les racines carrées - l`ISFEC d`Auvergne

les racines carrées :
1) Introduction :
il existe un et un seul nombre positif dont le carré est 4 c’est 2 .
il existe un et un seul nombre positif dont le carré est 9, c’est 3.
Existe il un nombre positif dont le carré est 2 ?
Lorsqu’on pose cette question, on doit sans doute préciser à l’interlocuteur, ce qu’on entend par nombre.
a) Existe il un nombre décimal positif dont le carré est 2 ?
Le dernier chiffre non nul de l’écriture décimale de ce nombre serait 1,2,3,4,5,6,7, 8 ou 9.
or
si le dernier chiffre de l’écriture décimale d’un nombre est 1 alors celui de son carré est 1.
si le dernier chiffre de l’écriture décimale d’un nombre est 2 alors celui de son carré est 4.
si le dernier chiffre de l’écriture décimale d’un nombre est 3 alors celui de son carré est 9
si le dernier chiffre de l’écriture décimale d’un nombre est 4 alors celui de son carré est 6.
si le dernier chiffre de l’écriture décimale d’un nombre est 5 alors celui de son carré est 5.
si le dernier chiffre de l’écriture décimale d’un nombre est 6 alors celui de son carré est 6.
si le dernier chiffre de l’écriture décimale d’un nombre est 7 alors celui de son carré est 9.
si le dernier chiffre de l’écriture décimale d’un nombre est 8 alors celui de son carré est 4.
si le dernier chiffre de l’écriture décimale d’un nombre est 9 alors celui de son carré est 1.
conclusion :
il n’existe pas de nombre décimal dont le carré est 2.
b) Existe il un nombre rationnel dont le carré est 2 ?
Supposons que l’on puisse trouver un nombre rationnel positif dont le carré est 2 et notons la fraction
irréductible correspondante 
. On a donc : et  .
On déduit de cette deuxième égalité que : 
ce qui permet d’affirmer que 2 divise  donc que  est un nombre pair.
Comme le carré d’un nombre impair est impair , est nécessairement pair et s’écrit donc  et p
est divisible par 2.
en remplaçant  par  dans  , on obtient :
soit 
aprés simplification par 2. Le raisonnement appliqué à p précédemment peut être
appliqué à q donc q est lui aussi divisible par 2.
bilan si il existait un nombre rationnel dont le carré est 2 on pourrait trouver :
deux nombres entiers  et  tels que :
 soit divisible par 2 et  soit divisible par 2 donc qui auraient comme diviseurs communs 2
or leur pgcd vaut 1 .Ce qui est impossible
conclusion :
il n’existe pas de nombre rationnel dont le carré est 2.
c) Recherche de valeurs arrondies de plus en plus précises.
On suppose connu le résultat suivant :

Les carrés de deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que ces nombres.
Si un nombre positif dont le carré est 2 existe, il est compris entre 1 et 2 car 
il est compris entre 1,4et1,5 car 
il est compris entre 1,4et1,42 car 
il est compris entre 1,4et1,42 car ….
On admet que l’on peut poursuivre ce processus avec autant de précisions que l’on veut.
2) Théorème (admis)
Etant donné un nombre positif , il existe un et un seul nombre positif dont le carré est .
Ce nombre est noté . il est appelé racine carrée de a.
on peut donc énoncer
3) Exemples : 
4) Remarques : sur ces exemples on s’aperçoit que :
 la racine carrée de a n’est pas nécessairement un nombre inférieur à a.
 une racine carrée peut être un nombre entier.
 une racine carrée peut être un nombre décimal non entier.
 une racine carrée peut être un rationnel non décimal
.
5) Règles de calculs sur les racines carrées :
a) SOMME
si  et  ne sont pas nuls 
exemple : et 
b) PRODUIT  et  désignent des réels positifs

preuve :
 est par définition le nombre positif dont le carré est .
or  est un nombre positif dont le carré est
car .
D’après le théorème il existe un et seul nombre positif dont le carré est 
Applications :
c) DIVISION :
exercice 1 vrai ou faux
a) l’inverse de racine de 2 est égale à la moitié de racine de deux. VRAIE
b) l’inverse de racine de 3 est égale au tiers de racine de trois. VRAIE
c) l’inverse du nombre d’or est égal à ce nombre d’or moins 1. VRAIE
or 
d) il existe deux nombres entiers a et b tel que :  FAUX
e) il existe deux nombres rationnels a et b tel que  VRAI
 et 
f) il existe un nombre irrationnel compris entre 1,5 et 1 ,6 : VRAI
rappel :
un nombre rationnel a une écriture décimale limitée ou illimitée et périodique
un nombre irrationnel a une écriture décimale illimitée et non périodique
exemple
 1,5123456789101112131…obtenu en écrivant la suite des nombres après la virgule.
+  donc  
on rappelle que le
nombre d’or est

g) il existe une infinité de nombres irrationnels entre 1,5 et 1,6 VRAI
exercice 2
Affirmation 1 : Un nombre positif est toujours supérieur ou égal à sa racine carrée. FAUX car 
2. Affirmation 2 : La fraction  
est irréductible.NON car la somme des chiffres du numérateur et
celle des chiffres du dénominateur est divisible par 3
3. Affirmation 3 : II existe au moins un nombre entier compris entre 11 000 et 12 000, dont le
plus grand diviseur commun avec 2 180 est 545. OUI
Si un tel nombre existe , Notons le N
545 divise N.
N est égal à 11445 ou N=11990.
Décomposons : 2180 en facteurs premiers.
décomposons 11445 en facteurs premiers

or 
donc pgcd de (2190 ;11445)=
vraie.