D1_b_Activités suppl_Suites et séries_3A_2014

Travaux supplémentaires : suites et séries
Résoudre un des problèmes proposés ci-dessous.
Titre du travail de groupe :
Noms
des élèves :
(max. 2 élèves)
Date de
présentation :
Notes :
01) Découverte de la suite Fn
de Fibonacci trois activités à
traiter simultanément.
02) Dérivation géométrique de
l’équation pour Φ (Phi)
Deux activités à traiter en
parallèle. Φ est le nombre d’or.
03) Découvrir la formule de
n
1
Binet : Fn =
Φn − Φ
5
(
( ))
04) Limite de Fn / Fn-1.
Prouver que si n → ∞ alors
Fn/ Fn-1 → Φ
05) Découvrir la courbe
de Von Koch
Notion de fractale
06 ) Découvrir la spirale d’or
07 ) Le calcul de π par la
méthode d’Archimède
08 ) Le binôme de Newton
09 ) Dosage de chlore
10 ) Capital à intérêts
composés et valeur de l’annuité
P.S. 2014-2015
1
Activités Suites et séries 3A
Indications pour les travaux de groupes :
• Présentation :
a) Manuscrite sur des feuilles A4.
b) L’énoncé des exercices doit faire partie de la présentation.
b) Ecrire lisiblement au stylo (mais pas rouge).
• Critères d'évaluations :
a) Autonomie dans la recherche des solutions.
b) Pertinence des réflexions, résultats.
c) Clarté, présentation.
d) Présentation orale.
• Durée de présentation :
a) 30 minutes au maximum.
b) Chaque élève doit présenter oralement une partie du travail.
P.S. 2014-2015
2
Activités Suites et séries 3A
Travail de groupe 01
Découverte de la suite Fn de Fibonacci
a) Enoncé : Les faux-bourdons.
Indications
L’arbre généalogique
Un arbre généalogique ascendant représente tous les ancêtres d’un individu.
On place cet individu au bas de la feuille, et on dessine les deux branches qui le relient à ses
parents. Les parents sont représentés selon leur sexe :
pour le père
pour la mère
On continue l’arbre en représentant les parents des parents, et ainsi de suite.
(Toutes les personnes d’une même génération sont dessinées au même niveau).
La reproduction chez les abeilles
La population des abeilles comporte trois sortes d’individus :
- La reine, seule femelle féconde.
- Les faux-bourdons, qui sont les mâles.
- Les ouvrières, qui sont des femelles stériles.
La reine s’accouple au printemps avec des faux-bourdons et a ensuite la faculté de pondre deux
sortes d’œufs :
- Des œufs fécondés d’où naîtront des femelles, reine ou ouvrières.
- Des œufs non fécondés d’où naîtront des faux-bourdons.
On peut en conclure que les abeilles femelles ont deux parents, alors que les faux-bourdons n’ont
pas de père !
Question
Avec les informations ci-dessus, trouver le nombre maximum des ascendants d’un faux-bourdon
à la 1ère, 2ème, 3ème, 4ème, 5ème et 6ème , ……… et 12ème génération ?
Indication :Le dessin de l’arbre généalogique peut aider à répondre aux questions précédentes.
b) Enoncé : Les lapins de Fibonacci.
Énoncé du XIIe Siècle
« Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin d'une année si,
commençant avec un couple, chacun des couples produit chaque mois
un nouveau couple, lequel devient productif au second mois de son existence ? »
Énoncé actualisé
Si, dès que les deux lapins d’un couple sont âgés de deux mois, ce couple engendre chaque mois
un nouveau couple de lapins, trouver combien il y aura de couples de lapins au bout d’une année.
Indication : en partant d’un couple né début janvier, déterminer le nombre de couples de lapins
qu’il y aura en janvier, février, mars, avril, mai, juin, …… et décembre.
P.S. 2014-2015
3
Activités Suites et séries 3A
Compléments sur la suite de Fibonnacci
• Qui est Fibonacci ?
De son vrai nom Léonard de Pise, Fibonacci est né en Italie, plus précisément à Pise en 1175. Il
décède en 1240 à l’âge de 65 ans. Dans sa jeunesse, il apprend les bases de l’arithmétique dans sa
ville natale. Fils de marchand, il voyage beaucoup avec son père, ce qui lui permet de lire les
écrits de plusieurs mathématiciens arabes tel que, Al Khwarizmi, qui fut le premier à utiliser le
système algébrique. Par la suite, il fit plusieurs autres voyages autour de la mer Méditerranée lors
desquels il étudia le système de numération indienne et les différents systèmes de calculs
pratiqués en Orient. Lorsqu’il revint de ses voyages, il décida de publier un livre, Liber abbaci,
qui parle des méthodes arabes en mathématique, qui permettront un progrès important des
mathématiques et notamment de l’algèbre. En 1220, Fibonnaci sort un autre livre, intitulé Patrica
geometriae, qui regroupe toutes les connaissances de l’époque en géométrie et en trigonométrie.
En plus de faire parvenir à l’Europe les connaissances orientales et ancestrales mathématiques,
Fibonacci poursuit ses propres travaux. Bien évidemment c’est Leonard de Pise qui présenta la
fameuse « suite de Fibonacci ». C’est grâce à une étude sur la reproduction des lapins qu’il
parvient à mettre en place cette suite.
Léonard de Pise dit Fibonacci
• Définition :
Les nombres de Fibonacci forment une suite de nombres que l'on appelle suite de Fibonacci.
Un nombre de la suite s'obtient en ajoutant les deux nombres précédents de la suite :
Si on note Fn le nème nombre de Fibonacci, Fn = Fn - 1 + Fn - 2
Voila les premiers nombres de la suite : F1 = 1 ; F2 = 1 ; F3 = 2 ; F4 = 3 ; ...etc
indice n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
...
...
Fn
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
...
...
P.S. 2014-2015
4
Activités Suites et séries 3A
Le nom de suite de Fibonacci a été donné par l'arithméticien français Edouard Lucas en 1817,
alors qu'il étudiait ce qu'on appelle aujourd'hui les "suites de Fibonacci généralisées" obtenues
en changeant les deux premiers termes de la suite de Fibonacci et qui suivent le même procédé de
construction.
La plus simple d'entre elles, dont les deux premiers termes sont 1 et 3, s'appelle aujourd'hui ... la
suite de ... Lucas ! (Elle commence par 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ...). Les suites de Fibonacci et de
Lucas sont très liées.
• Quelques résultats mathématiques sur les nombres de Fibonacci et de Lucas :
On note (Fn) la suite de Fibonacci définie par Fn = Fn - 1 + Fn - 2 ; F1 = 1 et F2 = 1 .
