Exercice - Colegio Francia

23 octobre 2003
Contrôle C#1 Spé
Divisibilité - Congruences
Exercice 1
Démontrer que pour tout entier naturel n, 23n – 1 est un multiple de 7.
En déduire que 23n+1 – 2 et 23n+2 – 4 sont aussi des multiples de 7.
Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2.
Pour tout p  IN, on considère le nombre Ap = 2p + 22p + 23p .
a. Si p = 3n, quel est le reste de la division de Ap par 7 ?
b. Démontrer que, si p = 3n + 1, alors Ap est divisible par 7.
c. Etudier le cas où p = 3n + 2
5- On considère les nombres a et b écrits dans le système "base 2" :
1234-
______
_______________________
a = 1110 deux .
b = 1010101010100 deux .
Les nombres a et b sont-ils divisibles par 7 ? (On n’exprimera pas a et b en base 10)
Exercice 2
1- Enoncer et démontrer un critère de divisibilité par 9.
2- Nous allons présenter ici un " tour de magie ". Demandez à votre partenaire de choisir un nombre au
hasard. Ensuite, dites-lui de retirer à ce nombre la somme de ses chiffres. Au nombre trouvé, faites-lui
barrer un chiffre quelconque, autre que 0. Demandez-lui de vous montrer ce nouveau nombre... et diteslui quel chiffre il a rayé.
Expliquer ce " tour de magie ".
Exercice 3
Soient deux nombres entiers a et b.
1- Déterminer le quotient de (a3 + b3) par (a + b).
2- Démontrer que a2 – ab + b2 peut s’écrire en fonction de S et P où S = (a + b) et P = ab.
3- Exprimer (a3 + b3) en fonction de S et P.
4- Résoudre l’équation Diophantienne a3 + b3 = 28. (On pourra effectuer le changement de variable
S = a + b et P = ab.)
Exercice 4
On assimile les lettres de l’alphabet français A, B,… Z aux nombres 0, 1, … 25
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
et on code ces nombres par la fonction de « hachage »
{0,1,..., 25}  {0,1,..., 25}
f
avec f(x)  11x + 19 [26] (Attention, il s’agit d’une congruence)
x
f ( x)

1.
2.
3.
4.
Calculer f(0) ; f(2) ; f(5) ; f(8) ; f(13) ; f(17)
Chiffrer le mot FRANCIA.
Déterminer le nombre entier u tel que 11u  1 [26]
En déduire une fonction de déchiffrage g, de {0,1…25} dans lui-même telle que
y  f ( x)[26]  x  g ( y )[26] , autrement dit en partant de la congruence y  11x + 19 [26], obtenir une
congruence équivalente du type x  uy + v [26] où u et v sont des entiers relatifs que l’on déterminera.
5. Déchiffrer le mot PRKLHDR.