Proposition : La suite (Llog 2(n)C) est 2

Le but du présent article est de démontrer que la suite (b 12 + log2 (n)c) n’est pas une
suite 2-rationnelle. On commence par rappeler les outils dont on aura besoin.
Proposition : La suite (blog2 (n)c) est 2-rationnelle.
Démonstration : On a, pour tout n entier naturel:
blog2 (2n)c = 1 + blog2 (n)c
blog2 (2n + 1)c = 1 + blog2 (n)c
(Il s’agit de la longueur de l’écriture binaire de n)
Proposition : Une suite entière bornée est k-automatique si et seulement si
elle est k-rationnelle
Démonstration : Admis.
Ainsi, on est ramené au problème suivant : démontrer que (b 21 + log2 (n)c −
blog2 (n)c)n n’est pas une suite 2-automatique (les suites 2-rationnelles forment
un anneau avec l’addition et le produit de convolution usuels) Enfin, faisons la
remarque suivante:
1
1
bx + c − bxc = 0 ⇔ ∃k ∈ N, k ≤ x < k +
2
2
Soit
√
1
blog2 (n) + c − blog2 (n)c = 0 ⇔ ∃k ∈ N, 2k ≤ x < 2k 2
2
Par l’absurde, on suppose que (un ) = (blog2 (n) + 21 c − blog2 (n)c) est une suite
2-automatique. Alors (un+1 ) est 2-automatique (résultat classique).
On prend les deux AFDS associés à (un ), (un+1 ):
(Q1 , {0; 1}, {0; 1}, δ1 , q0 , τ1 ), (Q2 , {0; 1}, {0; 1}, δ2 , q00 , τ2 )
On construit alors l’automate produit muni de la fonction de sortie suivante :
τ (q) = 1 si τ1 (q) = 0 et τ2 (q) = 1 Les nombres tels que (vn ) soit évaluée à 1 sont,
d’après la remarque préliminaire, les nombres n tels que:
√
n < 2k 2 ≤ n + 1
√
soit n = b2k 2c Posons le langage, rationnel par hypothèse:
√
{w ∈ {0; 1}∗ ; [w]2 = b2k 2c}
Ce langage√est totalement ordonné pour la relation préfixe, de limite l’écriture
binaire de 2. D’après le lemme de l’étoile, le mot infini
√ limite de ce langage
est périodique à partir d’un certain rang. Autrement dit, 2 est rationnel. Contradiction et résultat. Cette méthode peut se généraliser aux suites de la forme
(bα + logk (n)c) qui ne sont pas k-rationnelles si et seulement si k α est irrationnel.
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