Chapitre 4 – Séries trigonométriques 1 Fonctions périodiques 2

MVA101 Analyse et calcul matriciel Jacques V´ elu (CNAM)
Chapitre 4 – S´eries trigonom´etriques
1 Fonctions p´eriodiques
Soit fune fonction d´ efinie sur R. Le nombre θest une p´eriode de fsi f(t+θ)=f(t) quel que soit
t∈R. Quand fadmet une p´ eriode non nulle, on dit qu’elle est p´eriodique.
θ
Th´eor`eme : Soit fp´eriodique et continue. Ou bien f=Cte, ou bien il existe une plus petite p´ eriode
T>0 et toutes les p´ eriodes de fsont les nombres de la forme θ=kT avec k∈Z. Ce nombre T
s’appelle la p´eriode de f.
Soient fune fonction p´ eriodique et Tsa p´ eriode. On dit que fest de classe Cnpar morceaux s’il
existe des points : 0 =a0<a1<· · · <as=Ttels que :
•sur chacun des intervalles ouverts ]ai−1,ai[ les d´ eriv´ ees
f(0),f(1),..., f(n)existent, sont continues, et, quel que soit k:
•lim
t→a+
i
f(k)(t) existe quand 0 6i<s,
•lim
t→a−
i
f(k)(t) existe quand 0 <i6s.
T0
a0a1a2a3
Remarque : Les nombres f(ai) sont d´ efinis, ou pas, cela n’a aucune d’importance.
Remarque : Si fest de classe Cnpar morceaux, elle est de classe Ckpour tout k6n.
Une fonction de classe C0par morceaux est une fonction continue par morceaux. Une telle fonction
est int´egrable sur tout intervalle born´ e.
Th´eor`eme : Soient fune fonction p´ eriodique continue par morceaux, θune de ses p´ eriodes non
nulle, et aun nombre r´ eel quelconque. Alors le nombre :
µ(f)=1
θZa+θ
a
f(t)dt
ne d´ epend pas du choix de θet a; c’est la la valeur moyenne de f (t).
Cas particulier : Si fest impaire, sa valeur moyenne est nulle.
Th´eor`eme : Pour que les primitives d’une fonction p´ eriodique soient p´ eriodiques, il faut et il suffit
que la valeur moyenne de cette fonction soit nulle.
Th´eor`eme Si f1,f2,..., fnont θpour p´ eriode commune, et si C1,C2,...,Cnsont des constantes
quelconques, la fonction f=C1f1+C2f2+· · · +Cnfnadmet θpour p´ eriode et :
µ(f)=C1µ(f1)+C2µ(f2)+· · · +Cnµ(fn)
2 S´eries trigonom´etriques
Soit T>0. On s’int´ eresse aux fonctions admettant Tpour p´ eriode. On pose ω=2π
Tet on appelle
ce nombre la pulsation. Un polynˆome trigonom´etrique est une fonction de la forme :
f(t)=a0+a1cos(ωt)+b1sin(ωt)+· · · +ancos(nωt)+bnsin(nωt)
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Une s´erie trigonom´etrique est une s´ erie de la forme :
a0+a1cos(ωt)+b1sin(ωt)+· · · +ancos(nωt)+bnsin(nωt)+· · ·
Les fonctions : Hk(t)=akcos(kωt)+bksin(kωt) sont les harmoniques de la s´ erie ;
le premier harmonique s’appelle le fondamental. Quand aket bkne sont pas tous les deux nuls, on
´
ecrit aussi : Hk(t)=Akcos(kωt+ϕk)
Ak=qa2
k+b2 k(l’amplitude) cos(ϕk)=ak
Ak
sin(ϕk)=−bk
Ak
(ϕkla phase)k
Tla fr´equence
