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Chapitre 19 : Les lois de Newton
Isaac Newton fut le premier à établir les relations entre mouvement d'un solide et forces qui lui sont appliquées.
Rappel :
Un solide soumis à aucune force est dit « isolé », s’il est soumis à un ensemble de forces qui se compensent, il est
dit « pseudo-isolé ».
1. La première loi de Newton
Cette loi est aussi connue sous la dénomination « principe de l'inertie »
Depuis Aristote, on pensait que pour maintenir la vitesse d'un mobile constante, il était nécessaire de lui appliquer
une force. Galilée à la fin du XVIe siècle, émit l'hypothèse contraire et Newton reformula cette idée.
Énoncé : dans un référentiel galiléen , lorsqu'un solide est isolé ou pseudo-isolé, son centre d'inertie G est :
 soit au repos, si G est initialement immobile ;
 soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme.
Si
0
G
v
alors
0
ext
F
et réciproquement
2. La deuxième loi de Newton
Cette loi est aussi connue sous la dénomination « théorème du centre d'inertie » ou « relation fondamentale de la
dynamique ». Elle établit le lien entre forces appliquées et nature du mouvement.
Énoncé : dans un référentiel galiléen , la somme des forces extérieures (ou résultante) qui s’exercent sur un
système de masse m est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement :
dp( )
Fdt
t
F ( )m a t
3. La troisième loi de Newton
Cette loi est aussi connue sous la dénomination « principe de l'action et de la réaction ».
Énoncé : lorsqu'un corps A exerce sur un corps B une action mécanique représentée par une force
A/B
F
, le corps B
exerce sur A une action mécanique représentée par une force
B/A
F
. Ces deux forces ont même direction, même
norme mais sont de sens contraire.
A/B B/A
FF
4. Applications ( TP n°16)
4.1. Le mouvement rectiligne
[Rappel] un mouvement est rectiligne si la trajectoire du solide est une droite.
Si la masse
se conserve

4.2. Le mouvement circulaire
[Rappel] un mouvement est circulaire si la trajectoire du solide est un cercle.
Remarques :
- Le mouvement circulaire non uniforme :
Dans le cas d’un mouvement circulaire, à chaque instant, l’accélération peut se
décomposer en deux vecteurs :
n
a a a
-
n
a
: accélération normale, centripète ;
-
a
: accélération tangentielle, tangente à la trajectoire et orientée
dans le sens du mouvement.
Dans le repère local (A ;
n
u
,
τ
u
), est appelé repère de Frenet, on montre que
les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération sont :
0
n
v
vvv
2
nv
ar
adv
adt
(r = rayon de la trajectoire, en m)
- Le mouvement circulaire uniforme (MCU) :
Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, la vitesse est constante donc
0
dv
dt 
et
0a
donc :
2
R
nv
aa

4.3. Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
4.3.1. La chute libre ( ECE n°8)
Les équations horaires du mouvement sont :
Vitesse initiale nulle
0
( ) 0
( ) 0
( ) g
x
Gy
z
at
a a t
at
0
( ) 0
( ) 0
( ) g
x
Gy
z
vt
v v t
v t t
0
( ) 0
OG ( ) 0
1
( ) g ²
2
xt
yt
z t t
Vitesse initiale non nulle
0
( ) 0
( ) 0
( ) g
x
Gy
z
at
a a t
at
00
( ) 0
( ) 0
( ) g
x
Gy
z
vt
v v t
v t t v
00
( ) 0
OG ( ) 0
1
( ) g ² v
2
xt
yt
z t t t
 Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.
A RETENIR :
Le vecteur accélération du centre d’inertie d’un système placé uniquement dans un champ de pesanteur ( en
chute libre) est égal au vecteur champ de pesanteur.
4.3.2. Le mouvement parabolique ( ECE n°8)
En considérant que seule agit l’action mécanique exercée par la Terre
sur l’objet (on néglige l’action mécanique de l’air) et qui se modélise par
le poids de l’objet :
0
Pgm
La deuxième loi de Newton permet d’écrire :
0
dp Pg
dm t  
On en déduit :
0
d m v g
dm t
0
dv g
da t
(
a
et
v
étant, respectivement, les vecteurs accélération et vitesse du centre d’inertie de l’objet)
Remarque : on suppose que le poids est équivalent à la force de gravitation (on néglige la force d’inertie
d’entrainement). Le projectile est aussi en mouvement par rapport au référentiel, on va donc négliger la force de
Coriolis.
 Equations horaires du mouvement :
En projetant cette relation dans le repère
( , , , )O i j k
, on a :
0
00
00
0
0
g
x
y
z
g
gg
g
0
0
0
g
x
Gy
z
a
aa
a
1
2
03
()
()
( ) g
x
Gy
z
v t C
v v t C
v t t C
14
25
0 3 6
()
OG ( )
1
( ) g ²
2
x t C t C
y t C t C
z t t C t C
Intégration
Intégration
Intégration
Intégration
Intégration
Intégration

