Probabilités : cas des univers infinis

Chapitre 11 : Probabilités : cas des univers infinis
1. Introduction
Ce chapitre complète et généralise les résultats établis au chapitre 7, dans lequel on se cantonnait aux univers finis. Les
principales notions sont reprises dans ce nouveau cadre. Certaines changent peu, voire pas du tout, mais dans certains cas, les
énoncés doivent être adaptés et des précautions prises. Par exemple, les sommes qui intervenaient dans le chapitre 7 (somme
des probabilités ou espérance) sont alors remplacées par des séries dont la convergence n’est a priori pas assurée.
2. Cadre généralisé des probabilités
2.1 Exemples fondamentaux
Exemple 1 (Univers infinis). a
1 On jette un pièce et on note le premier rang pour lequel on tombe sur Pile. Alors Ω = N∗ est infini et dénombrable.
N
2 On jette indéfiniment un dé à six faces et on note la suite des résultats obtenus. Ω = (J1 ; 6K)
est l’ensemble des suites
d’éléments de J1 ; 6K, donc infini et dénombrable.
3 On note le temps d’attente d’un bus, qui est un nombre aléatoire dans l’intervalle [0; 10]. Cette univers est infini et non
dénombrable ( c’est à dire « beaucoup plus grand » que N).
Exemple 2 (Intersections/réunions infinies d’événements). ♥ ✎ On considère la seconde expérience modélisée dans l’exemple
précédent et on note, pour tout entier naturel non nul i, Ai : « le résultat du ième lancer est 1 ».
Exprimer les événements suivants à l’aide des événements Ai : 1 Bi : « Le premier 1 apparaît au i-ième lancer »
moins un des résultats est un 1 » 3 D : « Aucun lancer ne donne un 1 »
2
C : « Au
2.2 Espace probabilisable
Définition 1. Soit Ω un ensemble et A ⊂ P (Ω). A est une tribu de parties de Ω si :
+∞
S
1 Ω ∈ A
2 ∀A ∈ A, on a A ∈ A
3 Si pour tout n ∈ N, A ∈ A, alors
An ∈ A
n
n=0
Le couple (Ω, A) est appelé espace probabilisable et les éléments de A sont appelés les événements.
Remarque 1. P (Ω) est évidemment une tribu. C’est la seule qu’on utilise lorsque Ω est un ensemble fini. Lorsque Ω est
infini, P (Ω) devient énorme et il est alors souvent commode de considérer des tribus plus petites qui suffisent pour appliquer
notre modèle. De plus, on peut montrer qu’il est impossible de construire une probabilité sur (R, P (R)), ce qui nous oblige à
considérer des tribus plus petites qui permettent les calculs de probabilités.
Exemple 3. ✎ Soit Ω = {1; 2; 3; 4}. Donner une tribu à deux éléments et une tribu à quatre éléments.
Proposition 1.
Avec les notations de la définition précédente, on a :
1 ∅ ∈ A
a 2 Les intersections et réunions d’éléments de A sont des éléments de A.
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
T
S
S
T
T
3 Si pour tout n ∈ N, A ∈ A, alors
An =
An =
An et
An
An ∈ A 4
n
n=0
n=0
n=0
n=0
n=0
La définition suivante a été vue au chapitre 7. A présent, l’union peut concerner une infinité d’ensembles.
Définition 2. Soit (Ω, A) un espace probabilisable, et soit (Ai )i∈I une famille d’événements de A
Cette famille est un système complet d’événements (SCE) si :
S
1 Les A sont 2 à 2 incompatibles : ∀i, j ∈ I, A ∩ A = ∅
Ai = Ω
a 2 Leur réunion est Ω :
i
i
j
i∈I
Exemple 4. ✎ Les familles (Ai )i∈N et (Bi )i∈N∗ de l’exemple 1.1 sont-elles des systèmes complets d’événements ?
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2.3 Espace probabilisé
Une fois les espaces probabilisables définis, on a un cadre théorique qui permet potentiellement de mesurer les chances que les
différents événements se produisent. Mais il y a de nombreuses manières de le faire. Par exemple, si on considère une pièce
équilibrée ou non dans l’exemple 1.1, les événements resteront les mêmes mais le calcul des probabilités sera différent. La
définition suivante généralise ce qu’est une probabilité au cas des univers infini.
Définition 3. Soit (Ω, A) un espace probabilisable.
On appelle probabilité sur (Ω, A) toute application P de A dans [0; 1] vérifiant :
1 P (Ω) = 1
P
2 Si (A )
P(An ) converge et : P
n n∈N est une famille d’événements 2 à 2 incompatibles, alors
+∞
[
n=0
On appelle alors (Ω, A, P) un espace probabilisé.
(Ω, A, P) un espace probabilisé, (Ai )i∈I
An
!
=
+∞
X
P(An )
n=0
Proposition 2.
P
un SCE. Alors la série
P(Ai ) converge et sa somme vaut 1.
i∈I
Définition 4. Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé.
