Word 2007

Chapitre 19 : Les lois de Newton
Isaac Newton fut le premier à établir les relations entre mouvement d'un solide et forces qui lui sont appliquées.
Rappel :
Un solide soumis à aucune force est dit « isolé », s’il est soumis à un ensemble de forces qui se compensent, il est
dit « pseudo-isolé ».
1. La première loi de Newton
Cette loi est aussi connue sous la dénomination « principe de l'inertie »
Depuis Aristote, on pensait que pour maintenir la vitesse d'un mobile constante, il était nécessaire de lui appliquer
une force. Galilée à la fin du XVIe siècle, émit l'hypothèse contraire et Newton reformula cette idée.
Énoncé : dans un référentiel galiléen , lorsqu'un solide est isolé ou pseudo-isolé, son centre d'inertie G est :


soit au repos, si G est initialement immobile ;
soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme.
Si vG  0 alors
F
ext
 0 et réciproquement
2. La deuxième loi de Newton
Cette loi est aussi connue sous la dénomination « théorème du centre d'inertie » ou « relation fondamentale de la
dynamique ». Elle établit le lien entre forces appliquées et nature du mouvement.
Énoncé : dans un référentiel galiléen , la somme des forces extérieures (ou résultante) qui s’exercent sur un
système de masse m est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement :
 dp(t ) 

 dt  
F  
Si la masse

se conserve
 F  m a(t )
3. La troisième loi de Newton
Cette loi est aussi connue sous la dénomination « principe de l'action et de la réaction ».
Énoncé : lorsqu'un corps A exerce sur un corps B une action mécanique représentée par une force FA/B , le corps B
exerce sur A une action mécanique représentée par une force FB/A . Ces deux forces ont même direction, même
norme mais sont de sens contraire.
FA/B   FB/A
4. Applications ( TP n°16)
4.1. Le mouvement rectiligne
[Rappel] un mouvement est rectiligne si la trajectoire du solide est une droite.
4.2. Le mouvement circulaire
[Rappel] un mouvement est circulaire si la trajectoire du solide est un cercle.
Remarques :
-
Le mouvement circulaire non uniforme :
Dans le cas d’un mouvement circulaire, à chaque instant, l’accélération peut se
décomposer en deux vecteurs :
a  an  a
-
a n : accélération normale, centripète ;
a : accélération tangentielle, tangente à la trajectoire et orientée
dans le sens du mouvement.
Dans le repère local (A ; u n , u τ ), est appelé repère de Frenet, on montre que
les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération sont :
vn  0
v
v  v
-

v2
a

 n
r
a
dv
a 
  dt
(r = rayon de la trajectoire, en m)
Le mouvement circulaire uniforme (MCU) :
Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, la vitesse est constante donc
dv
 0 et a  0 donc :
dt
a  an 
v2
R
4.3. Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
4.3.1. La chute libre ( ECE n°8)
Les équations horaires du mouvement sont :
Vitesse initiale nulle
 ax (t )  0

aG  a y (t )  0

 az (t )  g 0
Vitesse initiale non nulle
 ax (t )  0

aG  a y (t )  0

 az (t )  g 0
 vx (t )  0

vG  v y (t )  0

 vz (t )  g 0t
Intégration

Intégration


 x(t )  0

OG  y (t )  0

1
 z (t )  g 0t ²

2

 x(t )  0
 vx (t )  0
Intégration
Intégration


 vG  v y (t )  0
 OG  y (t )  0


1
 vz (t )  g 0t  v0
 z (t )  g 0t ²  v 0 t

2
 Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.
A RETENIR :
Le vecteur accélération du centre d’inertie d’un système placé uniquement dans un champ de pesanteur ( en
chute libre) est égal au vecteur champ de pesanteur.
4.3.2. Le mouvement parabolique ( ECE n°8)
En considérant que seule agit l’action mécanique exercée par la Terre
sur l’objet (on néglige l’action mécanique de l’air) et qui se modélise par
le poids de l’objet :
P  m  g0
La deuxième loi de Newton permet d’écrire :
dp
 P  m  g0
dt
On en déduit :

d m v
dt
  mg
0

dv
 a  g0
dt
( a et v étant, respectivement, les vecteurs accélération et vitesse du centre d’inertie de l’objet)
Remarque : on suppose que le poids est équivalent à la force de gravitation (on néglige la force d’inertie
d’entrainement). Le projectile est aussi en mouvement par rapport au référentiel, on va donc négliger la force de
Coriolis.
 Equations horaires du mouvement :
En projetant cette relation dans le repère (O, i , j , k ) , on a :
 g0 x  0

g0  g0 y  0

 g 0 z  g 0

 ax  0

aG  a y  0

 a z  g 0
 vx (t )  C1
Intégration

 vG  v y (t )  C2

 vz (t )  g 0t  C3
Intégration


 x(t )  C1t  C4

OG  y (t )  C2t  C5

1
 z (t )   g 0t ²  C3t  C6

2
Les constantes C1, C2, C3, C4, C5 et C6 sont déterminées à partir des conditions initiales (à t = 0 s) qui sont :
C1  v0 cos  ; C2  0 ; C3  v0 sin  ; C4  0 ; C5  0 ; C6  0
On en déduit :
 ax (t )  0