On note (Ln) la suite de Lucas définie par Ln = Ln - 1 + Ln - 2 ; L1 = 1 et L2 = 3 .
On note (Gn) une suite de Fibonacci "généralisée" définie par Gn = Gn - 1 + Gn - 2 sans préciser les
valeurs de G1 et G2 .
Voici quelques résultats intéressants.
1. Fn2 = Fn-1 Fn-2 + e , où e = 1 ou -1
2. Gn2 = Gn-1 Gn-2 + e (G22 - G12 - G1G2) , où e = 1 ou -1
3. Fn2 + Fn+12 = F2n+1
4. Fn+22 - Fn+12 = Fn Fn+3
5. Ln = Fn-1 + Fn+1
6. FnLn = F2n
7. Pour tout entier n, il existe une infinité de nombre de Fibonacci divisibles par n.
8. Pour tout entier n, il existe un nombre de Fibonacci divisible par n, parmi les 2n premiers
termes de la suite.
9. Pour tout entier n différent de 3, si Fn est un nombre premier alors n est un nombre premier.
La réciproque est fausse ! F19 = 4181 = 37 x 113 est le plus petit contre-exemple.
On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres premiers parmi les nombres de Fibonacci.
10. Pour tout entier n différent de 3, si n n'est pas un nombre premier alors Fn n'est pas un
nombre premier.
(Formulation contraposée de la proposition précédente)
11. F12 = 144 est la seul carré parfait de la suite de Fibonacci (à part les triviaux F1 = 1 et F2 =
1)
12. Fm+n = Fm+1Fn + FmFn-1
13. si m divise n alors Fm divise Fn
14. PGCD (Fn ; Fn+1) = 1 pour tout n
15. PGCD (Fm ; Fn) = FPGCD(m ; n)
La proposition 15 est fascinante !
Elle affirme que le PGCD de deux nombres de Fibonacci est aussi un nombre de Fibonacci et
que, de plus, ce n'est pas n'importe lequel...
P.S. 2014-2015
5
Activités Suites et séries 3A
Travail de groupe 02
Dérivation géométrique de l'équation pour Φ
a) Enoncé : Le rectangle d’or
E
A
Quelles doivent être les dimensions du rectangle
ABCD si l’on veut que le rapport entre l’aire du
carré ABGE et le rectangle ABCD soit égal au
rapport entre l’aire du carré DEFH et celle du
rectangle CDEG ?
D
F
B
H
C
G
b) Enoncé : Le triangle d'or
C
Le triangle ci-contre est un triangle isocèle dont l’angle
ACB vaut 36°. Le segment AD est la bissectrice de l’angle
CAB.
36°
Calculer le rapport entre les segments CD et DB.
D
A
P.S. 2014-2015
6
B
Activités Suites et séries 3A
Compléments sur le nombre d'or
• Définition et notation
Le nombre d'or (désigné par la lettre grecque Φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias)
peut-être défini comme la solution positive de l'équation du 2ème degré :
Φ 2 −Φ − 1 = 0
(voir rectangle et triangle d'or)
Solution positive de l'équation : Φ =
1+ 5
2
Solution négative de l'équation : Φ =
1− 5
2
Remarques : Le nombre d'or Φ est un nombre irrationnel et Φ = 1,618033989......
• Ou rencontre-t-on le nombre d'or ?
a) Le nombre d’or est dans la nature (tournesols).
b) Le nombre d’or "définit l'Homme".
c) Le nombre d’or est dans les arts (architecture et peinture).
• Quelques propriété du nombre d’or :
a) Le nombre d'or Φ est le seul nombre réel positif qui, augmenté de un, est égal à son carré.
Explication :
Φ 2 −Φ − 1 = 0 ⇔ Φ 2 = Φ + 1
2
(
1+ 5
⎛ 1+ 5 ⎞
Donc Φ 2 = ⎜
⎟ =
4
⎝ 2 ⎠
)
2
=
1+ 2⋅ 5 + 5 2 + 2⋅ 5 + 4 ⎛1+ 5 ⎞
=
=⎜
⎟ +1 =Φ +1
4
4
⎝ 2 ⎠
b) Le nombre d'or Φ est le seul nombre réel positif qui est égal à son inverse augmenté de un.
Explication :
Φ 2 −Φ − 1 = 0
Donc
1
Φ
+1=
(
⇔ Φ ⋅ (Φ − 1) = 1
)
(
⇔ Φ −1=
1
Φ
⇔ Φ=
1
Φ
+1
)
2⋅ 1− 5
2⋅ 1− 5
⎛ 1− 5 ⎞
1
1+ 5
+1=
+1=
+ 1 = −⎜
=Φ
⎟+1=
−4
2
1+ 5
1+ 5 ⋅ 1− 5
⎝ 2 ⎠
2
P.S. 2014-2015
(
)(
)
7
Activités Suites et séries 3A
Le nombre d’or dans la nature
Le tournesol est composé de fleurons, sortes de petites fleurs, qui forment la fleur de tournesol. Les
parastiches sont des courbes formées par les différents fleurons de la fleur de tournesol. Il existe
deux types de parastiches, l’une qui va dans le sens des aiguilles d’une montre, sens indirect et
l’autre dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, sens direct.
Il est important de remarquer que le nombre de parastiches qui vont dans le sens direct est de 21
et que le nombre de parastiches qui vont dans le sens indirect est de 34. Il faut également préciser
que ces nombres sont valables pour tous les tournesols. On remarque que 21 et 34 sont deux
nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.
Or, le rapport entre deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers le nombre d’or :
34
= 1,619047 ≅ Φ
21
L’homme et le nombre d’or
Les rapports "hauteur totale / distance sol-nombril" et "distance sol-nombril / distance
nombril-sommet du crâne" sont égaux et la valeur des rapports est d'environ 1,6 ≅ Φ.
Au moyen âge, les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituée de cinq tiges
articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l'époque, relatives au corps humain :
la paume, la palme, l'empan, le pied et la coudée.
Les longueurs étaient donnée en lignes, une
ligne mesurant environ 2 mm (précisément
2,247 mm) :
paume
34 lignes
7,64 cm
palme
55 lignes
12,63 cm
empan
pied
89 lignes
144 lignes
20 cm
32,36 cm
coudée
233 lignes
52,36 cm
Pour passer d'une mesure à la suivante, on
peut constater que l'on multiplie par le
nombre d'or, environ 1,618.