et la s´ erie devient : A0+A1cos(ωt+ϕ1)+· · · +Ancos(nωt+ϕn)+· · ·
Formules d’Euler
cos x=eix +e−ix
2sin x=eix −e−ix 2ieix =cos x+isin x e−ix =cos x−isin x
a0+
∞
X
n=1ancos(nωt)+bnsin(nωt)
=a0+
∞
X
n=1an
einωt+e−inωt
2+bn
einωt−e−inωt
2i
=a0+
∞
X
n=1an
2+bn 2ieinωt+
∞
X
n=1an
2−bn 2ie−inωt
=a0+
∞
X
n=1an−ibn
2einωt+
∞
X
n=1an+ibn
2e−inωt
Finalement, la s´ erie trigonom´ etrique prend la forme complexe :
· · · +c−2e−2iωt+c−1e−iωt+c0+c1eiωt+c2e2iωt+· · ·
avec : c0=a0et cn=an−ibn
2c−n=cn=an+ibn 2(n>0)
On repasse ` a la forme r´ eelle a0+
∞
X
n=1ancos(nωt)+bnsin(nωt)en posant, quand n>0 :
an=cn+c−nbn=i(cn−c−n)
Selon les besoins, les s´ eries trigonom´ etriques peuvent s’´ ecrire de 3 fac¸ons diff´ erentes :
r´ eelle : a0+
∞
X
n=1ancos(nωt)+bnsin(nωt)
harmonique : A0+
∞
X
n=1
Ancos(nωt+ϕn)
complexe :
+∞
X
n=−∞
cnei n ωt
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Les questions fondamentales
Q1 Quel est le domaine de convergence d’une s´ erie trigonom´ etrique ?
Q2 Quelles propri´ et´ es poss` ede la somme d’une s´ erie trigonom´ etrique ?
Q3 Les fonctions ayant ces propri´ et´ es sont-elles somme d’une s´ erie trigonom´ etrique ? Si oui, de
laquelle ?
La somme d’une s´erie trigonom´etrique est p´eriodique de p´eriode T.
Q3bis Parmi les fonctions p´ eriodiques de p´ eriode T, lesquelles sont la somme d’une s´ erie trigo-
nom´ etrique, et de quelle s´ erie ?
Il n’y a pas de condition n´ ec´ essaire et suffisante pour qu’une s´ erie trigonom´ etrique converge. Mais
il y a deux conditions suffisantes classiques.
Th´eor`eme 1 : Si les s´ eries
∞
X
n=1
|an|et
∞
X
n=1
|bn|convergent, la s´
erie trigonom´ etrique converge norma-
lement, donc uniform´ ement, et sa somme est continue.
Exemple :f(t)=
∞
X
n=1
cos(2πnt)
n2est une fonction continue de tde p´
eriode 1.
-2
-1
1
2
-1
1
2
Th´eor`eme 2 : Si anest une suite de nombres positifs qui d´ ecroissent et qui tendent vers 0, la s´ erie
trigonom´ etrique
∞
X
n=0
ancos(nωt) converge uniform´ ement sur tout intervalle contenu dans ]0,T[ et
sa somme est continue sur ]0,T[.
Exemple 1
∞
X
n=0
cos(2πnt)
nω=2πT=1
012 -1
-2
Th´eor`eme 2bis : Si bnest une suite de nombres positifs qui d´ ecroissent et qui tendent vers 0, la
s´ erie trigonom´ etrique
∞
X
n=0
bnsin(nωt) converge pour tout t. La convergence est uniforme sur tout
intervalle contenu dans ]0,T[ et sa somme est continue sur ]0,T[.
Exemple 2
∞
X
n=0
sin(2πnt)
nω=2πT=1
3

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0 1 2-1-2
π
2
3 S´erie de Fourier d’une fonction p´eriodique
Probl`eme : On a une fonction p´ eriodique et on sait qu’elle est la somme d’une s´ erie trigonom´ etrique
convergente du type :
S(t)=a0+
∞
X
n=1
ancos(nωt)+bnsin(nωt)
Comment retrouver les coefficients anet bn?
