Théorie de Galois - IMJ-PRG

Master STS — mention mathématiques Année 2007/2008
H4. THÉORIE DES NOMBRES.
Nombres premiers
A. CHAMBERT-LOIR, F. IVORRA
A. RAPPELS : FACTORISATION, THÉORÈME D’EUCLIDE
EXERCICE 1
1Démontrer qu’il existe une infinité de nombres
premiers congrus à −1 modulo 6. (Si p1,...,pr
sont des nombres premiers, considérer un fac-
teur premier de 6p1... pr−1.)
2Soit nun entier strictement positif. Démontrer
qu’il existe une infinité de nombres premiers
qui ne sont pas congrus à 1 modulo n.
EXERCICE 2
Soit fun polynôme non constant à coeffi-
cients entiers.
1Montrer qu’il existe des entiers narbitraire-
ment grands tels que f(n) ne soit pas un
nombre premier.
2Montrer que l’ensemble des nombres premiers
qui divisent l’une des valeurs f(n) de f, pour
n>1, est infini.
EXERCICE 3
1Montrer que si p≡3 (mod 4), il n’existe pas
d’entier a∈Ztel que a2+1 soit multiple de p.
(Indication : Que vaut ap−1modulo p?)
2En déduire qu’il existe une infinité de nombres
premiers congrus à 1 modulo 4.
EXERCICE 4
Le but de cet exercice est de prouver, suivant
V.A. Lebesgue, que l’équation y2=x3+7 n’a pas
de solutions en nombres entiers. On considère
une telle solution (x,y).
1Démontrer que xest impair et que yest pair.
2À l’aide de la factorisation x3+8=
(x+2)(x2−2x+4), démontrer que x3+8 pos-
sède un facteur premier congru à 3 modulo 4.
3Démontrer que chaque facteur premier
de y2+1 est congru à 1 modulo 4. Conclure.
EXERCICE 5
Soit aet bdeux entiers strictement positifs. On
suppose que pour tout nombre premier p, le
reste de la division euclidienne de apar pest
inférieur ou égal au reste de la division eucli-
dienne de bpar p.
Soit A=a!=1·2...(a−1)aet B=
(b−a+1)...(b−1)b, de sorte que B/A=¡b
a¢.
Pour tout nombre premier pet tout entier k,
on note α(pk) et β(pk) le nombre de facteurs
de Aet Brespectivement qui sont divisibles
par pk.
1Montrer que ordp(a)=∞
P
k=1α(pk) et ordp(b)=
∞
P
k=1β(pk).
2Montrer que ¯¯α(pk)−β(pk)¯¯61.
3Montrer que α(p)>β(p).
4Montrer que pour p>a, ni Ani Bn’est divi-
sible par p.
5Soit κ(p) le plus grand entier ktel que
β(pk)>0. Montrer que B/Adivise Q
p6apκ(p)−1.
6En déduire que a=b(on commencera par dé-
montrer que b<2a).
EXERCICE 6
Soit nun nombre entier >1.
1Montrer que l’on a
ϕ(n)=nY
p|n
p−1
p,
où le produit est étendu à l’ensemble des
nombres premiers qui divisent n.
1

2Soit aun nombre entier relatif et soit d=
pgcd(a,n). Si d=1, montrer que l’ordre de la
classe ade amodulo ndans le groupe Z/nZ
est égal à n.
3Montrer que l’ordre de adans le groupe abé-
lien Z/nZest égale à n/d.
4Montrer que l’on a P
d|nϕ(d)=n, où la somme
est étendue à l’ensemble des nombres en-
tiers ddans [1,n] qui divisent n.
B. CRITÈRES DE PRIMALITÉ OU DE NON-PRIMALITÉ
EXERCICE 7
1Soit net mdes nombres entiers. Montrer que
le groupe (Z/nZ)×(Z/mZ) est cyclique si et
seulement si net msont premiers entre eux.
2Si nest une puissance de 2, montrer que
(1+4x)n=1+4xmodulo 8n.
3Soit aun entier >2 et n=2a. Montrer que
l’ordre de (la classe de) 5 dans (Z/nZ)∗est égal
à 2a−2. Le groupe (Z/nZ)∗est-il cyclique ?
