Module 6 (10 cours) L’ALGÈBRE – Équations trigonométriques ◊ Résolution d’équations trigonométriques 5.2 Résolvons des équations trigonométriques Lorsqu’on a tracé les graphiques des fonctions sinus et cosinus, on a bien vu que plusieurs valeurs donnent la même réponse de façon à créer une suite. Essayons de trouver toutes les valeurs possibles pour x, lorsqu’on connaît la valeur de y. Ex : Utilisons un diagramme sommaire pour résoudre une équation trigonométrique. Utilise le diagramme de y = sin4x pour trouver toutes les valeurs où y = 0 dans l’intervalle A= 0 ≤ x ≤ 2π . P= Sin4x = 0, pour x = π π π 2 π 5π 6 2 3 3 6 7 π 4 π 3π 5π 11π 6 3 2 3 6 On sait que les angles co-terminaux ont les mêmes valeurs, donc tous les angles co-terminaux seront des multiples de la période de la fonction. Ex : résolvons des équations du premier degré Si 1 + sinx = 4sinx, 0 ≤ x ≤ 2π , trouve les valeurs possibles de x algébriquement et graphiquement. Solution : on veut savoir où ces deux graphiques se coupent. π 2 Algébriquement : 1 + sinx = 4sinx rad = 1570796 , π = 3,14159 rad 0 rad 1 = 4sinx – sinx 1 = 3 sinx 3π 2 = 4,712388 rad 1 /3 = sinx, sur la calculatrice, on fait sin-1(1/3) =0,3398 dans le quadrant I et π - 0,3398 dans le quadrant II, (endroits où le sinus est positif) Les valeurs possibles pour x, si 0 ≤ x ≤ 2π sont 0,3398 rad et 2,8018 rad. Ex : Trouvons les racines exactes d’équations trigonométriques du second degré. cos2(2x) – cos 2x = 0 cos 2x(cos 2x – 1) = 0 donc, cos 2x = 0 ou cos 2x – 1 = 0 π 3π 2x = 2 et 2 cos 2x = 1 x= 2 π 4 et 34π Les solutions exactes de cos x – cos x = 0, Quand il y a un nombre avec x, on résout de la même façon, mais on divise par le nombre. 2x = 0; x = 0 0 ≤ x ≤ 2π , x =0, π 4 et 34π Module 6 – équations trigonométriques - Page 1 Ex : Trouvons les racines exactes d’équations trigonométriques du second degré. 2 sin2x – sin x – 1 = 0 2 sin2x – 2 sin x + sin x – 1 = 0 2 sin x(sin x – 1) + 1(sin x – 1) = 0 (sin x – 1)(2 sin x + 1) = 0 donc, sin x = 1 ou sin x = -1/2 x= π x= 2 Les solutions exactes de 2 sin2x – sin x – 1 = 0, − π6 et − 56π 0 ≤ x ≤ 2π , x = π2 , − π6 et − 56π Lorsqu’on ne peut pas décomposer en facteurs une équation quadratique, on la résout à l’aide de la formule quadratique. Ex : 3 tan2x – tan x – 1 = 0, si La formule quadratique 0 ≤ x ≤ 2π . tanx = −b ± b2 − 4ac −( −1) ± ( −1)2 − 4(3)( −1) 1 ± 1 + 12 1 ± 13 = = = 2a −2 −2 2( −1) Donc, tan x = -0,4343 ou tan x = 0,7676. -1 On fait donc tan sur la calculatrice pour trouver l’angle ne radian. tan-1 (0,4343) = 0,4097 tan-1 (0,7676) = 0,6547 e Donc dans le 2 quadrant π - 0,4097 = 2,7319 dans le 3e quadrant e dans le 4 quadrant π + 0,6547 = 3,7963 2 π - 0,4097 = 5,8735 Les solutions de 3 tan2x – tan x – 1 = 0, si 0 ≤ x ≤ 2π , au dix-millième près sont 0,6547, 2,7319, 3,7963, 5,8735. Si on veut toutes les solutions, on ajoute n x la période ou bout de la réponse. Ex : Trouve toutes les solutions possibles de l’équation suivante. Sin x tan x = sin x Sin x tan x – sin x = 0 Sin x(tan x – 1) = 0 Sin x = 0 tan x = 1 X = 0 ou x = π x = π4 ou x = 5π 4 Alors, si la période de la fonction sin x est de 2 π , et la période de la fonction tan est de générales seront 0 + 2n π , Ex 5.2 : p.252 π + 2n π , π 4 + πn π , les solutions # 1, 3, 5, 11, 15, 18, 21, 27, 29, 30, 32, 34 Module 6 – équations trigonométriques - Page 2 ◊ Identités trigonométriques 5.4 Les identités trigonométriques Remplis le tableau suivant : Mesure de ∠θ 0° 30° 45° 