Cours de calcul différentiel Licence de mathématiques, 3`eme année

Cours de calcul diff´erentiel
Licence de math´ematiques, 3`eme ann´ee
Rapha¨el Danchin
23 novembre 2010

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Table des mati`eres
1 Fonctions de plusieurs variables 5
1.1 Quelquesnotations................................... 5
1.2 Continuit´e........................................ 5
1.2.1 G´en´eralit´es ................................... 5
1.2.2 Applications lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Applications multilin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 D´eriv´ees directionnelles et d´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Diff´erentiabilit´e 11
2.1 D´efinition de la diff´erentiabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Propri´et´esclassiques .................................. 14
2.3 La notation diff´erentielle et les changements de variables . . . . . . . . . . . . . . 15
3 L’in´egalit´e des accroissements finis 17
3.1 Le cas d’une fonction num´erique d’une variable r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Le th´eor`eme des accroissements finis pour les fonctions de plusieurs variables . . 17
3.3 Quelques applications de l’in´egalit´e des accroissements finis . . . . . . . . . . . . 19
4 Diff´erentielles d’ordre sup´erieur 23
4.1 D´efinitions........................................ 23
4.2 D´eriv´ees partielles d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 FormulesdeTaylor................................... 27
4.3.1 Formule de Taylor avec reste int´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.2 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Probl`emes d’extrema 31
5.1 D´efinitions........................................ 31
5.2 R´esultats li´es `a la compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3 Cas des fonctions deux fois diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.4 Conditions d’extrema dans le cas convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.4.1 R´esultats de convexit´e pour les fonctions d’une seule variable . . . . . . . 34
5.4.2 R´esultats de convexit´e pour les fonctions de plusieurs variables . . . . . . 36
5.4.3 Extrema des fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.5 Exemple d’´etude d’extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Fonctions implicites et inversion locale 41
6.1 Le th´eor`eme du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Le th´eor`eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.3 Extrema sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
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4TABLE DES MATI ` ERES
6.3.1 Le cas d’une seule contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3.2 Le cas de plusieurs contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3.3 Lecasconvexe ................................. 47
6.4 Th´eor`emesd’inversion ................................. 48
6.5 Un peu de g´eom´etrie diff´erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.5.1 Leshypersurfaces................................ 50
6.5.2 Application `a la dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.5.3 Application `a la dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7 Introduction aux formes diff´erentielles 53
7.1 Quelques ´el´ements d’alg`ebre ext´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.1.1 D´efinitions ................................... 53
7.1.2 Repr´esentation des formes k-lin´eaires altern´ees . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.1.3 Op´erations sur Λk(E) ............................. 55
7.2 Formesdiff´erentielles.................................. 57
7.2.1 D´efinitions ................................... 57
7.2.2 Changements de variables et transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2.3 Formes exactes et formes ferm´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Bibliographie 65

Chapitre 1
Fonctions de plusieurs variables
1.1 Quelques notations
Dans tout ce cours, Eet Fsont deux R-espaces vectoriels. Sauf mention contraire, on
supposera que Eet Fsont de dimension finie, et l’on notera nla dimension de Eet pla
dimension de F. En pratique, on prendra tr`es souvent E=Rnet F=Rp.
Nous supposerons de plus que E(resp. F) est muni d’une norme not´ee k·kE(resp. k·kF).
Le lecteur n’est pas sans ignorer qu’en dimension finie toutes les normes sont ´equivalentes (cf
le cours sur les fonctions de plusieurs variables en deuxi`eme ann´ee de licence), et le choix de la
norme n’influe donc pas sur les propri´et´es topologiques (continuit´e, limite, etc.) de E. Lorsque
E=Rnet x= (x1,··· , xn), les choix les plus courants sont
kxkE= sup
i∈{1,···,n}|xi|,kxkE=v
u
u
t
n
X
i=1
x2
iou kxkE=
n
X
i=1 |xi|.
Pour tout a∈Eet r≥0,on note BE(a, r) (resp. BE(a, r)) la boule ouverte (resp. la boule
ferm´ee) de E, c’est-`a-dire l’ensemble des x∈Etels que kx−akE< r (resp. kx−akE≤r.)
Le but premier de ce cours est d’´etudier la g´en´eralisation de la notion de d´erivabilit´e aux
fonctions de plusieurs variables. Notre objet d’´etude sera typiquement une fonction fd´efinie
sur une partie Ude E(g´en´eralement suppos´ee ouverte) et `a valeurs dans F.
Si l’ensemble d’arriv´ee Fest Rp, on peut associer `a fses pfonctions composantes
f1,··· , fpd´efinies par
f(x) = (f1(x),··· , fp(x)) .
Dans le cas particulier o`u E=F=Rpet f(x) = x, la i-`eme fonction composante est
πi:Rp−→ R
x7−→ xi
et est appel´ee i-`eme projection canonique (ou i-`eme application coordonn´ee). Si f∈
F(Rn;Rp), on a donc fi=πi◦f.
1.2 Continuit´e
1.2.1 G´en´eralit´es
Rappelons d’abord la d´efinition de la continuit´e.
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