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2Divisibilité dans 
Objectifs du chapitre
À travers le problème des clés de contrôle, nous allons approfondir la notion de
divisibilité dans .
Pour débuter
Les codes-barres
Les codes-barres sont omniprésents dans la vie courante. Ils trouvent leurs
applications dans des domaines aussi variés que la gestion des prêts d’une
bibliothèque, les caisses enregistreuses à lecture optique ou le contrôle de la
production dans l’industrie.
Les codes EAN 13 (European Article Numbering à 13 chiffres) sont des codes-
barres utilisés dans le monde entier sur l’ensemble des produits de grande
consommation. Ils comportent 13 chiffres :
les deux premiers chiffres correspondent au pays de provenance du produit ou
à une classe normalisée de produits ;
 les quatre chiffres suivants correspondent au codage du fabriquant ;
 les six suivants forment le numéro d’article ;
le treizième chiffre est une clé de contrôle calculée en fonction des douze pré-
cédents.
La clé de contrôle sert à la vérification de la bonne saisie du code. Nous allons
nous intéresser à son calcul.
 Calcul de la clé de contrôle
Un code-barres est symbolisé par le tableau suivant :
C
1
C
2
C
3
C
4
C
5
C
6
C
7
C
8
C
9
C
10
C
11
C
12 R
où
CC C
12 12
, ,..., et
R sont les 13 chiffres constituant le code-barres ; R est donc
la clé.
Les chiffres
CC C
13 11
, ,..., sont ceux de rangs impairs et CC C
24 12
, ,..., désignent
les chiffres de rangs pairs.
A
B
Activité 1
est un multiple de 10.
] R
+rang pair)e des chiffres de3e+×ang impair) (somm(somme des chiffres de r[
est calculée de telle sorte que : R La clé

Vérifier que l’on ne détecte pas d’erreur dans le code-barres ci-dessous.a)
Déterminer la clé associée au code-barres suivant :b)
c) Le système de lecture optique d’une caisse enregistreuse étant défectueux, un
employé doit saisir les codes à la main. Parmi les codes saisis, lesquels com-
portent à coup sûr une erreur ?
9 782940 199617
9 782940 199167
3 782940 199617
d) Calculer la clé des deux codes suivants :
1 672345 678900
7 612345 678900
Toutes les erreurs de saisie peuvent-elles être détectées grâce à la clé de contrôle ?
elle ne permet pas de détecter toutes les erreurs (comme celle du d.).
.
La clé de contrôle permet de détecter des erreurs de saisie d’un code-barres
(l’inversion de deux chiffres consécutifs ou un chiffre erroné par exemple) mais
Le calcul de la clé de contrôle fait appel à la notion de divisibilité
Remarques

Activité 1
■
9 782940 199617
Les codes barres
9 782940 199167
3 782940 199617

7 612345 678900
1 672345 678900

3
kk
Soit
b
L’ensemble des multiples de
b − b
La proposition «
b divise a » s’écrit symboliquement b | a .
2. Propriétés
Transitivité
Soient
ab c ,et
Si
b divise a et si c divise b , alors c divise a .
L’ensemble des multiples de 3 est E = {… ; –12 ; –9 ; –6 ; –3 ; 0 ; 3 ; 6 ; …}.
On écrit encore E = {; }
∈ ou E = 3.
un entier relatif.
coïncide avec l’ensemble des multiples de .
des entiers relatifs.
Propriété 1
Comme b divise a il existe un entier k tel que abk
Comme
c divise b il existe un entier k ’ tel que
bck .
Ainsi,
abkck kckkcK Kkk () () où donc
c divise a
Combinaison linéaire entière
Soient ab c
Si
c divise a et b , alors pour tous les entiers relatifs n et n‘, c divise
nanb
,=×.
,=×
′
=×= ×
′×=×′×=× =′.
,et des entiers relatifs.
'.×+×
Propriété 2
Autrement dit, si c divise a et b
entières de a et b
Comme
c divise a et b il existe deux entiers k et k ’ tels que a = kc et b = k’c
Alors :
et ainsi
Exemple
Démonstration
Remarque
alors il divise toutes les combinaisons linéaires
.
, .
Démonstration
Remarque
C
Définition 1
.=× abk tel que k
entier relatif
s’il existe un a est un diviseur de b ou que b est un multiple de a
On dit que
deux entiers relatifs quelconques. b et a Soient
1. Définition
Cours