E est dit négligeable si P(E) = 0 et presque sûr (ou vrai presque sûrement) si P(E) = 1.
Remarque 2. BDans le cas fini, les notions d’événements impossibles et d’événements négligeables se confondent. De même
pour les notions d’événements certains et presque sûrs. Mais dans ce nouveau cadre, ce n’est plus le cas. Il faut être particulièrement attentif à cette différence lorsqu’on considère des SCE et la formule des probabilités totales.
Exemple 5. ✎ Dans le cadre de l’exemple 1.2 avec un dé équilibré, que dire intuitivement des événements C et D ?
Les théorèmes suivants, valables dans tout espace probabilisé (Ω, A, P), permettent de démontrer ce genre de résultats.
Théorème 3.« Théorème de la limite monotone »
1
Si (An )n∈ N est une suite croissante d’événements (ie ∀n ∈ N, An ⊂ An+1 ), alors P
+∞
S
= lim P (An ).
n→+∞
+∞
T
An = lim P (An ).
⊂ An ), alors P
An
n=0
2
Si (An )n∈ N est une suite décroissante d’événements (ie ∀n ∈ N, An+1
n=0
1
Si (An )n∈ N
2
Si (An )n∈ N
n→+∞
Théorème 4.« Corollaire du théorème de la limite monotone »
n
+∞
S
S
Ai .
An = lim P
est une suite quelconque d’événements alors P
n→+∞
n=0
i=0
n
+∞
T
T
Ai .
An = lim P
est une suite quelconque d’événements alors P
n=0
Démonstration. Poser Bn =
n
S
n→+∞
i=0
Ai , et appliquer le théorème de la limite monotone. On procède de même pour l’intersection.
i=0
Exemple 6. ♥ ✎ On reprend le cadre de l’exemple 1.2 avec un dé équilibré et les lancers mutuellement indépendants.
On note de plus Cn : « au moins un des résultats est un 1 lors des n premiers lancers ».
1 (a) Exprimer C à l’aide des A .
(b) Déduire que P(Cn ) = 1 − P A1 ∩ · · · ∩ An
(c) Calculer alors P(Cn ).
n
i
2
3
4
(a) Justifier que (Cn )n∈N∗ est une suite croissante d’événements.
(b) Montrer que C est presque sûr et D négligeable.
(a) Exprimer C à l’aide des Ai . La suite (An )n∈N∗ est-elle une suite monotone d’événements ?
(b) Appliquer la variante du théorème de la limite monotone pour retrouver que C est négligeable.
(a) Exprimer D en fonction des Ai , puis en fonction des Bi . (b) Redémontrer que D est négligeable de deux manières.
2.4 Généralisation des propriétés des probabilités
Presque tout ce qui a été vu dans le cas fini fonctionne à l’identique dans le cas infini : définition de la probabilité conditionnelle,
indépendance d’événements, formule de Bayes, formule des probabilités composées.
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Il faut simplement généraliser l’indépendance mutuelle d’événements et la formule des probabilités totales.
Définition 5. Les événements
d’une famille infinie (An )n∈N sont mutuellement indépendants si, pour toute partie finie I
Q
T
de N, on a : P
P(An )
An =
n∈I
n∈I
Théorème 5.« Formule des probabilités totales »
Soit (An )n∈N un SCE alors pour tout événement B, la série
Si de plus, pour tout n ∈ N, on a P(An ) 6= 0, on a P(B) =
P
+∞
X
P(B ∩ An ) converge et P(B) =
+∞
X
P (B ∩ An )
n=0
PAn (B)P(An )
n=0
Remarque 3. Si seulement un nombre fini d’événements sont non négligeables, on peut quand même écrire
P
P (B) =
PAn (B)P (An ), pour I l’ensemble des indices d’événements non négligeables. De sorte que les événements néglin∈I
geables participent à la construction du SCE mais n’interviennent plus dans la formule finale (mais il ne faut pas les oublier !).
Exemple 7. ✎ On se place dans le cadre de l’exemple 1.2.
1
Exprimer Bn en fonction des Ai . Déduire P(Bn ). Vérifier que l’on a bien
+∞
X
P (Bk ) = 1
k=1
2
3
Calculer la probabilité de l’événement E : « La première fois qu’un 1 est sorti, il est suivi d’un autre 1 ».
On joue au jeu : jeter un dé jusqu’à obtenir un 1. On appelle alors n le nombre de lancers nécessaires pour obtenir ce 1.
On jette alors une pièce équilibrée n fois. On gagne si lors de ces n lancers de pièce, au moins un Pile est sorti. Soit F :
« gagner à ce jeu ». Déterminer P(F ).
3. Généralités sur les variables aléatoires
3.1 Définition généralisée. Système complet d’événements associé à une variable aléatoire
Dans le chapitre 7, on avait défini une variable aléatoire comme une application qui, à un événement élémentaire, associe un
nombre réel. Dans le cas infini, l’idée est la même mais il faut modifier la définition pour des raisons théoriques.
Définition 6. Soit (Ω, A) un espace probabilisable.
