math 30411 Module 6 partie 2

Module 6 – équations trigonométriques - Page 1
Module 6 (10 cours)
L’ALGÈBRE – Équations trigonométriques
◊ Résolution d’équations trigonométriques
5.2 Résolvons des équations trigonométriques
Lorsqu’on a tracé les graphiques des fonctions sinus et cosinus, on a bien vu que plusieurs valeurs donnent la
même réponse de façon à créer une suite. Essayons de trouver toutes les valeurs possibles pour x, lorsqu’on
connaît la valeur de y.
Ex : Utilisons un diagramme sommaire pour résoudre une équation trigonométrique.
Utilise le diagramme de y = sin4x pour trouver toutes les valeurs où y = 0 dans l’intervalle
0
2
≤
≤
x
π
.
A = P =
Sin4x = 0, pour x =
On sait que les angles co-terminaux ont les mêmes valeurs, donc tous les angles co-terminaux seront des
multiples de la période de la fonction.
Ex : résolvons des équations du premier degré
Si 1 + sinx = 4sinx,
0
2
≤
≤
x
π
, trouve les valeurs possibles de x algébriquement et graphiquement.
Solution : on veut savoir où ces deux graphiques se coupent.
Algébriquement :
1 + sinx = 4sinx
1 = 4sinx – sinx
1 = 3 sinx
1
/
3
= sinx, sur la calculatrice, on fait sin
-1
(
1
/
3
) =0,3398 dans le
quadrant I et
π
- 0,3398 dans le quadrant II, ( endroits où le sinus est
positif
)
Les valeurs possibles pour x, si
0
2
≤
≤
x
π
sont 0,3398 rad et 2,8018 rad.
Ex : Trouvons les racines exactes d’équations trigonométriques du second degré.
cos
2
(2x) – cos 2x = 0
cos 2x(cos 2x – 1) = 0 donc, cos 2x = 0 ou cos 2x – 1 = 0
2x =
π π
23 2
et cos 2x = 1
x =
π π
43 4
et 2x = 0; x = 0
Les solutions exactes de cos
2
x – cos x = 0,
0
2
≤
≤
x
π
, x =0,
π π
43 4
et
π
6
π
3
π
2
23 π 56 π 76 π 43 π 3
2
π 53 π 11
6
π
0 rad
π
2
1570796
=
,
rad
π
=
3
14159
,
rad
3
2
4 712388
π
=,
rad
Quand il y a un
nombre avec x, on
résout de la même
façon, mais on
divise par le
nombre.

Module 6 – équations trigonométriques - Page 2
Ex : Trouvons les racines exactes d’équations trigonométriques du second degré.
2 sin
2
x – sin x – 1 = 0
2 sin
2
x – 2 sin x + sin x – 1 = 0
2 sin x(sin x – 1) + 1(sin x – 1) = 0
(sin x – 1)(2 sin x + 1) = 0 donc, sin x = 1 ou sin x =
-1
/
2
x =
π
2
x = − −
π π
656
et
Les solutions exactes de 2 sin
2
x – sin x – 1 = 0,
0
2
≤
≤
x
π
, x =
π
2
, − −
π π
656
et
Lorsqu’on ne peut pas décomposer en facteurs une équation quadratique, on la résout à l’aide de la formule
quadratique.
Ex : 3 tan
2
x – tan x – 1 = 0, si
0
2
≤
≤
x
π
.
La formule quadratique tan b b 4ac
2a
2
x=− ± − =
− − ± − − −
−
( 1) ( 1) 4(3)( 1)
2( 1)
2
=
1 1 12
2
± +
−
=
1 13
2
±−
Donc, tan x = -0,4343 ou tan x = 0,7676.
On fait donc tan
-1
sur la calculatrice pour trouver l’angle ne radian.
tan
-1
(0,4343) = 0,4097
Donc dans le 2
e
quadrant
π
- 0,4097 = 2,7319
dans le 4
e
quadrant
2
π
- 0,4097 = 5,8735
Les solutions de 3 tan
2
x – tan x – 1 = 0, si
0
2
≤
≤
x
π
, au dix-millième près sont 0,6547, 2,7319, 3,7963, 5,8735.
Si on veut toutes les solutions, on ajoute n x la période ou bout de la réponse.
Ex : Trouve toutes les solutions possibles de l’équation suivante.
Sin x tan x = sin x
Sin x tan x – sin x = 0
Sin x(tan x – 1) = 0
Sin x = 0 tan x = 1
X = 0 ou x =
π
x =
π
4
ou x =
54 π
Alors, si la période de la fonction sin x est de 2
π
, et la période de la fonction tan est de
π
, les solutions
générales seront 0 + 2n
π
,
π
+ 2n
π
,
π
4
+
π
n
Ex 5.2 : p.252 # 1, 3, 5, 11, 15, 18, 21, 27, 29, 30, 32, 34
tan
-
1
(0,7676) = 0,6547
dans le 3
e
quadrant
π
+ 0,6547 = 3,7963