P.S. 2014-2015
8
Activités Suites et séries 3A
Le nombre d’or et les arts
En architecture :
La pyramide de Kheops a été construite aux environs de 2530 avant Jésus-Christ par les
Egyptiens. Elle a été édifiée à quelques kilomètres du Caire sur le plateau de Gizeh par le roi
d’Égypte de l’époque, Kheops, à qui elle doit son nom. La pyramide de Kheops est un tombeau
pour le pharaon. Elle a été bâtie au même endroit que d’autres monuments funéraires, les
pyramides de Khephren et Mykerinos et également le Sphinx. A l’époque, la pyramide était
recouverte d’une fine pellicule de calcaire blanc qui, au fil du temps, a disparu. Cette couche lui
avait donné le nom de «Lumière ». Elle mesurait environ 147 mètres de hauteur et le côté de sa
base, qui est carré, 230 mètres, pour un volume total de 2600000 m3 (le temps ayant fait son
travail sa taille a diminué pour atteindre 139 mètres) et pesait environ 5 millions de tonnes. Les
quatre angles de sa base coïncident avec les quatre points cardinaux. Elle fait partie des sept
merveilles du monde et c’est le seul monument, qui composait ces sept merveilles, qui existe
toujours, les autres ayant été détruites.
Pyramide de Kheops
Le rapport entre l’apothème EF et le demi côté de la pyramide GF est proche du nombre
d’or.
Explications :
CB = 230 m
GF =
CB
= 115 m
2
GE = 147 m
2
2
2
2
EF = GF
+ GE
= 115 + 147 ≅ 186.6 m
Thm. de Pythagore
EF 186.6 m
≅
≅ 1.62 ≅ Φ
GF 115 m
Les Egyptiens ont-ils fait exprès d’inscrire le nombre d’or dans cette pyramide ? A cause du
manque de document à ce sujet, il est impossible de l'affirmer.
P.S. 2014-2015
9
Activités Suites et séries 3A
En peinture
Voici une toile du 15ème siècle : «la naissance de Vénus». Cette peinture a été réalisée au environ
de 1432 par Sandro Botticelli. Il a été inspiré par la littérature grecque et romaine. Botticelli a
très certainement voulu représenter, avec cette toile, la naissance de l’humanité. Les tableaux de
ce peintre représentent souvent un monde idéal.
La naissance de Vénus
Voyons maintenant où se trouve le nombre d’or dans ce tableau. Le format du tableau correspond
à un Rectangle d'Or. Le groupe des Vents, à gauche du tableau, le personnage de la Grâce à
droite, s'inscrivent dans des Rectangles d'Or et plus précisément le long des diagonales de ces
rectangles d'or. Il est possible également de tracer deux cercles dont le diamètre correspond au
côté de ces Rectangles d'Or. Le cercle de gauche renferme le groupe des Vents et Vénus, le
cercle de droite Vénus et le personnage de la Grâce. Le nombre d'or apporte donc une clef à la
composition de ce tableau.
P.S. 2014-2015
10
Activités Suites et séries 3A
Travail de groupe 03 : Découvrir la formule de Binet
Il existe une relation entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or.
Cette relation donne le nième terme Fn de cette suite en fonction des deux solutions de l'équation :
Φ 2 −Φ − 1 = 0
c'est-à-dire
1+ 5
(solution positive de l'équation) et
2
Φ=
nombre d ' or
Φ=
1− 5
(solution négative de l'équation).
2
Fn =
(
( ))
1
Φn - Φ
5
n
(formule de Binet)
La formule de Binet permet donc de calculer un terme quelconque de la suite de Fibonacci sans
connaître les deux nombres qui le précédent.
a) Démontrer par récurrence, que la suite des puissances entières positives du nombre d'or,
Gn = Φ n est une suite de Fibonacci généralisée. Il en est de même pour Φ .
Autrement dit à voir que: Φ n = Φ n −1 + Φ n − 2 ∀n ≥ 2 et
Indication : Φ − Φ − 1 = 0
2
n
Φ =Φ
n −1
+Φ
n −2
∀n ≥ 2
2
et Φ − Φ − 1 = 0
0
b) i) Pour 2 ≤ n ≤ 8, déterminer αn et βn afin que Φ n = α n ⋅Φ 1 + β n ⋅Φ
N
=1
ii) Que constatez-vous ?
c) i) Exprimer Φ n en fonction de Fn, Fn−1, Φ1 et Φ0 , puis faire de même avec Φ au lieu de Φ,
n
1
0
( Φ en fonction de Fn, Fn−1, Φ et Φ ).
ii) En déduire Fn en fonction de Φ et Φ .
P.S. 2014-2015
11
Activités Suites et séries 3A
Compléments sur la formule de Binet
• Qui est Jacques Binet ?
Jacques Binet est né en 1786 à Rennes et il est décédé en 1856 à Paris. Il fit ses études
supérieures à l’école polytechnique de Paris dès 1804. Il devient professeur de cette même école
en 1807. On peut encore dire qu’il travaillait également pour le gouvernement français au
Département des Ponts et Chaussées. Binet fut bien évidemment un grand mathématicien. Outre
sa formule pour le calcul du nième terme de la suite de Fibonacci, il découvrit la règle de
multiplication de deux matrices. Il écrivit également plusieurs articles qui influencèrent les
mathématiques comme, par exemple, le Mémoire sur les intégrales définies eulériennes. Pour
finir, Jaques Binet fut nommé au rang de Chevalier de la légion d’honneur et fut élu à l'Académie
des Sciences en 1843.
Jacques Binet
• La formule de Binet
La formule de Binet permet, rappelons le, de calculer un terme quelconque de la suite de
Fibonacci sans connaître les deux nombres qui le précédent.
La formule de Binet est la suivante :
Fn =
(
n
1
⋅ Φ n −Φ
5
1
Fn =
5
)
⎡⎛ 1 + 5 ⎞ n ⎛ 1 − 5 ⎞n ⎤
⋅ ⎢⎜
⎟ −⎜
⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
Remarque
Comme n > 0 et que −1< Φ < 0, ceci implique que plus n est grand plus ( Φ )n est proche de 0,
1
donc pour n suffisamment grand : Fn ≅
Φn .
