Chapitre 19 : Les lois de Newton Isaac Newton fut le premier à établir les relations entre mouvement d'un solide et forces qui lui sont appliquées. Rappel : Un solide soumis à aucune force est dit « isolé », s’il est soumis à un ensemble de forces qui se compensent, il est dit « pseudo-isolé ». 1. La première loi de Newton Cette loi est aussi connue sous la dénomination « principe de l'inertie » Depuis Aristote, on pensait que pour maintenir la vitesse d'un mobile constante, il était nécessaire de lui appliquer une force. Galilée à la fin du XVIe siècle, émit l'hypothèse contraire et Newton reformula cette idée. Énoncé : dans un référentiel galiléen , lorsqu'un solide est isolé ou pseudo-isolé, son centre d'inertie G est : soit au repos, si G est initialement immobile ; soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme. Si vG 0 alors F ext 0 et réciproquement 2. La deuxième loi de Newton Cette loi est aussi connue sous la dénomination « théorème du centre d'inertie » ou « relation fondamentale de la dynamique ». Elle établit le lien entre forces appliquées et nature du mouvement. Énoncé : dans un référentiel galiléen , la somme des forces extérieures (ou résultante) qui s’exercent sur un système de masse m est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement : dp(t ) dt F Si la masse se conserve F m a(t ) 3. La troisième loi de Newton Cette loi est aussi connue sous la dénomination « principe de l'action et de la réaction ». Énoncé : lorsqu'un corps A exerce sur un corps B une action mécanique représentée par une force FA/B , le corps B exerce sur A une action mécanique représentée par une force FB/A . Ces deux forces ont même direction, même norme mais sont de sens contraire. FA/B FB/A 4. Applications ( TP n°16) 4.1. Le mouvement rectiligne [Rappel] un mouvement est rectiligne si la trajectoire du solide est une droite. 4.2. Le mouvement circulaire [Rappel] un mouvement est circulaire si la trajectoire du solide est un cercle. Remarques : - Le mouvement circulaire non uniforme : Dans le cas d’un mouvement circulaire, à chaque instant, l’accélération peut se décomposer en deux vecteurs : a an a - a n : accélération normale, centripète ; a : accélération tangentielle, tangente à la trajectoire et orientée dans le sens du mouvement. Dans le repère local (A ; u n , u τ ), est appelé repère de Frenet, on montre que les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération sont : vn 0 v v v - v2 a n r a dv a dt (r = rayon de la trajectoire, en m) Le mouvement circulaire uniforme (MCU) : Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, la vitesse est constante donc dv 0 et a 0 donc : dt a an v2 R 4.3. Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme 4.3.1. La chute libre ( ECE n°8) Les équations horaires du mouvement sont : Vitesse initiale nulle ax (t ) 0 aG a y (t ) 0 az (t ) g 0 Vitesse initiale non nulle ax (t ) 0 aG a y (t ) 0 az (t ) g 0 vx (t ) 0 vG v y (t ) 0 vz (t ) g 0t Intégration Intégration x(t ) 0 OG y (t ) 0 1 z (t ) g 0t ² 2 x(t ) 0 vx (t ) 0 Intégration Intégration vG v y (t ) 0 OG y (t ) 0 1 vz (t ) g 0t v0 z (t ) g 0t ² v 0 t 2 Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. A RETENIR : Le vecteur accélération du centre d’inertie d’un système placé uniquement dans un champ de pesanteur ( en chute libre) est égal au vecteur champ de pesanteur. 