Id´ee : La valeur moyenne de chacune des fonctions ancos(nωt) et bnsin(nωt) est nulle :
ZT
0
cos(nωt)dt ="sin(nωt)
nω#T
0
=0−0
nω=0ZT
0
sin(nωt)dt ="−cos(nωt)
nω#T
0
=0−0
nω=0
donc µ
a0+
∞
X
n=1
ancos(nωt)+bnsin(nωt) =µ(a0)=a0⇒a0=1
TZT
0
S(t)dt
Th´eor`eme :1
TZT
0
ei n ωtdt =
1 quand n=0
0 quand n,0
n,0ZT
0
ei n ωtdt ="ei n ωt
i n ω#T
0
=1−1
i n ω=0n=01 TZT
0
dt =T−0
T=1
Th´eor`eme :cn=1
TZT
0
S(t)e−i n ωtdt
S(t)=
+∞
X
p=−∞
cpei p ωt⇒S(t)e−inωt=
+∞
X
p=−∞
cpei(p−n)ωt⇒1
TZT
0
S(t)e−inωtdt =
+∞
X
p=−∞
cp 1
TZT
0
ei(p−n)ωtdt!=cp
Th´eor`eme :an=2
TZT
0
S(t) cos(nωt)dt bn=2
TZT
0
S(t) sin(nωt)dt
an=cn+c−n=1
TZT
0
S(t)(ei n ωt+e−i n ωt)dt bn=i(cn−c−n)=i
TZT
0
S(t)(ei n ωt−e−i n ωt)dt
La s´ erie trigonom´ etrique a0+
∞
X
n=1
ancos(nωt)+bnsin(nωt) construite avec ces coefficients s’appelle
la s´ erie de Fourier (r´ eelle) de la fonction. La s´ erie trigonom´ etrique
+∞
X
p=−∞
cpei p ωtest sa s´ erie de
Fourier (complexe).
4

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•Si la fonction est paire, tous les bnsont nuls, a0=2
TZT/2
0
S(t)dt et an=4
TZT/2
0
S(t) cos(nωt)dt
quand n>0.
•Si la fonction est impaire, tous les ansont nuls et bn=4
TZT/2
0
S(t) sin(nωt)dt
Question :Une fonction p´eriodique qui admet une s´erie de Fourier, est-elle ´egale `a la somme de sa s´erie de
Fourier ?
Notations :f(a+)=lim
t→a+f(t) et f(a−)=lim
t→a−f(t). fest continue en a⇐⇒ f(a+)=f(a−)=f(a)
Th´eor`eme de Dirichlet
Si fest une fonction p´ eriodique de classe C1par morceaux :
S(t)=f(t+)+f(t−)
2
En particulier, S(t)=f(t)quand f est continue au point t.
a
f(a )
+
f(a )
-
Exemple La fonction f(t) :
0 1 2-1-2
1
•est p´ eriodique de p´ eriode T=2⇒ω=π.
•est paire ⇒bn=0
•vaut 1 −tquand 0 6t61⇒
a0=1
2an=4 2Z1
0
(1−t) cos(nπt)dt =2 1−(−1)n
n2π2!
an=2 1−(−1)n
n2π2!⇒a2p=0 et a2p+1=4 π2(2p+1)2
S´ erie de Fourier : S(t)=1
2+4 cos πt
π21+4 cos 3πt π29+· · · =1
2+4
π2
∞
X
p=0
cos(2p+1)πt
(2p+1)2
Dirichlet ⇒S(t)=f(t)quel que soit t ∈R.
f(0) =1⇒S(0) =1⇒1
2+4
π2
∞
X
p=0
1
(2p+1)2
=1⇒π2
8=
∞
X
p=0
1
(2p+1)2
D´eveloppement d’une fonction en s´erie trigonom´etrique
1. On part d’une fonction f, d´ efinie sur R, pas forc´ ement p´ eriodique, de classe C1.
2. On se donne un nombre T>0, puis on fabrique une fonction Fde classe C1par morceaux,
p´ eriodique de p´ eriode T, en posant : F(t)=f(t) quand 0 <t<Tet en utilisant la p´ eriodicit´ e
pour les autres valeurs.
Exemple : f(t)=t2T=1
0
T=1
2-1-2 1
5