4Soit pun nombre premier impair, aun en-
tier >2 et n=pa. Si xest un entier, montrer
que xp=x(mod p). Montrer par récurrence
sur a>2 que les conditions x=1 (mod pa−1)
et xp=1 (mod pa) sont équivalentes.
5Soit xun entier dont la classe modulo pen-
gendre (Z/pZ)∗. Montrer que (la classe de) x
engendre (Z/nZ)∗si et seulement si xp−16≡ 1
(mod p2).
6Si xp−1≡1 (mod p2), montrer que (x+p)p−16≡
1 (mod p2). En déduire qu’au moins l’un des
deux, xou x+p, est générateur de (Z/nZ)∗.
7Pour quels nombres entier nle groupe (Z/nZ)∗
est-il cyclique ?
EXERCICE 8
1Soit n>1 un nombre entier sans facteur carré
tel que pour tout facteur premier pde n,p−1
divise n−1. Démontrer que nest un nombre
premier ou un nombre de Carmichael.
2En déduire que 561 est un nombre de Carmi-
chael.
EXERCICE 9
Soit nun nombre entier tel que n>1. Soit p
un facteur premier de net soit r=ordp(n) ; on
pose m=n/pr.
1Soit apun générateur du groupe cyclique
(Z/pZ)×et soit aun nombre entier tel que a≡
ap(mod pr) et a≡1 (mod m). Si an−1≡1
(mod n), démontrer que r=1 et que p−1 di-
vise n−1.
2Si r>2 ou si p−1 ne divise pas n−1, dé-
montrer que pour au moins la moitié des élé-
ments αde (Z/nZ)×,αn−16=1.
3Démontrer que si nest un nombre de Carmi-
chael, alors nest sans facteur carré et p−1
divise n−1 pour tout facteur premier pde n
(théorème de Korselt, 1898).
4Démontrer qu’un nombre de Carmichael est
impair et a au moins trois facteurs premiers
distincts.
5Soit kun nombre entier tel que les trois en-
tiers 6k+1, 12k+1 et 18k+1 soient des
nombres premiers. Montrer que leur produit
(6k+1)(12k+1)(18k+1) est un nombre de Car-
michael (Chernick, 1939).
EXERCICE 10
1Montrer que dans un groupe cyclique G
d’ordre pair, l’équation 2g=0 possède exacte-
ment deux solutions.
2Soit nun nombre entier >1 et soit ule
nombre de facteurs premiers distincts de n.
Démontrer que dans le groupe (Z/nZ)×,
2

l’équation α2=1 possède exactement 2uso-
lutions.
3On suppose que nn’est pas premier, c’est-
à-dire que u>2. Démontrer que parmi les
nombres entiers ade [1,n] qui sont premiers
àn, les témoins de non-primalité de Miller-
Rabin de nsont en proportion au moins égale
à 1−21−u>3/4.
EXERCICE 11
1Soit Nun entier tel que N>2. Soit pun
nombre premier qui divise N−1 et soit ele
plus grand entier >1 tel que pedivise N−1.
Soit aun entier tel que aN−1≡1 (mod N) et
tel que a(N−1)/pet Nsoient premiers entre
eux. Soit `un nombre premier qui divise N.
Montrer que (la classe de) aest inversible dans
(Z/`Z). Si tdésigne son ordre, montrer les di-
visibilités pe|tet t|`−1. En déduire que `≡1
(mod pe) (critère de Pocklington).
2Soit Nun entier >2. On écrit N=1+uv et on
suppose que pour tout nombre premier pqui
divise u, il existe un entier acomme dans la
question précédente. Montrer que tout facteur
premier `de Nest congru à 1 modulo u. Si de
plus v6u+1, en déduire que Nest un nombre
premier (critère de primalité de Pocklington-
Lehmer).
EXERCICE 12
1Si 2n+1 est un nombre premier, montrer que
nest une puissance de 2.
2On pose Fn=22n+1 (nombres de Fer-
mat). Montrer que Fnest premier pour n=
0,1,2,3,4.
3Si n6=m, montrer que Fnet Fmsont premiers
entre eux; écrire une relation de Bézout.
