(PA), si la logique est classique. Elle se base sur les constantes et les axiomes propres
suivants:
0 : Nat, S : Nat → Nat (l'entier 0 et la fonction successeur)
∀x.¬(Sx = 0) , ∀x.∀y.(Sx = Sy → x = y) ( 0 est différent de 1 et S est injective)
[0/x]A → (∀y.([y/x]A → [Sy/x]A) → ∀x.A) (Induction)
Exercice Définissez la somme et la multiplication sur les nombres entiers, à partir de 0
et S; e.g. x+0 = x et x+Sy = S(x+y) etc. ...
On écrira HA |— A, si A est un théorème dérivable à partir des axiomes de
l'Arithmétique dans un cadre constructif, PA |— A autrement.
Est-ce l'Arithmétique, HA ou PA, cohérente? On pourrait croire qu'elle l'est par un
argument "élémentaire": l'ensemble (standard) des nombres entiers est un "modèle" des
(vérifie les) axiomes et les règles. C'est-à-dire, on pourrait essayer de démontrer que les
nombres vérifient tous les axiomes et observer que les règles d'inférence préservent la
validité; donc toute proposition, démontrée dans le système, serait vrai. Ce qui entraîne
qu'il ne peut pas déduire une proposition et son contraire, donc la cohérence. Mais
comment le démontrer? C'est facile, on pourrait croire : par induction sur la longueur
ou sur la structure des propositions, en utilisant un prédicat de vérité (e.g. en montrant,
par induction, que les règles d'inférence préservent la vérité). Donc on aurait, par
induction, une preuve de la cohérence de l'Arithmétique, dont l'axiome clé est ...
l'induction ... (de plus, il faudrait "parler de la vérité" des propositions, tache pas
moindre). Il y a là quelque chose qui cloche. Dans cette fissure logique s'infiltre le
théorème de Gödel.
3. Les théorèmes d'Incomplétude de Gödel
On verra ici l'essentiel "logique" de la preuve Gödel du premier et du deuxième
théorème: l'argument diagonal. On sera obligé de ne pas voir dans les détails le "lemme
de représentation", pour le quel on renvoi à [Smorinski,1978]. Le raisonnement peut
être entièrement développé dans un cadre constructif, pour la théorie, HA, ainsi que
pour la métathéorie (ce qui n'est pas fait dans [Smorinski,1978], qui utilise un cadre
classique, sauf pour le lemme de représentation: ce lemme est une construction par
excellence). Toutefois, puisque tout résultat indépendant de PA est a fortiori