60° 90° sin θ 0 1 2 2 2 3 2 1 cos θ 1 3 2 2 2 1 2 0 3 1 2 3 1 2 + 2 = 4 + 4 = 1 12 + 02 = 1 sin2 θ + cos2 θ 02 + 12 = 1 2 2 2 1 3 1 3 = + =1 + 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 + 2 = 4 + 4 =1 2 Que remarques-tu avec sin2 θ + cos2 θ ? Il est toujours égale à 1. Une équation trigonométrique est une équation qui comporte au moins une fonction trigonométrique d’une variable. Si cette équation est vraie pour toutes les valeurs de la variable qui définissent ses deux membres, on l’appelle identité trigonométrique. Identités trigonométriques de base ; elles sont vraies pour toutes les valeurs de des membres de l’équation non défini.(0 au dénominateur) sinθ = 1 sinθ = , cotanθ cosθ 1 , cosecθ cosθ = 1 , secθ tanθ = 1 , sinθ secθ = 1 , cosθ cotanθ = cosecθ = Alors, on peut ajouter à ces identités sin2 θ + cos2 θ = 1 θ , sauf celles qui rendent un 1 cosθ = tanθ sinθ 1 + tan2 θ = sec2 θ 1 + cotan2 θ = cosec2 θ Pour démontrer les identités, il faut choisir un des côtés, le travailler pour arriver à ce qu’il y a de l’autre côté du signe d’égalité. Ex : Montre que 1 + tan2 θ = sec2 θ pour tout nombre réel 2 1 + tan sinθ Parce que tanθ = , cos θ ≠ 0 cosθ Place les fractions sur dénominateur commun. Remplace sin2 θ + cos2 θ par 1 Remplace 1 par secθ cosθ 1+ θ θ tel que cos θ = sec 2 ≠ 0. θ sin2θ = sec2 θ 2 cos θ cos2θ + sin2θ = sec2θ 2 cos θ 1 = sec2θ 2 cos θ sec2θ = sec2θ Module 6 – équations trigonométriques - Page 3 Ex : Utilisons les valeurs exactes pour vérifier une identité. Soit a) Vérifie si cet énoncé est vrai lorsque cosθ 1 + sinθ = 1 − sinθ cosθ θ= π 6 . cos π6 1 + sin π6 = 1− sin π6 cos π6 3 1 1+ 2 = 2 1 3 1− 2 2 3 2+1 2 = 2 1 3 2 2 3 2 3= × 2 3 3= 3 3 3 3 × = 3 3 3 3= 3 b) Représente graphiquement l’équation pour montrer qu’elle pourrait être une identité. cosθ 1 + sinθ = 1 − sinθ cosθ c) Utilise une démarche algébrique pour prouver que l’identité est vraie en général. Indique les restrictions s’il y a lieu. cosθ 1 + sinθ = 1 − sinθ cosθ 1 + sinθ cosθ 1 + sinθ × = 1 + sinθ 1 − sinθ cosθ (1 + sinθ )cosθ 1 + sinθ = 1 - sin2θ cosθ (1 + sinθ )cosθ 1 + sinθ = cos2θ cosθ 1 + sinθ 1 + sinθ = cosθ cosθ Ex : 5.4 p.264 # 1 à 10(algébriquement seulement), 11 à 20, 26 à 33(simplifier seulement) Module 6 – équations trigonométriques - Page 4 5.5 Utilisons les identités d’addition, de soustraction et d’angles doubles Identités d’addition et de soustraction sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB sin(A - B) = sinAcosB – cosAsinB cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB tan(A + B) = tanA + tanB π , où A,B ≠ + nπ 1 − tanAtanB 2 tan(A − B) = tanA − tanB π , où A,B ≠ + nπ 1 + tanAtanB 2 Identités d’angles doubles sin(A + A) cos(A + A) = sinAcosA + cosAsinA = cosAcosA – sinAsinA = 2cosAsinA, = cos2A – sin2A = 1 – sin2A – sin2A sin2A = 2cosAsinA = 1 – 2sin2A ou cos2A – (1 – cos2A) 2cos2A - 1 cos2A = 1 – 2sin2A ou cos2A = 2cos2A – 1 tan(A + A) = tanA + tanA 1 − tanAtanA = 2tanA π , où A,B ≠ + nπ 2 1 − tan A 2 tan2A = 2tanA 1 − tan2A ex : Exprime chaque expression sous la forme d’une fonctions trigonométrique simple. a) sin 5π 3π 5π 3π cos − cos sin 6 8 6 8 = sin( = sin( Ex : 5.5 p.272 5π 3π - ) 6 8 b) tan30°+ tan45° 1 − tan30° tan45° = tan(30°+45° ) = tan75° 11π 20π 9π - ) = sin 24 24 24 # 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 40, 43abcd Ex. de révisions p. 278 # 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49 Module 6 – équations trigonométriques - Page 5