Deuxième partie - IMJ-PRG

2015-2016
3M270
Alg`ebre
Deuxi`eme partie
4. LE GROUPE SYM´ ETRIQUE.
4.1. Permutations. Cycles. Notations.
D´efinition : Soient n≥1un entier, et Xl’ensemble {1, ..., n}.L’ensemble
Sym(X)des bijections de Xsur lui mˆeme est un groupe pour la composition des
applications. On l’appelle ”groupe sym´etrique” et on le note Sn. Les ´el´ements
de Snsont appel´es des permutations.
Notation :
Soit σ∈Sn.On repr´esente la permutation σau moyen d’un tableau `a deux
lignes. Sur la premi`ere ligne on ´ecrit les entiers allant de 1 `a n, et au-dessous
de chacun d’eux on ´ecrit son image :
σ=1 2 . . . N
σ(1) σ(2) ...σ(n)
On appelle support de la permutation σl ’ensemble
Supp(σ) = {i∈ {1, ..., n}/σ(i)6=i}.
Soit lun entier tel que 1 ≤l≤net soit i1, ..., ildes ´el´ements distincts de
{1, ..., n}. On note ( i1i2...in) la permutation d´efinie par :
σ(ij) = ij+1 si 1 ≤j≤l−1
σ(il) = i1.
Une telle permutation est appel´ee cycle de longueur l. On voit imm´ediatement
que l’ordre d’un cycle de longueur lest ´egal `a l.
Remarquons qu’il y a lfa¸cons de noter un cycle de longueur l. Ainsi,
(123) = ( 231) = ( 312).
On dit que des cycles sont disjoints si leurs supports sont disjoints. Des
cycles disjoints commutent. Toutefois, si n≥3, le groupe Snn’est pas ab´elien :
(1 2 )◦(2 3 )=(123)
(2 3 )◦(1 2 )=(132)
1

Les cycles de longueur 2 sont appel´es transpositions.
Proposition : card(Sn) = n!.
D´emonstration :
On proc`ede par r´ecurrence sur n.
Si n= 1, le r´esultat est ´evident.
Soit n≥2. On d´efinit sur Snla relation R:
σRτ⇐⇒ σ(n) = τ(n).
C’est une relation d’´equivalence dont les classes d’´equivalence sont les en-
sembles Ei={σ∈Sn/σ(n) = i}. Or on voit qu’il y a une bijection entre En
et Sn−1. Par hypoth`ese de r´ecurrence, on a donc card(En)=(n−1)!. De plus,
si i6=n, alors l’application d´efinie sur Snpar σ7−→ i n ◦σinduit une
bijection entre Eiet En. Par cons´equent, card(Ei) = card(En). Le r´esultat en
d´ecoule puisque les Eian nombre de n, forment une partition de Sn.
QED
4.2 D´ecomposition des permutations
Nous allons montrer que toute permutation peut se d´ecomposer en produit
de cycles disjoints, et aussi en produit de transpositions.
Th´eor`eme :
Toute permutation peut s’´ecrire comme un produit de cycles disjoints. Cette
d´ecomposition est unique, `a l’ordre des facteurs pr`es.
D´emonstration :
Soit σ∈Sn. On d´efinit sur l’ensemble {1, ..., n}la relation Rσpar
xRσy⇐⇒ ∃n∈Ztel que y=σn(x).
C’est une relation d’´equivalence (v´erifiez le!), dont les classes d’´equivalence
sont appel´ees les orbites de σ. Si xest un ´el´ement de {1, ..., n}, son orbite est
[x] = {σm(x)/m ∈Z}.
Il existe un entier r > 0 tel que x=σr(x). En effet, comme l’ensemble [x]
est une partie finie de {1, ..., n}et il existe des entiers m > 0 et r > 0 tels que
σm+r(x) = σm(x).
Soit alors rle plus petit entier strictement positif tel que x=σr(x). Alors
[x] = {x, σ(x), ..., σr−1(x)}.
Notons C1, ..., Ckles orbites de σ. Pour chaque indice i∈ {1, ..., k}, soit γi
la permutation d´efinie par
γi(x) = σ(x) si x∈Ci
xsi x /∈Ci
2

