Terminale STG Chapitre 8 : probabilités. Page n ° 1 2007

Terminale STG Chapitre 8 : probabilités. Page n ° 1
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Les jeux de hasard sont connus depuis l'Antiquité. C'est leur étude qui a conduit Pierre de Fermat ( 1601 - 1665 )
et Blaise Pascal ( 1623 - 1662 ) à s'intéresser au calcul des probabilités. Jacques Bernoulli ( 1654 - 1705 )
énonça la loi des grands nombres qui exprime le lien entre la fréquence d'un événement et sa probabilité
d'apparition.
La publicité nous annonce que le loto ce n'est pas cher et que ça peut rapporter gros. Mais de combien de façon
différentes peut-on choisir un numéro parmi 49 ? En remplissant une grille de loto, combien a-t-on de chances de
choisir les 6 bons numéros ? Autrement dit quelle est la probabilité de gagner ?
Celle ci est très faible : 1
13983816 . Seul l'Etat qui prélève 27,2 % du montant des paris est sûr de gagner…
On rencontre aussi les probabilités dans différents domaines tels les sondages d'opinion, dans les calculs
effectués par les compagnies d'assurance, en économie, en démographie, en médecine…
Autrement dit chaque fois que l'on mesure un risque.
1 Vocabulaire.
Lorsqu'on ne sait à l'avance quelle sera l'issue d'une expérience, on dit qu'il s'agit d'une expérience aléatoire.
Une expérience aléatoire peut conduire à plusieurs issues notées e
1
, e
2
, …, e
n
.
L'ensemble des issues possibles d'une épreuve ( ou expérience ) aléatoire est appelé l'univers de l'épreuve.
On le note souvent Ω.
Un événement est un ensemble constitué d'issues de l'univers.
Un événement constitué d'une seule issue est un événement élémentaire.
Dans la pratique, on assimile un événement élémentaire à son issue.
Il existe deux événements particuliers :
L'événement impossible, noté ∅, ( dit ensemble vide ), qui ne contient aucune issue.
L'événement certain, noté Ω, qui contient toutes les issues possibles.
Réunion et intersection de deux événements et événements contraires.
Soit E une expérience aléatoire.
Soit Ω l'univers associé à cette expérience aléatoire.
Soient A et B deux événements de cette expérience aléatoire.
Les issues qui sont dans l'événement A ou dans l'événement B constituent l'événement A U B appelé réunion de
A et de B.
En mathématiques, le ou est inclusif et signifie soit l'un soit l'autre soit les deux.
Exemples : voir feuille annexe.

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Les issues qui sont à la fois dans l'événement A et dans l'événement B constituent l'événement A ∩ B appelé
intersection de A et de B.
Deux événements sont dits incompatibles ( ou disjoints ) lorsqu'ils n'ont aucune issue en commun.
On note A ∩ B = ∅.
Deux événements sont dits contraires lorsqu'ils sont incompatibles et s'ils contiennent à eux deux toutes les
issues de l'univers. On note
A
le contraire de A et on a : A ∩
A
= ∅ et A U
A
= Ω .
Loi de probabilité.
Soit Ω = { e
1
; e
2
; e
3
; … ; e
n
} l'univers d'une épreuve aléatoire où chaque e
i
désigne une issue.
Définir une loi de probabilité sur l'univers Ω , c'est associer à chaque issue e
i
une probabilité p
i
qui vérifie
Pour tout i 0 ≤ p
i
≤ 1 et p
1
+ p
2
+ p
3
+ …+ p
n
= 1.
Le nombre p
i
est noté aussi p ( e
i
).
La probabilité d'un événement A notée p ( A ) est la somme des probabilités de toutes les issues de A.
Exemple : voir feuille annexe.
Equiprobabilité.
Il y a équiprobabilité sur l'univers Ω lorsque toutes les issues ont la même probabilité.
Si Ω est constitué de n issues alors la probabilité de chaque issue est 1
n .
Soit Ω un univers où il y a équiprobabilité.
Soit A un événement de Ω .
Alors la probabilité de l'événement A est donnée par les formules :
P ( A ) =
Ω de issuesd' nombres A de issuesd' nombre
=
possibles cas de nombre favorables cas de nombre

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Formules sur les probabilités.
Soient A et B deux événements.
Alors p ( A U B ) = p ( A ) + p ( B ) − p ( A ∩ B ).
Cas particulier : Si A et B sont incompatibles alors A ∩ B = ∅ donc p ( A U B ) = p ( A ) + p ( B ).
Soient A et
A
deux événements contraires.
Alors p (
A
) = 1 − p ( A ).
Démonstration : voir feuille annexe.
E1 Connaître l'effet d'un événement sur la probabilité d'un autre.
N ° 1
A l'oral du bac, un examinateur interroge le candidat au hasard sur l'un des trois thèmes : statistiques,
probabilités, fonctions. On désigne par S l'événement : " le candidat est interrogé sur les statistiques "
et par P l'événement : " le candidat est interrogé sur les probabilités ".
1. a ) Quel est l'événement S ∩ P ?
1. b ) Que peut on dire des événements S et P ?
2. a ) Décrire par une phrase l'événement S U P.
2. b ) Décrire par une phrase le contraire de l'événement S U P.
N ° 2 A l'épreuve pratique du permis de conduire, on a observé les résultats suivants sur un échantillon de 500
candidats se présentant pour la première fois.
candidats ayant pratiqué la conduite
accompagnée n'ayant pas pratiqué la conduite accompagnée Total
ayant réussi à la première
présentation 70 200 270
ayant échoué à la première
présentation 20 210 230
Total 90 410 500
On choisit au hasard un candidat dans cet échantillon.
On considère les événements C : " la candidat a pratiqué la conduite accompagnée " ;
R : " la candidat a réussi à la première présentation. "
On donnera les résultats sous forme de fraction.
1. Calculer les probabilités p ( C ) , p ( R ) et p ( C ∩ R ).
2. Antoine déclare qu'il a pratiqué la conduite accompagnée. Déterminer la probabilité qu'il ait obtenu son
permis à la première présentation. A quelle fréquence conditionnelle correspond ce résultat ?
Expliquer pourquoi
)C(p )RC(p ∩
donne le même résultat.
3. Elisabeth déclare qu'elle a obtenu son permis à la première présentation. Déterminer la probabilité
qu'elle ait pratiqué la conduite accompagnée. A quelle fréquence conditionnelle correspond ce résultat ?
Expliquer pourquoi
)R(p )RC(p ∩
donne le même résultat.

