Arithmétique des entiers - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1
Exercices d’arithmétique
Divisiblité, congruences
Exercice 1 (Changements de base) Écrire 1427 en base 7.
Exercice 2 (Une équation diophantienne)
1. Démontrer que pour tout n∈N, 8 ne divise pas (3n+ 1).
2. En déduire toutes les solutions (m, n)∈(N∗)2de l’équation 2m−3n= 1.
Exercice 3 Déterminer tous les entiers naturels xet yvérifiant x2−4y2= 13.
Exercice 4 Démontrer que pout tout entier n∈N, l’entier n(n+ 2)(7n−5) est divisible par 6.
Exercice 5 Nous sommes le mardi 4 novembre 2014. Quel jour de la semaine serons-nous le 4 novembre 2015 ?
Exercice 6 Déterminer le chiffre des unités de 7(77).
Exercice 7 (Nombre de multiples) Soit n∈N∗et k∈Ntel que k6n. Combien y-a-t-il de multiples de k
inférieurs ou égaux à n?
PGCD et Bezout
Exercice 8 (Points entiers d’une droite) On veut trouver tous les couples d’entiers (x, y) tels que
62x+ 43y= 1 (E).
1. Déterminer le PGCD dde 62 et 43 en utilisant l’algorithme d’Euclide, puis déterminer un couple d’entiers
(u0, v0) tel que d= 62u+ 43v.
2. Démontrer que si (x, y) et (x0, y0) sont solutions de (E), alors 62 divise (y−y0). En déduire que les
solutions de (E) sont les couples de la forme :
(u0, v0) + k(−43,62), k ∈Z.
3. Quelle est l’interprétation géométrique du couple (−43,62) ?
4. Résoudre l’équation diophantienne 744x+ 516y= 12.
Exercice 9 (Inverse modulo n)Démontrer que si ab ≡ac mod net a∧n= 1, alors b≡cmod n. Le
résultat est-il vrai sans la dernière hypothèse ?
Exercice 10 (Chiffrement affine) On numérote les lettres de l’alphabet de 0 à 25. On va coder ces nombres
à l’aide d’une fonction de chiffrement. On pose A={0,...,25}, si x∈A, on note f(x) le reste de 17x+ 22 dans
la division euclidienne par 26 (ou f(x)≡17x+ 22 mod (26)). Cela définit ainsi une application fde Adans A.
1. Chiffrer le mot BAC.
2. Déterminer un entier utel que 17u≡1 mod 26. En déduire que l’application fest inversible, déterminer
son inverse.
3. Déchiffrer alors le mot BEC.
Exercice 11 Soit n∈N.
1. Déterminer le pgcd de n2+net 2n+ 1.
2. Déterminer le pgcd de n+ 1 et 3n−2.
Exercice 12 (Sous-groupes de Z)Soit aet bdes entiers. On note dleur pgcd et mleur ppcm. Si kest un
entier, on note kZl’ensemble des multiples de k. Démontrer que
aZ+bZ=dZet aZ∩bZ=mZ.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 2
Nombres premiers
Exercice 13 Soit n>2 un entier. Le nombre n4+ 4 est-il premier ? On pourra factoriser le polynôme X4+ 4
en remarquant que X4+ 4 = (X2+ 2)2−4X2.
Exercice 14 (Plages de nombres composés arbitrairement longues) Construire 1000 entiers consécu-
tifs non premiers. On pourra considérer les successeurs de 1001!.
Exercice 15 (Vu à l’oral) Soit p>5 un nombre premier. Démontrer que p2−1 est divisible par 24.
Exercice 16 (Nombres premiers dans une progression arithmétique) On veut montrer qu’il existe une
infinité de nombres premiers congrus à −1 modulo 4. On raisonne par l’absurde, il existe alors un nombre fini
de nombres premiers congrus à −1 modulo 4 que l’on note p1,...,pk. On pose alors N= 4p1×p2× · · · × pk−1.
1. 2 divise t-il N?
2. Quels sont les nombres premiers congrus à 0 ou à 2 modulo 4 ?
3. Démontrer que Npossède au moins un diviseur premier congru à −1 modulo 4. Conclure.
Exercice 17 (Petit théorème de Fermat) Soit pun nombre premier. On veut montrer que pour tout a∈N,
si a∧p= 1, alors ap−1≡1 mod (p).
1. Soit k∈J1, p −1K, démontrer que p|p
k. En déduire que pour tout entier aon a (a+ 1)p≡ap+ 1
mod (p).
2. En déduire par récurrence que pour tout a∈N, on a ap≡amod (p).
3. En déduire le petit théorème de Fermat.
Divers
Exercice 18 (Un vrai-faux) Soit a, b, u, v, n des entiers.
1. Si au +bv = 5, on peut en déduire que a∧b= 5.
2. Si a=bmod nalors ua=ubmod n.
3. L’équation 51x+ 39y= 1 admet une infinité de couple d’entiers (x, y) solutions.
4. Si u|bc et que bet csont premiers entre eux, alors u|bou u|c.
5. Si n>2 est composé, alors n=ab avec a>1 et b>1.
Exercice 19 (Racines rationnelles d’un polynôme) Soit P=a0+a1X+... +anXnun polynôme à
coefficients entiers avec an6= 0. Soit p
qune racine rationnelle de Pavec p∧q= 1.
1. Démontrer que q|anet p|a0.
2. Exemple 1 : quelles sont les racines rationnelles potentielles de 3X3−2X2−2X−5 ?
3. Exemple 2 : démontrer à l’aide de ce critère que le nombre 21
3n’est pas rationnel.
Exercice 20 (Nombres de Fermat)
1. Soit kun entier naturel impair. Démontrer que a+bdivise ak+bk.
2. Soit n∈N, démontrer que si 2n+ 1 est premier, alors nest une puissance de 2.
3. On appelle nombre de Fermat, les entiers de la forme Fn= 22n+ 1 avec n∈N. Pierre de Fermat avait
conjucturé que les nombres de Fermat étaient tous premiers. Que pensez-vous de sa conjecture ?

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 3
Exercice 21 Soit aet bdeux entiers. Démontrer que a|bsi et seulement si a2|b2.
Exercice 22 Déterminer le nombre de diviseurs de l’entier n= 2a3b4coù a, b et csont des entiers naturels.
Exercice 23 Soit nun entier qui admet une racine carrée entière et une racine cubique entière. Démontrer
qu’il admet une racine sixième entière.