Exercice - Colegio Francia

23 octobre 2003
Contrôle C#1 Spé
Divisibilité - Congruences
Exercice 1
1- Démontrer que pour tout entier naturel n, 23n – 1 est un multiple de 7.
2- En déduire que 23n+1 – 2 et 23n+2 – 4 sont aussi des multiples de 7.
3- Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2.
4- Pour tout p  IN, on considère le nombre Ap = 2p + 22p + 23p .
a. Si p = 3n, quel est le reste de la division de Ap par 7 ?
b. Démontrer que, si p = 3n + 1, alors Ap est divisible par 7.
c. Etudier le cas où p = 3n + 2
5- On considère les nombres a et b écrits dans le système "base 2" :
a =
______
1110
deux . b =
_______________________
1010101010100
deux .
Les nombres a et b sont-ils divisibles par 7 ? (On n’exprimera pas a et b en base 10)
Exercice 2
1- Enoncer et démontrer un critère de divisibilité par 9.
2- Nous allons présenter ici un " tour de magie ". Demandez à votre partenaire de choisir un nombre au
hasard. Ensuite, dites-lui de retirer à ce nombre la somme de ses chiffres. Au nombre trouvé, faites-lui
barrer un chiffre quelconque, autre que 0. Demandez-lui de vous montrer ce nouveau nombre... et dites-
lui quel chiffre il a rayé.
Expliquer ce " tour de magie ".
Exercice 3
Soient deux nombres entiers a et b.
1- Déterminer le quotient de (a3 + b3) par (a + b).
2- Démontrer que a2 – ab + b2 peut s’écrire en fonction de S et P où S = (a + b) et P = ab.
3- Exprimer (a3 + b3) en fonction de S et P.
4- Résoudre l’équation Diophantienne a3 + b3 = 28. (On pourra effectuer le changement de variable
S = a + b et P = ab.)
Exercice 4
On assimile les lettres de l’alphabet français A, B,… Z aux nombres 0, 1, … 25
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
et on code ces nombres par la fonction de « hachage »
{0,1,...,25} {0,1,...,25}
()
fx f x
avec f(x)  11x + 19 [26] (Attention, il s’agit d’une congruence)
1. Calculer f(0) ; f(2) ; f(5) ; f(8) ; f(13) ; f(17)
2. Chiffrer le mot FRANCIA.
3. Déterminer le nombre entier u tel que 11u  1 [26]
4. En déduire une fonction de déchiffrage g, de {0,1…25} dans lui-même telle que
( )[26] ( )[26]y f x x g y  
, autrement dit en partant de la congruence y  11x + 19 [26], obtenir une
congruence équivalente du type x  uy + v [26] où u et v sont des entiers relatifs que l’on déterminera.
5. Déchiffrer le mot PRKLHDR.