers √a.
Exercice 7. Étudier la convergence de la suite (xj)j∈Ndéfinie par récurrence selon
x0>0et xj+1 =xj(2x2
j+ 1)
x2
j+ 5 , j ∈N.
Exercices proposés
Exercice 8. Si a∈Ret b∈C, étudier la convergence des suites (xj)j∈N0de terme général égal à
(a) xj=aj, (b) xj=bj, (c) xj=1
√j(a−1)j,(d) xj= (a
2+ 1)j[3
pj+ 1 −3
pj].
Exercice 9. Etudier la convergence des suites (xj)j∈Ndéfinies par récurrence selon
(a) x0=−2et xj+1 =xj
3−xj
, j ∈N,(b) x0=√3et xj+1 =p3 + 2xj, j ∈N,
(c) x0=−2et xj+1 =2 + xj
1 + 2xj
, j ∈N.
M. Kreusch, C. Ruwet et L. Simons – 5 octobre 2011

Analyse I Année académique 2011-2012 – 1BM
Répétition 4 – 19/10/2011
Suites (fin) et topologie
Exercice 1. Etudier la convergence des suites (xj)j∈N0de terme général égal à
(a) xj=
j
X
k=0
1
(j+k)2,(b) xj=
j
X
k=1
1
k(k+ 1),(c) xj=1 j
j
X
k=1
k2
√k,
(d) xj=1 + √a+. . . +j
√a
j(a > 0).
Exercice 2. Si Aet Bsont deux parties non vides de Rd, montrer que
A−=A◦∪A•et (A∩B)◦=A◦∩B◦.
Exercice 3. Soit Aune partie non vide de Rd. Démontrer que les ensembles
Aj=nx∈Rd: d(x, A)≤1/jo, j ∈N0
sont des fermés non vides dont l’intersection coïncide avec A−.
Exercices proposés
Exercice 4. Etudier la convergence de la suite (xj)j∈N0de terme général xjégal à
xj=1
j(1 + √2 + 3
√3 + . . . +j
pj).
Exercice 5. Montrer que la suite (xj)j∈N0converge, où
xj=
j
X
k=0
1
j+k.
Exercice 6. Si Aet Bsont deux parties non vides de Rd, montrer que (A∪B)−=A−∪B−.
Exercice 7. Soit Aune partie non vide de Rd. Démontrer que les ensembles
Aj=nx∈Rd: d(x, ∁A)>1/jo, j ∈N0
sont des ouverts dont l’union est A◦.
M. Kreusch, C. Ruwet et L. Simons – 7 octobre 2011