4.3.2. Le mouvement parabolique ( ECE n°8) En considérant que seule agit l’action mécanique exercée par la Terre sur l’objet (on néglige l’action mécanique de l’air) et qui se modélise par le poids de l’objet : P m g0 La deuxième loi de Newton permet d’écrire : dp P m g0 dt On en déduit : d m v dt mg 0 dv a g0 dt ( a et v étant, respectivement, les vecteurs accélération et vitesse du centre d’inertie de l’objet) Remarque : on suppose que le poids est équivalent à la force de gravitation (on néglige la force d’inertie d’entrainement). Le projectile est aussi en mouvement par rapport au référentiel, on va donc négliger la force de Coriolis. Equations horaires du mouvement : En projetant cette relation dans le repère (O, i , j , k ) , on a : g0 x 0 g0 g0 y 0 g 0 z g 0 ax 0 aG a y 0 a z g 0 vx (t ) C1 Intégration vG v y (t ) C2 vz (t ) g 0t C3 Intégration x(t ) C1t C4 OG y (t ) C2t C5 1 z (t ) g 0t ² C3t C6 2 Les constantes C1, C2, C3, C4, C5 et C6 sont déterminées à partir des conditions initiales (à t = 0 s) qui sont : C1 v0 cos ; C2 0 ; C3 v0 sin ; C4 0 ; C5 0 ; C6 0 On en déduit : ax (t ) 0 aG a y (t ) 0 az (t ) g 0 Intégration x(t ) (v0 cos )t vx (t ) v0 cos Intégration vG v y (t ) 0 OG y (t ) 0 1 vz (t ) g 0t v0 sin z (t ) g 0t ² (v0 sin )t 2 avec v0 ; i Équation de la trajectoire t g 1 x x ² (tan ) x z ( x) 2 0 2 v0 cos ² v0 cos Le mouvement du projectile est une parabole de sommet S. Portée du projectile : OP La portée est définie par z = 0 0 g0 g0 1 1 (OP)² tan (OP) (OP)² tan (OP) 2 2 2 v0 cos ² 2 v0 cos ² v 02 g0 1 2v02 cos ² 2v02 sin cos OP = sin 2 (OP) tan OP tan OP g0 2 v02 cos ² g0 g0 Flèche (altitude maximale atteinte) : S S est tel que : x Rappel : sin 2 2sin cos OP dz ou 0 2 dx x OP v02 sin 2 2 2g 0 dz 0 dx 2 v02 v02 g0 1 sin 2 tan sin 2 zS 2 2 v0 cos ² 2g 0 2g 0 g dz 0 2 0 x tan dx v0 cos ² x tan v 02 sin² v02 sin ² v02 sin ² zS zS = 2g 0 2g 0 g0 zS = Ainsi, zS est maximale si sin 2 1 sin 1 v02 cos ² v02 sin cos v02 sin 2 g0 g0 2g 0 v 02 sin² 2g 0 π (seule valeur acceptable) 2 Portée maximale OP v02 sin 2 est maximale si sin 2 est maximal sin 2 1 2 45 2 4 g0 OPmax = L’altitude maximale, pour 4 , sera : zSmax = v 02 4g 0 v 02 g0 1 cos ² sin ² 1 tan ² cos ² cos ² cos ² Angle α pour que la trajectoire passe par un point A(xA, zA) z 2v02 z 2v02 g0 g0 1 x ² (tan ) x 1 tan ² x ² (tan ) x tan ² tan 1 0 2 v02 cos ² 2v02 g0 x g x ² 0 2 2v02 2v02 z v 02 g 1 0 z Cette équation du 2 degrés admet une solution réelle ssi : 02 x² 4 2g 0 2v 0 g0 x g0 x² nd Pour A, x xA et z zA . Il existe 2 angles de tir possibles : - Angle de tir α1 : 2v02 2v02 g x g x tan 1 0 1 tan 1 0 2 2 - Angle de tir α2 : 2v02 2v02 g x g x tan 2 0 2 tan 1 0 2 2 Remarque : le vecteur vitesse du centre d’inertie d’un corps placé uniquement dans un champ de pesanteur ne dépend pas de la masse de ce corps. 5. Particule chargée dans un champ électrostatique On étudie une particule ponctuelle (charge), de charge q et de masse m, qui pénètre à l’instant t = 0 avec une vitesse v0 dans un champ électrostatique uniforme E , perpendiculaire aux armatures d’un condensateur plan. Son poids étant négligeable. L’étude s’effectue dans le référentiel du laboratoire considéré comme galiléen. Système : particule ponctuelle de charge q et de masse m Référentiel : référentiel du laboratoire Bilan des forces : F q E On se place dans un repère d'espace orthonormé (O ; i , j , k ) La deuxième loi de Newton permet d’écrire : F m a(t ) q E m a(t ) a(t ) q E m Équations horaires du mouvement : ax (t ) 0 aG a y (t ) 0 az (t ) q E m vx (t ) v0 cos vG v y (t ) 0 vz (t ) q E t v0 sin m x(t ) (v0 cos )t OG y (t ) 0 1 qE z (t ) t ² (v0 sin )t 2 m Équation de la trajectoire t 1 qE x x ² (tan ) x z ( x) 2 m v02 cos ² v0 cos A RETENIR : - Le vecteur accélération du centre d’inertie d’une particule chargée placée dans un champ électrostatique est dirigée selon le vecteur champ électrostatique ; - Le mouvement du centre d’inertie d’une particule chargée placée dans un champ électrostatique uniforme avec une vitesse initiale non nulle, s’effectue dans un plan formé par les vecteurs v0 et E ; - La trajectoire du centre d’inertie d’une particule chargée placée dans un champ électrostatique uniforme avec une vitesse initiale non nulle est une parabole dont la concavité dépend du signe de la charge q.