5
P.S. 2014-2015
12
Activités Suites et séries 3A
• Démonstration de la formule de Binet par récurrence
On vérifie que la formule est juste pour n =1 et n=2
n=1
1
1
1 ⎡⎛ 1 + 5 ⎞ ⎛ 1 − 5 ⎞ ⎤
1 1+ 5 −1+ 5
1 2⋅ 5
5
F1 =
⋅ ⎢⎜
⋅
=
⋅
=
=1
⎟ −⎜
⎟ ⎥=
2
2
5 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥
5
5
5
⎣
⎦
On voit qu’elle est juste pour n=1.
n=2
2
2
1 ⎡⎛ 1 + 5 ⎞ ⎛ 1 − 5 ⎞ ⎤
1 ⎡1 + 2 ⋅ 5 + 5 1 − 2 ⋅ 5 + 5 ⎤
F2 =
⋅ ⎢⎜
⋅⎢
−
⎟ −⎜
⎟ ⎥=
⎥=
4
4
5 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥
5 ⎣
⎦
⎣
⎦
1 1+ 2⋅ 5 + 5 −1+ 2⋅ 5 − 5
1 4⋅ 5 4⋅ 5
⋅
=
⋅
=
=1
4
4
5
5
4⋅ 5
On voit que la formule est également juste pour n=2.
Etant donnée que la formule est juste pour les deux premiers termes, on suppose qu’elle est vraie
pour n. Si la formule est vraie pour n montrons alors, qu'elle est également vraie pour n+1.
On veut donc trouver : Fn +1
Fn+1
n +1
1 ⎡ n +1
1 ⎡⎛ 1 + 5 ⎞
=
⋅ Φ −Φ ⎤ =
⋅ ⎢⎜
⎟
⎦
5 ⎣
5 ⎢⎝ 2 ⎠
⎣
n +1
⎛ 1− 5 ⎞
−⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
n +1
⎤
⎥
⎥⎦
n
n
n −1
n −1
⎛ 1− 5 ⎞ ⎤
1 ⎡⎛ 1 + 5 ⎞ ⎛ 1 − 5 ⎞ ⎤ 1 ⎡⎛ 1 + 5 ⎞
= Fn + Fn-1 =
⋅ ⎢⎜
⋅ ⎢⎜
⎟ −⎜
⎟ ⎥+
⎟ −⎜
⎟ ⎥=
2 ⎠ ⎥
5 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥
5 ⎢⎝ 2 ⎠
⎝
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
1 ⎢2⋅ 1+ 5
⋅
2 ⋅ 2n
5 ⎢
⎣⎢
(
)
(
)
⎡
1 ⎢2⋅ 1+ 5
⋅
5 ⎢
⎢⎣
(
n
−
n
(
2⋅ 1− 5
)
n
2 ⋅ 2n
(
− 2⋅ 1− 5
) − (1 + 5 ) ⋅ (1 − 5 ) ⋅ (1 + 5 )
n
) (
)(
NB : -4= 1 + 5 ⋅ 1 − 5
P.S. 2014-2015
n −1
)
n −1
(
⎤
⎥=
⎥
⎦⎥
)(
)(
+ 1+ 5 ⋅ 1− 5 ⋅ 1− 5
2 n +1
) (
n
⎡
1− 5
1 ⎢ 1+ 5 ⋅ 2 −1+ 5
⋅
+
2 n +1
5 ⎢
⎣⎢
(
(
−4 ⋅ ( 1 + 5 )n −1 −4 ⋅ 1 − 5
+
−
−4 ⋅ 2n −1
−4 ⋅ 2 n −1
) ⋅ ( −2 + 1 + 5 ) ⎤⎥ =
n
⎥
⎦⎥
2 n +1
)
n −1
⎤
⎥=
⎥
⎥⎦
n +1
n +1
⎛ 1− 5 ⎞ ⎤
1 ⎡⎛ 1 + 5 ⎞
⋅ ⎢⎜
⎟ −⎜
⎟ ⎥
2 ⎠ ⎥
5 ⎢⎝ 2 ⎠
⎝
⎣
⎦
)
13
Activités Suites et séries 3A
Travail de groupe 04 : Limite de Fn / Fn-1
a) On note {Fn } la suite de Fibonacci définie par Fn = Fn −1 + Fn − 2 ; F1 = 1 et F2 = 1 .
i) Calculer les 12 premiers termes de la suite {Fn }.
ii) Considérons la suite {U k } définie par U k =
Fk+1
.
Fk
Calculer les 10 premiers termes de la suite {U k } (avec quatre chiffres significatifs).
Que constate-t-on ?
iii) Considérons la suite {Δk } définie par Δk = U k+1 − U k .
Calculer les 8 premiers termes de la suite {Δk } (avec quatre chiffres significatifs).
Que constate-t-on ?
b) Démonter que si k → ∞ alors U k → Φ (le nombre d'or)
i) En admettant que pour k grand :
Fk
F
= k+1
Fk-1
Fk
ii) En utilisant la formule de Binet.
P.S. 2014-2015
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Activités Suites et séries 3A
Travail de groupe 05 : La courbe de Von Koch.
Niels Fabian Helge Von Koch est né le 25 janvier 1870 à Stockholm en Suède.
Il est célèbre par la courbe qui porte son nom, dont l'étude a été publiée en 1904.
Il est mort le 11 mars 1924 à Stockholm en Suède, sa ville natale.
On construit, par étape, une ligne polygonale.
Étape 0
Étape 1
Étape 2
Étape 3
Étape 0 : on a une ligne polygonale, formée d'un seul segment, de longueur 1.
Étape 1 : le segment présent à l'étape 0 est partagé en trois parties égales ;
la partie centrale est remplacée par deux segments, chacun de même longueur que
la partie enlevée. Cette ligne polygonale est donc formée de 4 segments, qui ont tous
la même longueur.
Étape 2 : à chacun des segments présents à l'étape 1 on fait subir le même sort que lors du
passage de l'étape 0 à l'étape 1 ; on obtient ainsi une nouvelle ligne polygonale.
On continue ainsi ... indéfiniment.
1) Notons :
sn : le nombre de segments qui composent la ligne polygonale à l'étape n.
ln : la longueur de cette même ligne.
Que vaut s1 , s2 , s3 ? Que vaut l1 , l2 , l3 ?
Donner (avec explications) une formule pour sn et une pour ln.
2) On s'intéresse maintenant à l'aire comprise entre la ligne polygonale et le segment initial.
En passant d'une étape à l'autre, on "ajoute" à la figure des triangles.
Notons :
tn : le nombre de triangles "ajoutés" à l'étape n (par rapport à l'étape n–1)
an : l'aire d'un de ces triangles (*)
An : l'aire totale de la figure à l'étape n
a) Calculer
t1 ,a 1 Al
b) Calculer
t2 , a2 , A2
c) Donner une formule pour tn , une pour an , une pour An
3) On augmente indéfiniment le nombre n.
Peut-on évaluer l∞ ? Peut-on évaluer A∞ ?