Ainsi d´efinis, les γisont des cycles disjoints. Soit τ=γ1◦... ◦γket soit
x∈ {1, ..., n}. Il existe un unique i∈ {1, ..., k}tel que x∈Ci. Comme les
orbites sont disjointes, on peut ´ecrire
τ(x) = γi◦γ1... ◦γi−1◦γi+1 ◦... ◦γk(x) = γi(x) = σ(x),
d’o`u σ=τ.
Il reste `a d´emontrer l’unicit´e de cette d´ecomposition.
On raisonne par r´ecurrence sur le nombre kde cycles disjoints dans une
d´ecomposition de σ.
Si k= 0, il n’y a rien `a d´emontrer. Supposons que σ=γ1◦...◦γk=δ1◦...◦δl
sont deux d´ecompositions en cycles disjoints. Soit x∈ {1, ..., n}tel que x∈C1.
Il existe un unique indice j∈ {1, ..., l}tel que j∈Supp(δj). Quitte `a changer la
num´erotation, on peut supposer que j= 1, et on a alors σ(x) = γ1(x) = δ1(x).
On en d´eduit que C1={x, δ1(x), ..., δt−1
1(x)}et γ1=δ1. On a donc
γ2◦... ◦γk=δ2◦... ◦δl.
En appliquant l’hypoth`ese de r´ecurrence, on en d´eduit que k=let que
{γ2, ..., γk}={δ2, ..., δk}.
QED
Corollaire :
L’ordre d’une permutation est ´egal au ppcm des ordres des cycles disjoints
qui la composent.
D´emonstration :
La d´emonstration est laiss´ee en exercice. (Attention, il s’agit d’une propri´et´e
sp´ecifique aux cycles disjoints : si xet ysont deux ´el´ements d’un groupe fini
Gqui commutent, et si a=o(x), b =o(y), r =ppcm(a, b), il n’est en g´en´eral
pas vrai que xy soit d’ordre r: prendre y=x−1, de sorte que a=b=r, mais
o(xy) = 1. N´eanmoins, on a toujours o(xy)|r, et o(xy) = ab =rsi aet bsont
premiers entre eux. Voir le §5.1 (et les feuilles d’exercices).
Exemple :
Soit σ=1234567
6457312.
Alors σ=1 6 ◦247◦3 5 .
Th´eor`eme :
Tout cycle peut se d´ecomposer en produit de transpositions.
D´emonstration :
i1...ik=i1ik◦i1ik−1◦···◦i1i2.
QED
Remarque :
3

La d´ecomposition en produit de transpositions n’est pas unique.
Th´eor`eme :
Toute permutation peut s’´ecrire comme un produit de transpositions.
4.3. Signature d’une permutation
D´efinition :
Soit σ∈Sn. On appelle signature de σle nombre
(σ) = Πi<j
σ(i)−σ(j)
i−j.
Proposition: (σ) = ±1.
D´emonstration :
Il suffit de montrer que (σ)2= 1.
Soit E={(i, j)∈ {1,···, n}2/i 6=j}. Remarquons que, si i6=j, alors
σ(i)6=σ(j) puisque σest injective. On a donc une application
Σ : E→E
d´efinie par Σ(i, j)=(σ(i), σ(j)). De plus, Σ est injective, donc bijective. On
a donc Y
(i,j)∈E
(i−j) = Y
(i,j)∈E
(σ(i)−σ(j)).
Par cons´equent :
(σ)2=Y
i<j
σ(i)−σ(j)
i−j·Y
i>j
σ(i)−σ(j)
i−j=Y
(i,j)∈E
σ(i)−σ(j)
i−j= 1.
QED
Th´eor`eme :
L’application :Sn→ {±1}est un homomorphisme de groupes.
D´emonstration :
On doit montrer que, pour toutes permutations σ, τ,(στ ) = (σ)(τ).
(στ) = Y
i<j
στ(i)−στ(j)
i−j=Y
i<j
στ(i)−στ(j)
τ(i)−τ(j)·τ(i)−τ(j) i−j,
d’o`u
(στ)
(τ)=Y
i<j
στ(i)−στ(j)
τ(i)−τ(j)=Y
i<j
τ(i)<τ (j)
στ(i)−στ(j)
τ(i)−τ(j)·Y
i<j
τ(i)>τ (j)
στ(i)−στ(j)
τ(i)−τ(j).
4

Si on pose i0=τ(i) on obtient
(στ)
(τ)=Y
i<j
i0<j0
σ(i0)−σ(j0)
i0−j0·Y
i<j
i0>j0
σ(i0)−σ(j0)
i0−j0
=Y
i<j
i0<j0
σ(i0)−σ(j0)
i0−j0·Y
i>j
i0<j0
σ(i0)−σ(j0)
i0−j0
=Y
i0<j0
σ(i0)−σ(j0)
i0−j0
=(σ).
QED
D´efinition :
Soit σ∈Sn. On dit qu’un couple (i, j)est une inversion pour σsi i<j et
σ(i)> σ(j).
Si on note I(σ) le nombre d’inversions pour σ, alors
(σ)=(−1)I(σ).
D´efinition :
Soit σ∈Sn. On dit que σest une permutation paire si (σ) = 1. On dit
que c’est une permutation impaire si (σ) = −1.
On remarque que la permutation σest paire si et seulement si son nombre
d’inversions est pair.
Pour d´eterminer le nombre d’inversions d’une permutation `a partir de son
tableau, on compte, pour chaque ´el´ement de la deuxi`eme ligne, combien d’´el´ements
plus petits apparaissent `a sa droite.
Par exemple, soit
σ=12345
24513.
Cette permutation pr´esente 5 inversions.
Proposition :
Les transpositions sont donc des permutations impaires.
D´emonstration :
Soit τ=i j , une transposition (i < j). Les inversions de τsont les
couples (i, k) tels que i+ 1 ≤k≤j, au nombre de j−i, et les couples (l, j) tels
que i+ 1 ≤l≤j−1, au nombre de j−i−1. Au total, le nombre d’inversions
est ´egal `a 2(j−i)−1, qui est impair.
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