Algèbre linéaire

Université de Bourgogne
Algèbre linéaire
Johan Taflin
2016-2017

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johan.tafl[e-mail]
Bureau : A316

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Préface
Ce texte est destiné aux étudiants de première année de licence physique/chimie à l’uni-
versité de Bourgogne. Il s’agit d’une introduction à l’algèbre linéaire et au calcul matriciel.
Cette version est susceptible de contenir des coquilles et des erreurs. Tout commentaire
est le bienvenu.
Méthodologie : L’assimilation d’un nouveau cours est difficile et exige un travail person-
nel assidu. Il est important de s’approprier les notions, de trouver ses propres exemples et
contre-exemples, de connaître les définitions, de s’interroger sur les hypothèses des énoncés
etc.
Par ailleurs, il est illusoire de penser que ces notes de cours puissent remplacer une
présence attentive en cours magistral.

Table des matières
1 Matrices 1
1.1 Calculmatriciel.................................. 1
1.2 Systèmeslinéaires ................................ 6
1.3 Laméthodedupivot............................... 6
1.4 Résolution des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Inversiondematrices............................... 12
2 Espaces Vectoriels 13
2.1 Définitionsetexemples.............................. 13
2.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Familles génératrices, familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Basesetdimension................................ 19
2.5 Rangd’unematrice................................ 20
2.6 L’espace vectoriel des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Applications linéaires 25
3.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Noyau,imageetrang............................... 27
3.2.1 Calculspratiques............................. 30
3.3 Matrices d’une application linéaire, matrices de passage . . . . . . . . . . . 31
4 Déterminant 33
4.1 Formes n-linéaires, formes alternées, déterminant . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Calculspratiques................................. 36
5 Valeurs propres, vecteurs propres 39
5.1 Valeurs propres, spectres et polynômes caractéristiques . . . . . . . . . . . . 39