(*) Il faut remarquer que les triangles qui "s'ajoutent" à chaque étape sont des triangles
3 2
équilatéraux et l'aire d'un triangle équilatéral de côté b =
b
4
P.S. 2014-2015
15
Activités Suites et séries 3A
Compléments sur la courbe de Von Koch
Définition
On nomme fractale (nom féminin) une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se
crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques.
Les fractales, des objets simples à construire
Un peu de visuel...
• Soit un triangle équilatéral (l'initiateur).
• On remplace le tiers central de chaque segment du triangle par un triangle équilatéral sans base.
A chacun de ces triangles on applique à nouveau la même transformation (itération).
• Et on continue ainsi de suite...
Initiateur
Iteération 2
Itération 1
Itération 4
On appelle itération le fait d'appliquer à un objet, à un stade quelconque de son développement,
le même traitement ou modification.
Cette courbe est appelée flocon de Koch (ou île de Koch) et a été introduite par Von Koch
comme exemple de "courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique
élémentaire".
Autre exemple
Waclaw Sierpinski est un mathématicien polonais né à Varsovie en 1882. Il
reçut son doctorat en 1908 et devint professeur à l'université de Lvov. Il
consacra alors ses recherches à la théorie des nombres. Après la Première
Guerre Mondiale, il obtient en 1919 un poste à l'université de Varsovie où il
y resta jusqu'à sa mort en 1969. Entre temps, il a écrit plus de 700 articles et
50 livres dont "La théorie des nombres irrationnels" en 1910, et "La théorie
des nombres" en 1912.
Le tapis de Sierpinski est un autre exemple de surface fractale obtenue directement à partir de la
propriété d'autosimilarité. Il se construit en partant d'un triangle équilatéral noir ; et à chaque
itération on "évide" chaque triangle en "enlevant" le triangle dont les trois points sont les milieux
des côtés de chaque triangle équilatéral :
Initiateur
P.S. 2014-2015
Itération 1
16
Itération 3
Activités Suites et séries 3A
Fractales dans la nature
• Le chou romanesco, aussi appelé chou chinois, est l'un des exemples les plus flagrants de
courbe fractale observable dans la nature.Voici à quoi ressemble un chou romanesco :
On observe une similarité entre un "cône" et un "sous-cône" ! Le chou romanesco présente bien
la propriété d'autosimilarité propre aux fractales.
• Sur ce coquillage (Cymbiola innexa reeve), on observe un enchevêtrement de triangles de
Sierpinski.
Fractales dans l'art
M.C. Escher_Cercle limite
P.S. 2014-2015
M.C. Escher_Carré limite
17
Activités Suites et séries 3A
Les L-Systèmes
Les L-Systèmes ont été inventés en 1968 par le botaniste Aristid Lindenmayer (d'où le nom LSystème, provenant de l'anglais Lindenmayer's System) afin de décrire la croissance des plantes.
Pour générer l'image, on part tout d'abord d'une séquence de symboles définie (l'initiateur).
Ensuite, on itère le processus suivant : on remplace chaque occurrence d'un symbole par une
série d'autres symboles définie. Chacune de ces règles de remplacement se note de la façon
suivante : [symbole à remplacer]->[symboles de remplacement].
Par exemple, on peut considérer le L-Système suivant :
Initiateur : A
Règles :
A->B
B->AB
Cela donne les séquences suivantes :
B
AB
BAB
ABBAB
BABABBAB
ABBABBABABBAB
BABABBABABBABBABABBAB
On pourra remarquer au passage que les longueurs des séquences de ce L-Système
correspondent à la célèbre suite de Fibonacci.
Pour obtenir une fractale à partir de ces symboles, on leur donne une interprétation graphique. On
imagine un robot (purement virtuel) évoluant dans un plan (appellé "tortue") et laissant une trace
derriere lui. On associe ensuite une action à chaque symbole. Par exemple, on peut associer au
symbole F le fait d'avancer d'une longueur fixée, et aux symboles + et - les faits de tourner
respectivement à droite ou à gauche de 60°. En utilisant ce code, on peut obtenir le flocon de Von
Koch en prenant pour initiateur F--F--F et pour règle F->F+F--F+F.
La séquence de l'initiateur produit l'image suivante : F--F--F
A la première itération, on applique la règle et la séquence devient
F+F--F+F--F+F--F+F--F+F--F+F, ce qui produit l'image suivante :
A la deuxième itération, on obtient :
On continue ainsi jusqu'à l'infini……
P.S. 2014-2015
18
Activités Suites et séries 3A
Exemples de L-Systèmes modélisant la nature
Avec des règles et des initiateurs différents, on peut produire les images suivantes :
Toutes ces images sont d'assez bonnes représentations de végétaux. On peut donc les modéliser
par les L-Systèmes, ce qui permet d'avoir une modélisation peu complexe.
P.S. 2014-2015
19
Activités Suites et séries 3A
Travail de groupe 06 : La spirale d'or
La figure ci-dessous est construite à partir d'un rectangle d'or ABCD, avec AB = 1
1+ 5
et BC =
= φ = le nombre d'or ; on trace le carré ABA'D' et on obtient un rectangle d'or
2
A'B'C'D'. On réitère l'opération pour obtenir un rectangle A''B''C''D'' et ainsi de suite, et de même
avec des carrés extérieurs ; la spirale d'or est formée de quarts de cercles successifs inscrits dans
chaque carré.
A
D
B
D'
A'
C'
B'
C
a) Calculer la longueur Ln de la spirale d'or après n itérations de ce processus.
b) i) Calculer L∞ .
ii) Que constate-t-on ?
P.S. 2014-2015
20
Activités Suites et séries 3A
Travail de groupe 07
Le calcul de π par la méthode d'Archimède
• La définition du nombre
π
Expérience
Prenons une roue, peignons-la et faisons lui faire un tour sur le sol. Mesurons ensuite, la longueur
de la trace faite par la peinture (périmètre P1 de la roue) et le diamètre d1 de la roue. Calculons pour
P
finir le rapport entre le périmètre et le diamètre ; on constate que 1 ≅ 3,14 .
d1
1 tour
d1
•
•
P1
Prenons une roue avec un diamètre d2 différent de d1. Dans ce cas nous obtenons aussi :
P2
≅ 3,14 .
d2
1 tour
d2
•
•
P2
Conclusion
Le rapport entre le périmètre et le diamètre du cercle (roue) est constant et vaut environ 3,14.
P
= π ⇔ P = π d ⇔ P = π 2r ⇔ P = 2π r avec π ≅ 3,14
Donc on définit :
d
Définition
p est défini comme étant le rapport constant entre le périmètre et le diamètre d'un cercle.