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2 Probabilités conditionnelles.
Soit Ω l'univers d'une épreuve aléatoire.
Soit B un événement tel que p ( B ) ≠ 0.
Soit A un événement de l'univers.
On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B et on la note p
B
( A ) le nombre égal à
)B(p )BA(p ∩
.
Remarques :
1 ) On peut calculer la probabilité de l'intersection. p
B
( A ) =
)B(p )BA(p ∩
⇔ p
B
( A ) × p ( B ) = p ( A ∩ B ).
2 ) La condition " sachant B " définit une nouvelle loi de probabilité p
B
sur l'univers Ω avec toutes ses propriétés
p
B
( A ) ∈ [ 0 ; 1 ] et p
B
( A ) + p
B
(
A
) = 1.
Exemple : on a interrogé des élèves de terminale sur leurs loisirs : 50 % d'entre eux déclarent aimer aller en boîte
et 75 % d'entre eux déclarent aimer le sport. De plus 40 % des élèves déclarent aimer aller en boite et le sport.
Pour un de ces élèves rencontrés au hasard, on considère les événements suivants
B : " l'élève aime aller en boîte. " et S : " l'élève aime le sport ".
1. Donner les probabilités des événements B, S, et B ∩ S.
2. Quelle est la probabilité que l'élève aime le sport sachant qu'il aime aller en boîte ?
3. Quelle est la probabilité que l'élève aime aller en boîte sachant qu'il aime le sport ?
E2 Savoir déterminer une probabilité conditionnelle.
N ° 3
Parmi les 360 adhérents d'un club de sport, une enquête a donné les résultats suivants :
Pratiquent la compétition Ne pratiquent pas la compétition Total
Fumeurs 18 36
Non fumeurs 216 90
Total
1. Reproduire et compléter le tableau ci dessus.
2. On rencontre au hasard un adhérent du club.
A ) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
F : " la personne fume " et C : " la personne pratique la compétition ".
B ) Quelle est la probabilité que la personne fume et pratique la compétition ?
C ) Quelle est la probabilité que la personne fume sachant qu'elle pratique la compétition ?
D ) Quelle est la probabilité que la personne fume sachant qu'elle ne pratique pas la compétition ?

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N ° 4
Rémi, agent commercial, se déplace pour rendre visite pendant la journée à deux clients.
Il a constaté que :
La probabilité que le premier client fasse un achat est égale à 0,3.
Si le premier client a fait un achat, alors la probabilité que le deuxième client fasse un achat est égale à 0,4.
Si le premier client n'a pas fait d'achat, la probabilité que le deuxième client fasse un achat est égale à 0,25.
On note : A : l'événement : " le premier client a fait un achat. "
Et B l'événement : " le deuxième client a fait un achat ".
1 ) Déterminer p ( A ), p
A
( B ) et
A
p ( B ).
2 ) En déduire p
A
(
B
) et
A
p (
B
).
E3 Découverte des arbres pondérés.
N ° 5
Dans un mélange de graines de fleurs roses et de fleurs jaunes, 60 % sont des graines de fleurs roses, 50 % des
graines de fleurs roses germent correctement et 80 % des graines de fleurs jaunes germent correctement.
On sème une graine prise au hasard dans ce mélange.
La situation décrite dans l'énoncé peut être représentée par l'arbre ci dessous, où l'on note les événements :
R : " la graine de fleur est rose "
J : " la graine de fleur est jaune "
G : " la graine germe correctement ".
Reproduire l'arbre que l'on va compléter dans les questions suivantes.
0,5 G
R
G
0,8 G
0,6
J
G
1. On considère les branches au premier niveau de l'arbre.
a ) Déterminer p ( R ).
b ) Quel lien y a t il entre les événements J et R ? En déduire p ( J ).
c ) Reporter sur l'arbre de probabilité p ( J ).
2. On considère les branches au second niveau de l'arbre.
a ) A quelles probabilités conditionnelles correspondent les valeurs 0,5 et 0,8 ?
b ) Compléter l'arbre avec p
R
( G ) et p
J
( G ).
3. Parcourons maintenant les branches de l'arbre.
a ) Décrire par une phrase chacun des événements R ∩ G et J ∩ G.
b ) Calculer p ( R ∩ G ) en précisant le résultat du cours utilisé.
Comment visualiser ce calcul sur l'arbre ?
c ) Calculer de même p ( J ∩ G ).
d ) En déduire la probabilité que la graine prise au hasard germe correctement.