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◊ Identités trigonométriques
5.4 Les identités trigonométriques
Remplis le tableau suivant :
Mesure de
∠
θ
0° 30° 45° 60° 90°
sin
θ
0
2
1
2
2
2
3
1
cos
θ
1
2
3
2
2
2
1
0
sin
2
θ
+ cos
2
θ
1
1
0
2
2
=+
1
4
3
4
1
2
3
2
1
2
2
=+= +
1
4
2
4
2
2
2
2
2
2
2
=+= + 1
4
1
4
3
2
1
2
3
2
2
=+= +
1
0
1
2
2
=+
Que remarques-tu avec sin
2
θ
+ cos
2
θ
?
Il est toujours égale à 1.
Une équation trigonométrique est une équation qui comporte au moins une fonction trigonométrique d’une
variable. Si cette équation est vraie pour toutes les valeurs de la variable qui définissent ses deux membres, on
l’appelle identité trigonométrique.
Identités trigonométriques de base ; elles sont vraies pour toutes les valeurs de
θ
, sauf celles qui rendent un
des membres de l’équation non défini.( 0 au dénominateur )
sin
cosec
θθ =1 , cos
sec
θθ =1 , tan
cotan
sin
cos
θθ
θ
θ
= =
1
,
cosec
sin
θθ =1 , sec
cos
θθ =1 , cotan
tan
cos
sin
θθ
θ
θ
= =
1
Alors, on peut ajouter à ces identités sin
2
θ
+ cos
2
θ
= 1 1 + tan
2
θ
= sec
2
θ
1 + cotan
2
θ
= cosec
2
θ
Pour démontrer les identités, il faut choisir un des côtés, le travailler pour arriver à ce qu’il y a de l’autre côté
du signe d’égalité.
Ex : Montre que 1 + tan
2
θ
= sec
2
θ
pour tout nombre réel
θ
tel que cos
θ
≠
0.
1 + tan
2
θ
= sec
2
θ
1 +
sin
cos
2
2
θθ
= sec
2
θ
cos sin
cos
sec
2 2
22
θ θ
θθ
+=
1
cos
sec
22
θθ
=
sec
sec
2 2
θ θ =
Parce que tan
sin
cos
θ
θ
θ
= , cos
θ
≠
0
Place les fractions sur dénominateur
commun.
Remplace sin
2
θ
+ cos
2
θ
par 1
Remplace
1
cos
par sec
θθ

Module 6 – équations trigonométriques - Page 4
Ex : Utilisons les valeurs exactes pour vérifier une identité.
Soit
cos
sin
1
+
sin
cos
θ
θ
θ
θ
1
−=
a) Vérifie si cet énoncé est vrai lorsque θ
π
=
6
.
cos
sin
1
+
sin
cos
π
π
π
π
6
6
6
6
1−=
33
3
33
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
2
3
2
12
2
1
2
3
2
3
2
1
1
2
1
1
2
3
=
=×=
×=
+
=
+
=
−
b) Représente graphiquement l’équation pour montrer qu’elle pourrait être une identité.
cos
sin
1
+
sin
cos
θ
θ
θ
θ
1
−=
c) Utilise une démarche algébrique pour prouver que l’identité est vraie en général. Indique les restrictions
s’il y a lieu.
cos
sin
1
+
sin
cos
θ
θ
θ
θ
1
−=
1
sin
1
sin
cos
sin
1
+
sin
cos
+
+×−=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
1
(1
sin
cos
1
-
sin
1
+
sin
cos
2
+= θ θ
θθ θ
)
(1
sin
cos
cos
1
+
sin
cos
2
+= θ θ
θθ θ
)
1
+
sin
cos
1
+
sin
cos
θ
θ
θ
θ
=
Ex : 5.4 p.264 # 1 à 10(algébriquement seulement), 11 à 20, 26 à 33(simplifier seulement)

Module 6 – équations trigonométriques - Page 5
5.5 Utilisons les identités d’addition, de soustraction et d’angles doubles
Identités d’addition et de soustraction
sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB sin(A - B) = sinAcosB – cosAsinB
cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB
tan(A B)
tanA
tanB
1
tanAtanB
où A,B+ =
+
−≠ +,
π
π
2
n
tan(A B)
tanA
tanB
1
tanAtanB
où A,B− =
−
+≠ +,
π
π
2
n
Identités d’angles doubles
sin(A + A)
= sinAcosA + cosAsinA
= 2cosAsinA,
sin2A = 2cosAsinA
tan(A
+
A)
=
+
−
tanA
tanA
1
tanAtanA
tan2A=
2tanA
1
tan
A
2
−
=
2tanA
1
tan
A
où A,B
2
−≠ +,
π
π
2
n
ex : Exprime chaque expression sous la forme d’une fonctions trigonométrique simple.
a) sin cos cos sin
563
8563 8
π
π
π
π
− b)
tan
tan
tan
tan
30 45
1
30
45
°+
°
− ° °
= sin( - )
5
6
3
8
π
π
=
tan
=
tan
( )30 45 75
°+
°
°
= sin( - ) = sin
20
24
9
24
11
24
π
π
π
Ex : 5.5 p.272 # 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 40, 43abcd
Ex. de révisions p. 278 # 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49
cos(A + A)
= cosAcosA – sinAsinA
= cos
2
A – sin
2
A
= 1 – sin
2
A – sin
2
A ou cos
2
A – (1 – cos
2
A)
= 1 – 2sin
2
A 2cos
2
A - 1
cos2A = 1 – 2sin
2
A ou cos2A = 2cos
2
A – 1