Remarques
a) Le périmètre P du cercle est proportionnel à son diamètre d car P = π d .
Application : Si le diamètre du cercle triple, le périmètre triple aussi.
b) Le périmètre P du cercle est proportionnel à son rayon r car P = 2π r .
Application : Si le rayon du cercle diminue de moitié, le périmètre diminue aussi de moitié.
P.S. 2014-2015
21
Activités Suites et séries 3A
La notation π
π est la seizième lettre de l'alphabet grec et la première lettre du mot grec περιμετρον, périmètre
ou περιϕερεια, circonférence, périphérie. Il y a plusieurs versions sur l'apparition du symbole,
mais l'époque est toujours la même : vers 1600. William Oughtred (1574-1660) en 1647 et Isaac
Barrow (1630-1677) utilisent le symbole π pour représenter le périmètre d'un cercle de diamètre
un. Euler, utilise la lettre π ,dans un ouvrage sur les séries, publié en latin en 1737 puis, en 1748,
dans son ’’Introduction à l’analyse infinitésimale’’, ce qui imposa définitivement cette notation.
• La méthode d’Archimède
Beaucoup de techniques existent pour établir des valeurs approchées du nombre π. Dans l'Histoire,
la première de ces méthodes est attribuée à Archimède de Syracuse (287-212 av J.C.)
Célèbre mathématicien, ingénieur et physicien, fils d'astronome, ami
d'Eratosthène à Alexandrie où il fut l'élève d'Euclide. Archimède inventa
des machines de guerre pour repousser les Romains lors du siège de
Syracuse. Il fut alors tué par un soldat romain. Marcellus, commandant
de l'armée romaine, ordonna des funérailles solennelles en hommage à
ce grand savant.
Archimède menacé par un soldat romain. Mosaïque d'Herculanum, ancienne ville romaine, proche de Naples qui fut
ensevelie, ainsi que Pompéi, lors d'une éruption du Vésuve en 79 après J.-C.
La méthode d'Archimède consiste à encadrer le périmètre d'un cercle de rayon 1 qui vaut 2⋅π
par ceux de deux polygones réguliers (leurs côtés ont tous la même longueur), le premier inscrit
et le deuxième circonscrit au cercle. (voir dessin)
Polygone régulier
(hexagone)
•
Polygone régulier
(hexagone)
Le périmètre du polygone inscrit représente une approximation par défaut (valeur plus petite) du
périmètre du cercle. Tandis que le périmètre du polygone circonscrit représente une
approximation par excès (valeur plus grande).
Ensuite, il remarque que plus on augmente le nombre
de côtés du polygone, plus son périmètre se rapproche
de celui du cercle, mais sans jamais l'atteindre.
On obtiendra donc avec cette méthode une valeur approchée du nombre π.
Avec un polygone à 96 côtés, Archimède aboutit à l'encadrement suivant :
3,1410... < π < 3,1427....
P.S. 2014-2015
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Activités Suites et séries 3A
• Activité : Etude de la méthode d’Archimède
• Nous allons a présent comme Archimède, calculer les périmètres de polygones inscrits ayant
6 côtés, puis 12 côtés, puis 24, 48, et enfin, 96 côtés afin d'obtenir un encadrement de π.
• Avec un polygone à 96 côtés, Archimède aboutit à l'encadrement suivant :
3,1410... < π < 3,1427....
• Comment passer de deux polygones à n côtés, aux polygones à deux fois plus de côtés 2⋅n ?
CD = longueur d ' un côté du polygone à n côtés
BD = longueur d ' un côté du polygone à 2n côtés
°
C
°
°
°B
A
1
O
D
a) Exprimer OA en fonction de CD .
b) Exprimer AB en fonction de OA .
c) Exprimer BD en fonction de AB et CD .
P.S. 2014-2015
23
Activités Suites et séries 3A
Nous allons nous munir d'une calculatrice et remplir le tableau ci-dessous ligne par ligne :
Nombre n
de côtés
du
polygone
régulier
CD
Longueur
d’un côté
du polygone
à n côtés
OA
AB
BD
P2 n
Longueur
d’un côté
du
polygone
à 2n côtés
Périmètre
du
polygone
à
2n côtés
Approximation
de π
6
12
24
48
96
Remarques
a) Dans la dernière colonne, Archimède à construit une suite numérique qui converge vers
le nombre π (par des valeurs inférieurs à π ) quand le nombre n de côtés du polygone régulier
tend vers l’infini.
b) La démonstration et les calculs sont similaires si l’on considère des polygones circonscrits
au cercle de rayon 1. Dans ce cas, la suite numérique crée par la méthode, converge vers
le nombre π par des valeurs supérieures à π .
P.S. 2014-2015
24
Activités Suites et séries 3A
• Compléments
Le nombre π , un nombre "naturel" ?
π apparait dans de très nombreux problèmes physiques et mathématiques. Par exemple, on trouve,
par intégration (voir cour de 4e année), des formules classiques telles que :
• le volume d'une sphère de rayon r =
r
4 3
πr
3
b
a +b
a
2
En astronomie, π est important puisque les planètes ont en première approximation une forme de
sphère et décrivent des trajectoires elliptiques autour du Soleil.
• le périmètre d'une ellipse = 2π
2
2
Le nombre π, fait également partie des formules d'électromagnétisme.
Et dans de nombreux autres cas...
Lien entre le périmètre et l’aire du disque
Expérience
• On suppose connue la formule donnant le périmètre du disque c’est à dire : P = 2π r .
• On découpe un disque en un nombre pair de secteurs de disques égaux et on dispose ces secteurs
de façon à former une figure ressemblant à un « parallélogramme ondulé ».
2
3
1
4
8
5
7
Transformation
1
2
5
3
6
4
7
≈r
8
6
≈ P/2
• La hauteur du « parallélogramme ondulé » est environ égale au rayon r du disque.
• La base du « parallélogramme ondulé » est environ égale au demi-périmètre du disque,
c’est-à-dire P/2.
P
2π r
• L’aire A du « parallélogramme ondulé » est donc environ égale à A ≈ r ⋅ = r ⋅
= π r2 .
2
2
Conclusion
Si on augmente indéfiniment le nombre de secteurs de disques on peut admettre que l’aire A du
« parallélogramme ondulé » et donc du disque, vaut exactement A = π r 2 .
P.S. 2014-2015
25
Activités Suites et séries 3A
Travail de groupe 08 : Le binôme de Newton
Exercice 1
a) Construire les deux lignes suivantes du triangle de Pascal (1623-1662)
b) Quelles règles avez-vous utilisées pour déterminer les coefficients du triangle de Pascal ?