4Montrer que 641 divise F5. Cette divisibi-
lité a été découverte par Euler, contredisant
ainsi une affirmation de Fermat selon laquelle
les Fnseraient tous des nombres premiers.
(Écrire 232 +1=16(27)4+1et remarquer que
16 =641−625.)
5Soit pun nombre premier qui divise Fn. Mon-
trer que 2 est d’ordre 2n+1dans (Z/pZ)∗. En
déduire que p≡1 (mod 2n+1).
6(suite) En utilisant que 2 est un carré mo-
dulo p, démontrer que p≡1 (mod 2n+2) (Lu-
cas).
EXERCICE 13
Soit pun nombre premier impair.
1Démontrer que dans (Z/pZ)∗, (p−1)/2 élé-
ments sont des carrés et et (p−1)/2 n’en sont
pas.
2Soit aun entier non multiple de p. Démontrer
que a(p−1)/2 vaut ±1 modulo p.
Démontrer que pour que asoit un carré
dans (Z/pZ)∗, il faut et il suffit que a(p−1)/2 ≡
1 (mod p). (Les carrés de (Z/pZ)∗vérifient
cette condition ; combien d’éléments au plus la
vérifient-ils ?)
3Pour que −1 soit un carré modulo p, il faut et
il suffit que psoit congru à 1 modulo 4.
4Montrer que (p−1)! ≡ −1 modulo p. Si p≡1
(mod 4), démontrer que a=((p−1)/2)! vérifie
a2≡−1 (mod p). Est-ce un moyen pratique de
déterminer une racine carrée de −1 dans Z/pZ
lorsque pest grand ?
EXERCICE 14
Cet exercice propose la démonstration directe
de quelques cas de la loi de réciprocité qua-
dratique, à partir de la remarque que pour cer-
taines valeurs de n, 2cos(2π/n) vérifie une
équation du second degré dont le discriminant
est ±n.
1Soit xune racine primitive huitième de l’unité.
Montrer que x+1/xest solution d’une équa-
tion du second degré à coefficients dans Fp
dont le discriminant est 2. En déduire que 2 est
un carré modulo psi p≡ ±1 (mod 8). Inver-
sement, si 2 est un carré modulo p, montrer
que xet 1/xsont solutions d’une équation du
second degré de discriminant −2. En déduire
que p≡±1 (mod 8).
3

2Écrire l’équation du second degré dont les so-
lutions sont les racines primitives cubiques de
l’unité. En déduire que −3 est un carré modulo
un nombre premier p>4 si et seulement si
p≡1 (mod 3).
3Soit pun nombre premier tel que p>5. Soit x
une racine primitive cinquième de l’unité dans
une extension de Fp. Montrer que u=x+1/x
est solution d’une équation du second degré de
discriminant 5. Si p2≡1 (mod 5), en déduire
que 5 est un carré modulo p.
4(suite) Supposons inversement que 5 soit un
carré modulo p. Montrer que xet 1/xsont les
solutions de l’équation t2−tu +1=0. Montrer
que xpest aussi une solution de cette équation
et en déduire que l’on a xp=xou xp=1/x,
puis que p≡±1 (mod 5).
EXERCICE 15
1Soit nun nombre entier qui n’est pas multiple
de 3. Montrer que 4n2+3 possède un facteur
premier ptel que p≡7 (mod 1)2.
2Démontrer qu’il existe une infinité de nombres
premiers congrus à 7 modulo 12.
EXERCICE 16
Soit pun nombre premier de la forme 4`+1,
où `est un nombre premier. Démontrer que 2
est un générateur du groupe (Z/pZ)∗.
EXERCICE 17
Si rest un entier, on pose Mr=2r−1 (nombres
de Mersenne).
1Si Mrest un nombre premier, démontrer que
rest un nombre premier.
2Soit pun nombre premier tel que p>2. Mon-
trer que tout facteur premier de Mpest congru
à 1 modulo p, et à ±1 modulo 8.
3On dit qu’un nombre entier est parfait s’il
est égal à la somme de ses diviseurs (stricts,
c’est-à-dire sauf lui-même). Démontrer qu’un
nombre entier pair nest parfait si et seulement
s’il existe un nombre premier ptel que Mpsoit
un nombre premier et n=2p−1Mp.
C. LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
EXERCICE 18
1En utilisant le fait que la fonction ζ(s) tend
vers +∞ quand stend vers 1 par valeurs supé-
rieures, démontrer que la somme des inverses
des nombres premiers diverge.
EXERCICE 19
On note pnle n-ième nombre premier. En
outre, les fonctions θet ψsont définies par
θ(x)=X
p6x
logp,ψ(s)=X
pm6x
logp,
où les sommes sont prises sur l’ensemble
des nombres premiers et des puissances de
nombres premiers inférieurs ou égaux à x.
Montrer que les énoncés suivants sont équiva-
lents au théorème des nombres premiers :
1pn∼nlogn;
2θ(x)∼x;
3ψ(x)∼x.
EXERCICE 20
1Démontrer l’égalité
Ã2n
n!=Y
p62n
pap,ap=∞
X
m=1µb2n
pmc−2bn pmc¶.
2Démontrer que pour tout nombre premier p,
ap6blog2n/log pc.
3Vérifier que ¡2n
n¢>2net en déduire que
ψ(2n)>nlog2. (La fonction ψ, ainsi que la
fonction θ, est définie dans l’exercice précé-
dent.)
4Démontrer alors qu’il existe un nombre réel c
tel que θ(n)>cn pour n>2.
4

EXERCICE 21
Démontrer que pour tout entier n>1, θ(n)6
2nlog2. (Reprendre en étant plus soigneux les
arguments de la démonstration du lemme ??.)
EXERCICE 22
Le but de cet exercice est de démontrer le pos-
tulat de J. Bertrand : il existe pour tout entier n
un nombre premier ptel que n<p<2n.
1Vérifier que l’assertion est vraie si n61000.
On suppose dans la suite que nest un entier
qui met en défaut le postulat de Bertrand et on
reprend les notations de l’exercice 20.
2Soit pun facteur premier de ¡2n
n¢; démontrer
que p62
3n.
3Soit pun nombre premier tel que p2divise
¡2n
n¢. Démontrer que p6p2n.
4Déduire des deux questions précédentes et de
l’exercice 21 que l’on a
logÃ2n
n!64 3nlog2 +p2nlog(2n).
5Démontrer que ¡2n
n¢>22n/2net obtenir une
contradiction.
EXERCICE 23
Vérifier que le résultat de l’exercice 5est une
conséquence immédiate du postulat de Ber-
trand démontré dans l’exercice 22.
EXERCICE 24
Dans la littérature, la fonction logarithme inté-
gral est plutôt définie par la formule
li(x)=lim
ε→0+Z1−ε
0
dt
logt+Zx
1+ε
dt
logt.
1Justifier l’existence de cette limite.
2Établir, pour tout entier k>0, le développe-
ment asymptotique
li(x)=x
logx+···+ x
logkx+O(x/logk+1x).
D. LE THÉORÈME DE LA PROGRESSION ARITHMÉTIQUE
EXERCICE 25
Soit Gun groupe abélien fini et soit Vl’espace
vectoriel des fonctions de Gdans Cmuni du
produit scalaire hermitien
〈ϕ,ψ〉= 1
card(G)X
g∈G
ϕ(g)ψ(g).
Démontrer que les caractères de Gforment
une base orthonormée de V.
EXERCICE 26
Soit Gun groupe abélien fini.
Soit hun élément de Gdont l’ordre mest mul-
tiple de l’ordre de tout élément de Get soit H
le sous-groupe de Gengendré par h. Démon-
trer qu’il existe un caractère χde Gqui ap-
plique hsur une racine primitive m-ième de
l’unité dans C.
1Démontrer que l’image de χest le sous-groupe
de C∗formé des racines primitives de l’unité.
2Soit Kle noyau de χ. Démontrer que H∩K=
{1} puis que Gest isomorphe au produit H×K.
EXERCICE 27
Soit Gun groupe abélien fini.
1Démontrer que Gest un produit de groupes
cycliques. (Utiliser l’exercice 26.)
2Démontrer que les groupes Get ˆ Gsont iso-
morphes.
5