aG  a y (t )  0

 az (t )  g 0
Intégration


 x(t )  (v0 cos  )t
 vx (t )  v0 cos 
Intégration


vG  v y (t )  0
 OG  y (t )  0


1
 vz (t )  g 0t  v0 sin 
 z (t )   g 0t ²  (v0 sin  )t

2

avec   v0 ; i

 Équation de la trajectoire
t
g
1
x
x ²  (tan  ) x
 z ( x)   2 0
2 v0 cos ²
v0 cos 
Le mouvement du projectile est une parabole de sommet S.
 Portée du projectile : OP
La portée est définie par z = 0  0  

g0
g0
1
1
(OP)²  tan  (OP) 
(OP)²  tan  (OP)
2
2
2 v0 cos ²
2 v0 cos ²
v 02
g0
1
2v02 cos ²
2v02 sin  cos 
OP
=
sin 2
(OP)

tan




OP

tan


OP

g0
2 v02 cos ²
g0
g0
 Flèche (altitude maximale atteinte) : S
S est tel que : x 
Rappel : sin 2  2sin  cos 
OP
dz
ou
0
2
dx
x
OP v02

sin 2
2
2g 0
dz
0
dx
2
 v02

 v02

g0
1
sin
2


tan

sin 2 
 zS  



2
2 v0 cos ²  2g 0

 2g 0


g
dz
0 2 0
x  tan 
dx
v0 cos ²
 x  tan 
v 02 sin²
v02 sin ² v02 sin ²
 zS  
 zS =

2g 0
2g 0
g0
 zS =
Ainsi, zS est maximale si sin 2   1  sin   1   
v02 cos ² v02 sin  cos  v02 sin 2


g0
g0
2g 0
v 02 sin²
2g 0
π
(seule valeur acceptable)
2
 Portée maximale
OP 
v02


sin 2 est maximale si sin 2 est maximal  sin 2  1  2      45
2
4
g0
 OPmax =
L’altitude maximale, pour  

4
, sera : zSmax =
v 02
4g 0
v 02
g0
1
cos ² sin ²


 1  tan ²
cos ² cos ² cos ²
 Angle α pour que la trajectoire passe par un point A(xA, zA)
z
 2v02 z 
2v02
g0
g0
1
x
²

(tan

)
x


1

tan
²

x
²

(tan

)
x

tan
²


tan


 1  0



2 v02 cos ²
2v02
g0 x
g
x
²
 0

2
 2v02 
 2v02 z 
v 02
g
 1  0  z 
Cette équation du 2 degrés admet une solution réelle ssi :   
 02 x²
  4
2g 0 2v 0
 g0 x 
 g0 x² 
nd
Pour A, x  xA et z  zA . Il existe 2 angles de tir possibles :
-
Angle de tir α1 :
 2v02

2v02
 
 

g x
g x

tan 1  0
 1  tan 1  0


2
2




-
Angle de tir α2 :
 2v02

2v02
 
 

g x
g x

tan  2  0
  2  tan 1  0


2
2




Remarque : le vecteur vitesse du centre d’inertie d’un corps placé uniquement dans un champ de pesanteur ne
dépend pas de la masse de ce corps.
5. Particule chargée dans un champ électrostatique
On étudie une particule ponctuelle (charge), de charge q et de masse m, qui pénètre à l’instant t = 0 avec une vitesse
v0 dans un champ électrostatique uniforme E , perpendiculaire aux armatures d’un condensateur plan. Son poids
étant négligeable. L’étude s’effectue dans le référentiel du laboratoire considéré comme galiléen.
Système : particule ponctuelle de charge q et de masse m
Référentiel : référentiel du laboratoire
Bilan des forces : F  q  E
On se place dans un repère d'espace orthonormé (O ; i , j , k )
La deuxième loi de Newton permet d’écrire :
 F  m a(t )

q  E  m a(t )

a(t ) 
q
E
m
 Équations horaires du mouvement :

 ax (t )  0

aG  a y (t )  0

 az (t )   q  E

m


 vx (t )  v0 cos 

vG  v y (t )  0

 vz (t )   q  E t  v0 sin 

m

 x(t )  (v0 cos  )t

 OG  y (t )  0

1 qE
 z (t )  
t ²  (v0 sin  )t
2 m

 Équation de la trajectoire
t
1
qE
x
x ²  (tan  ) x
 z ( x)  
2 m  v02  cos ²
v0 cos 
A RETENIR :
-
Le vecteur accélération du centre d’inertie d’une particule chargée placée dans un champ électrostatique est
dirigée selon le vecteur champ électrostatique ;
-
Le mouvement du centre d’inertie d’une particule chargée placée dans un champ électrostatique uniforme
avec une vitesse initiale non nulle, s’effectue dans un plan formé par les vecteurs v0 et E ;
-
La trajectoire du centre d’inertie d’une particule chargée placée dans un champ électrostatique uniforme
avec une vitesse initiale non nulle est une parabole dont la concavité dépend du signe de la charge q.