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
5
1
6
10
1
4
10
1
5
1
Rappel et simplification
n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ..... ⋅ ( n − 1) ⋅ n
5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
7! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7
=
= 6 ⋅7
5!
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
10!
= 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
6!
n! ⋅ (n+1) = (n+1)!
n!
= ( n-1)!
n
0! = 1
Définition
Les coefficients binomiaux sont des nombres entiers définis de la façon suivante :
⎛n⎞
n!
Ckn = ⎜ ⎟ =
⎝ k ⎠ ( n − k ) !⋅ k !
avec n, k ∈ ` et 0 ≤ k ≤ n
⎛3⎞
3!
6
Exemples C23 = ⎜ ⎟ =
= =3
⎝ 2 ⎠ ( 3 − 2 ) !⋅ 2! 2
⎛4⎞
4!
4!
=
=1
C44 = ⎜ ⎟ =
⎝ 4 ⎠ ( 4 − 4 ) !⋅ 4! 4!
Exercice 2
⎛4⎞
a) Calculer ⎜ ⎟ pour k allant de 0 à 4. Que peut-on remarquer ?
⎝k ⎠
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞
b) Montrer que : ⎜ ⎟ + ⎜
⎟=⎜
⎟
⎝ k ⎠ ⎝ k − 1⎠ ⎝ k ⎠
Indications :
k! = ( k-1)! ⋅ k
et
(k+1)! = k! ⋅ (k+1)
⎛n⎞ ⎛ n ⎞
c) Montrer que : ⎜ ⎟ = ⎜
⎟
⎝k ⎠ ⎝n − k ⎠
d) Y a-t-il un rapport entre les deux formules précédentes et le triangle de Pascal ?
P.S. 2014-2015
26
Activités Suites et séries 3A
Exercice 3
a) Développer les puissances entières positives pour 0 ≤ n ≤ 5 du binôme a + b .
b) Compléter en parallèle, le tableau des coefficients s’y rattachant :
( a + b )0 =
1
( a + b )1 =
a+b
( a + b )2 =
.........
............
(a +b) =
.........
............
(a +b) =
.........
............
(a +b) =
.........
............
3
4
5
1
1
1
c) Y a-t-il une règle pour déterminer les puissances et les coefficients des termes de ces
sommes ? Si oui, laquelle ?
Théorème du binôme (Newton)
Si n est un entier positif, le développement de ( a + b ) est donné par la formule suivante :
n
(a + b)
n
n
⎛ n ⎞ n −0 0 ⎛ n ⎞ n −1 1
⎛ n ⎞ n −k k
⎛ n ⎞ n −n n
⎛n⎞
= ⎜ ⎟ a ⋅ b + ⎜ ⎟ a ⋅ b + ....... + ⎜ ⎟ a ⋅ b + ...... + ⎜ ⎟ a ⋅ b = ∑ ⎜ ⎟ a n −k ⋅ bk
1
k
⎝0 ⎠
⎝k ⎠
⎝n⎠
⎝ ⎠
k =0 ⎝ ⎠
an
bn
Remarques
k ⎛n⎞
= ∑ ( −1) ⎜ ⎟ a n −k ⋅ bk
k =0
⎝k ⎠
ii) Le théorème du binôme permet de calculer de manière explicite le développement
n
de ( a + b ) ∀n ∈ ` .
i)
(a − b)
n
n
Exercice 4
Démontrer le théorème du binôme par récurrence sur n.
Exercice 5
Développer l’expression ( a + b ) en utilisant le théorème du binôme.
8
P.S. 2014-2015
27
Activités Suites et séries 3A
Complément sur Isaac Newton
Fils d’un propriétaire terrien de woolsthorpe qui meurt trois
mois avant sa naissance, Isaac Newton (1642-1727),
prématuré et fragile, est élevé par sa grand-mère maternelle.
Admis au Trinity College de Cambridge en 1661, il se
familiarise avec les œuvres de Descartes, Galilée, Wallis et
Isaac Barrow. Entre 1665 et 1666, il est contraint de quitter
l’université de Cambridge qui ferme ses portes. La peste qui
sévit à Londres menace en effet de s’étendre à la région. De
retour à Woolsthorpe, c’est au cours de cette parenthèse,
« au sommet de ses forces créatrices », dira-t-il en 1714,
qu’il pose les fondements de son calcul infinitésimal, de la
nature de la lumière blanche et de sa théorie de la gravitation
universelle. De retour à Cambridge en 1669, il succède à
Isaac Barrow à la chaire de mathématiques de l’université,
qu’il conservera jusqu’en 1695. En 1671, il conçoit lui-même un télescope à miroir, exceptionnel
pour l’époque, qui grossit 40 fois. Célèbre, il se refuse pourtant toute publicité. « cela pourrait
seulement augmenter le nombre de mes relations, chose que je cherche à éviter », affirme-t-il.
Le 11 janvier 1672, il est élu à la Royal Society de Londres. Un mois plus tard, il y présente sa
théorie des couleurs basée sur l’hétérogénéité de la lumière blanche. Acceptée par tous, elle
déclenche néanmoins les foudres de Robert Hooke qui l’accuse de plagiat.
En 1687, Newton publie son œuvre maîtresse, principes mathématiques de philosophie naturelle,
exposant sa théorie de l’attraction universelle. Il y parle aussi des lois du choc, du mouvement
des fluides, de la théorie des marées.
S’il l’a élaborée dés 1665, il lui aura fallu vingt ans avant de la publier, avant d’en maîtriser
toutes les composantes. Et si l’ouvrage est un succès, il n’échappe pas aux critiques. Newton
n’aime pas les controverses parce qu’il déteste ses adversaires. En témoigne la correspondance
acerbe échangée avec Hooke et Leibniz. En 1693, il sombre dans une fonde dépression qui sonne
la fin de sa période créatrice. La Monnaie de Londres lui propose un poste d’inspecteur qu’il
accepte, bien que peu gratifiant. Nommé directeur en 1699, il supervise la fabrication de la
monnaie royale. Quatre ans plus tard, la Royal Society l’élit président - il le sera jusqu’à sa mort.
Cette même année, il édite l’autre pilier de son œuvre, Optiques, fruit de ses recherches sur la
lumière. Les Méthodes des fluxions, qu’il avait écrites en 1671, ne seront publiées qu’en 1736,
après sa mort. Newton y faisait alors naître le calcul infinitésimal, en même temps que Leibniz
dont le Calcul différentiel fut, lui, édité en 1686. A l’époque, les deux hommes s’étaient
vivement opposés, chacun revendiquant la paternité de la découverte. A la mort de Newton le
débat continue.