Les constantes C1, C2, C3, C4, C5 et C6 sont déterminées à partir des conditions initiales (à t = 0 s) qui sont :
10
cosCv
;
20C
;
30
sinCv
;
40C
;
50C
;
60C
On en déduit :
0
( ) 0
( ) 0
( ) g
x
Gy
z
at
a a t
at
0
00
( ) cos
( ) 0
( ) g sin
x
Gy
z
v t v
v v t
v t t v
0
00
( ) ( cos )
OG ( ) 0
1
( ) g ² ( sin )
2
x t v t
yt
z t t v t
avec
0;vi
 Équation de la trajectoire
0cos
x
tv
0
2
0
g
1
( ) ² (tan )
2 cos²
z x x x
v
Le mouvement du projectile est une parabole de sommet S.
 Portée du projectile : OP
La portée est définie par z = 0 
0
2
0
g
1
0 (OP)² tan (OP)
2 cos²v
0
2
0
g
1(OP)² tan (OP)
2 cos²v
0
2
0
g
1(OP) tan
2 cos²v
2
0
0
2 cos²
OP tan g
v
2
0
0
2 sin cos
OP g
v
0
2
0
v
OP = sin 2
g
 Flèche (altitude maximale atteinte) : S
S est tel que :
OP
2
x
ou
d0
dz x
2
0
0
OP sin2
2 2g
v
x
d0
dz x
2
22
0 0 0
2
0 0 0
g
1sin2 tan sin2
2 cos² 2g 2g
Svv
zv
22
00
00
sin² sin²
2g g
Svv
z
0
2
0
Sv sin²
z= 2g
0
2
0
g
d0 tan
d cos²
zx
xv
2 2 2
0 0 0
0 0 0
cos² sin cos sin2
tan g g 2g
v v v
x
0
2
0
Sv sin²
z= 2g
Ainsi, zS est maximale si
2
sin 1
sin 1
π
2
(seule valeur acceptable)
 Portée maximale
2
0
0
OP sin 2
g
v
est maximale si
sin2
est maximal 
sin2 1
22
45
4
0
2
0
max v
OP = g
L’altitude maximale, pour
4
, sera :
max
2
0
S0
v
z=
4g
Rappel :
sin2 2sin cos
Intégration
Intégration

 Angle α pour que la trajectoire passe par un point A(xA, zA)
00
22
00
gg
1² (tan ) 1 tan² ² (tan )
2 cos² 2
z x x x x
vv
22
00
00
22
tan² tan 1 0
g g ²
v v z
xx
Cette équation du 2nd degrés admet une solution réelle ssi :
2
22
00
00
22
4 1 0
g g ²
v v z
xx
0
0
2
02
0
vg
z x²
2g 2v
Pour A,
A
xx
et
A
zz
. Il existe 2 angles de tir possibles :
- Angle de tir α1 :
22
00
1
00
11
22
gg
tan tan
22
vv
xx
- Angle de tir α2 :
22
00
1
00
22
22
gg
tan tan
22
vv
xx
Remarque : le vecteur vitesse du centre d’inertie d’un corps placé uniquement dans un champ de pesanteur ne
dépend pas de la masse de ce corps.
5. Particule chargée dans un champ électrostatique
On étudie une particule ponctuelle (charge), de charge q et de masse m, qui pénètre à l’instant t = 0 avec une vitesse
0
v
dans un champ électrostatique uniforme
E
, perpendiculaire aux armatures d’un condensateur plan. Son poids
étant négligeable. L’étude s’effectue dans le référentiel du laboratoire considéré comme galiléen.
Système : particule ponctuelle de charge q et de masse m
Référentiel : référentiel du laboratoire
Bilan des forces :
FEq
On se place dans un repère d'espace orthonormé (O ;
i
,
j
,
k
)
La deuxième loi de Newton permet d’écrire :
F ( )m a t
E ( )q m a t
( ) E
q
at m
1 cos² sin² 1 tan²
cos² cos² cos²