P.S. 2014-2015
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Activités Suites et séries 3A
Travail de groupe 09 : Dosage de chlore
On ajoute souvent du chlore dans les piscines pour réguler les micro-organismes. Si le taux de
chlore venait à dépasser 3 ppm (parts par million), les baigneurs pourraient ressentir des brûlures
aux yeux et des problèmes de peau. Si le taux venait à descendre en dessous de 1 ppm, l’eau
pourrait devenir verdâtre à cause d’un excès d’algues. Le chlore doit être ajouté à l’eau des piscines
à intervalles réguliers. Si l’on n’ajoute pas de chlore dans une piscine pendant 24 heures, environ
20 % du chlore se dissipe dans l’atmosphère et 80% reste dans l’eau.
a) Déterminer une suite an qui indique la quantité de chlore se trouvant après n jours dans l’eau
d’une piscine dont le taux de chlore initial est de a0 ppm et à laquelle on n’ajoute pas de chlore
par la suite.
b) Une piscine a un taux de chlore initial de 7 ppm.
Dans combien de jours, le taux de chlore dans une piscine sera-t-il inférieur à 3 ppm ?
Supposons qu’une piscine ait un taux de chlore initial de 2 ppm, et que 0,5 ppm de chlore soit
ajouté dans la piscine à la fin de chaque jour.
c) Déterminer la quantité de chlore se trouvant dans l’eau de la piscine après 15 jours.
(Indication : Établir une suite bn qui indique la quantité de chlore se trouvant dans l’eau de la
piscine après n jours.)
d) Déterminer la quantité de chlore se trouvant dans l’eau de la piscine après un très long laps de
temps.
e) Estimer la quantité de chlore qui doit être ajoutée quotidiennement à l’eau d’une piscine pour
stabiliser son taux de chlore à 1,5 ppm.
P.S. 2014-2015
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Activités Suites et séries 3A
Travail de groupe 10 : Capital à intérêts composés et
valeur de l’annuité
Exercice 1
Un capital est placé à intérêts composés, lorsqu'à la fin de chaque période, (ordinairement une
année), les intérêts rapportés s'ajoutent au capital pour produire des intérêts pendant les périodes
qui suivent.
On dit, dans ce cas, que les intérêts se capitalisent à la fin de chaque période.
La somme constituée par le capital placé et ses intérêts cumulés s'appelle la valeur acquise par
ce capital.
• L'exemple type est celui du compte d'épargne :
Sur un compte d'épargne, on dépose le 1er janvier 1999 une somme de Fr. 1'000.- .
Le taux annuel d'intérêt est de 3% .Voyons ce que devient, au fil des ans, ce capital.
1.1.1999 :
C0 = 1' 000. − Fr.
31.12.1999 : C1 = 1' 000 + 0, 03 ⋅1' 000
1.1.2000 :
C1 = 1' 030. − Fr.
31.12.2000 : C2 = 1' 030 + 0,03 ⋅1' 030
1.1.2001 :
C2 = 1' 060,90 Fr.
31.12.2001 : C3 = 1' 060, 90 + 0,03 ⋅1' 060,90
1.1.2002 :
C3 = 1' 092,75 Fr.
et ainsi de suite....
• Questions :
On considère un capital initial C0 placé dans une banque avec un taux d'intéret annuel de i % .
a) Quel est le nouveau capital C1 après 1 année ? C2 après 2 ans ? C t après t années ? Justifier.
b) Montrer qu'il s'agit d'une suite géométrique. Donner la raison de cette suite.
c) On dépose en 2002 un capital initial de 100’000 Euro au taux annuel de 2,75 % dans une
banque. Quelle sera la somme disponible (valeur acquise par ce capital) sur le compte 5 ans
après ? et 30 ans ?
Exercice 2
L'ancien comptable de la compagnie avait effectué un placement au nom de la compagnie.
Malheureusement, on ne retrouve que deux relevés de ce placement : le premier date de 1977
et indique un capital de $ 38'500, et le second date de 1982 et indique un capital de $ 56'800.
a) A quel taux le comptable a-t-il placé l'argent de la compagnie ?
b) Sachant que ce placement a été effectué en 1974, quel capital le comptable a-t-il placé ?
P.S. 2014-2015
30
Activités Suites et séries 3A
Exercice 3
On appelle annuité ou rente une suite de versements équidistants.
Chacun de ces versements est un terme de l'annuité.
On appelle annuité constante, une annuité dont les termes sont égaux.
0
versements
1
2
3
4
5
...
1er
2ème
3ème
4ème
5ème ...
t [périodes]
On appelle valeur d'une annuité à un moment déterminé, la somme des valeurs acquises de
chacun de ses termes, (à un taux i donné).
• Exemple :
Déterminons la valeur d'une annuité de 4 versements annuels de Fr. 2'500.- chacun, placés au
taux annuel de 5 % , au moment du dernier versement, (dernier versement compris).
Notations utilisées :
T = 1 an
a = 2'500 Fr.
n = 4
i = 5 % = 0,05
A = ?
:
Schéma :
(périodicité des versements)
(valeur de chaque versement)
(nombre de versements)
(taux d'intérêt annuel)
valeur de l'annuité au moment du dernier versement.
1
0
2
3
4
t [périodes]
a1
a2
a
3
a4
A
Valeur acquise par a 1 : a (1 + i ) = 2'894,05 Fr.
3
Valeur acquise par a 2 : a (1 + i ) = 2'756,25 Fr.
2
Valeur acquise par a 3 : a (1 + i ) = 2'625 Fr.
Valeur acquise par a 4 : a = 2'500 Fr.
D'où :
A = a ( 1 + i ) + a ( 1 + i ) + a (1 + i ) + a = 2' 894,05 + 2' 756,25 + 2' 625 + 2' 500 = 10' 775,30Fr.
3
2
• Questions
a) Montrer que : An = a (1 + i )
n −1
+ a (1 + i )
n−2
........ + a (1 + i )
1
(1 + i )
+ a = a⋅
n
−1
i
On a placé chaque 1er janvier, du 1.1.81 au 1.1.94 , Fr. 2'000.- .
b) Quelle sera la valeur de l'annuité A au 1.1.94, le taux d'intérêt étant de 4,5 % ?
c) Quel sera le capital C constitué le 1.1.98, le taux d'intérêt étant de 4,5 % ?
P.S. 2014-2015
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Activités Suites et séries 3A
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