X est une variable aléatoire réelle définie sur (Ω, A) si X est une application de Ω dans R telle que, pour tout élément x de
R, l’ensemble [X 6 x] = {ω ∈ Ω, X(ω) 6 x} est dans A. On note encore X(Ω) l’univers image. X est une variable aléatoire
discrète si X(Ω) = {xi , i ∈ I}, où I est un sous-ensemble de N ou de Z, éventuellement infini.
X est une variable aléatoire finie si X(Ω) est un ensemble fini.
1 Le fait de ne plus centrer la définition sur les événements élémentaires vient du fait que dans le cas infini
Remarque 4.
et notamment non dénombrable, tous ces événements peuvent être de probabilité nulle, ce qui ne donnerait finalement
aucune information sur la loi de X.
2
3
4
La condition théorique qui est ajoutée dans cette définition sert à garantir qu’on puisse bien calculer la probabilité que
X 6 x puisque la probabilité P est définie sur A. Tout ceci était automatiquement vérifié dans le cas dans le cas fini car
la tribu choisi est P (Ω).
Le fait de choisir [X 6 x] dans la définition plutôt que [X < x], [X > x], [X > x] n’est pas important. Le même choix
sera fait plus tard pour la fonction de répartition de X.
On ne vous demandera pas : « démontrer que X est une variable aléatoire ».
Définition 7. Le système complet d’événements associé à une variable aléatoire X est la famille d’événement ([X =
x])x∈X(Ω) (qui peut être infinie et même non dénombrable).
3.2 Fonction de répartition d’une variable aléatoire
On se place dans un espace probabilisé (Ω, A, P) quelconque et X une variable aléatoire réelle sur cet espace.
Définition 8. On appelle fonction de répartition de X la fonction définie sur R par : ∀x ∈ R, FX (x) = P(X 6 x)
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Théorème 6.« Propriétés de FX »
1
∀x ∈ R, 0 6 FX (x) 6 1.
a
2
FX est croissante sur R.
a
3
lim FX (x) = 0 et lim FX (x) = 1.
x→−∞
x→+∞
4
FX est continue à droite en tout point x de R c’est à dire lim+ FX (t) = FX (x).
5
FX admet un limite à gauche en tout point x de R et lim FX (t) = FX (x) − P ([X = x]).
6
Soient a 6 b deux réels. P ([a < X 6 b]) = FX (b) − FX (a).
t→x
t→x−
Exemple 8. ✎ On lance une pièce (
de monnaie bien équilibrée trois fois de suite. Soit X la variable aléatoire donnant le
1 si deux côtés identiques apparaissent successivement
nombre de Face obtenues et soit Y =
. Dessiner FX et FY .
0 sinon.
Remarque 5. Contrairement à X, qui ne dépend que de Ω et de A, FX dépend aussi de la probabilité P.
Proposition 7.« continuité de FX »
FX est continue sur R si et seulement si, pour tout réel x, on a P ([X = x]) = 0.
Remarque 6. Ce point établit la différence entre une variable aléatoire discrète, dont la fonction de répartition possède
toujours des discontinuités (éventuellement une infinité dénombrable) et une variable aléatoire continue, dont la fonction de
répartition est continue sur R.
3.3 Loi d’une variable aléatoire
On se place dans un espace probabilisé (Ω, A, P) quelconque et X et Y deux variables aléatoires réelles sur cet espace.
Définition 9. On appelle loi de X la donnée de toutes les probabilités P (X ∈ A), où A est une réunion au plus dénombrable
d’intervalles de R.
Remarque 7. Cette définition, très théorique, ne vous servira par dans la pratique. On en a déjà vu un cas particulier simple
dans le cas fini que nous allons généraliser dans la prochaine partie aux variables aléatoires discrètes.
Proposition 8.« la fonction de répartition caractérise la loi »
FX = FY ⇔ X et Y ont la même loi.
4. Variables aléatoires discrètes
On se place dans un espace probabilisé (Ω, A, P) quelconque et X une variable aléatoire discrète sur cette espace, ce qui signifie
que X (Ω) = {xi , i ∈ I}, où I est inclus dans N ou Z.
4.1 Lois et fonctions de répartition dans le cas discret
Définition 10. La loi d’une variable aléatoire discrète X est la donnée de toutes les probabilités P ([X = xi ]) , i ∈ I,
ce qui revient à donner les probabilités de chacun des événements du système complet d’événements associé à X.
1 Dans le cas fini, c’est la définition donnée au chapitre 7, qui conduit à une présentation sous forme de
Remarque 8.
tableau, du moins lorsque X (Ω) est assez petit.
2
3
Dans le cas infini, la représentation sous forme de tableau est évidemment beaucoup moins pratique ! Mais on peut
continuer à penser la loi comme un tableau infini.
Cette définition ne s’adapte aux variables aléatoires continues. En effet, dans ce cas, toutes les probabilités du SCE
associées à X sont nulles (voir la proposition 7).
Comme dans le cas fini, la somme des probabilités doit être égale à 1, mais dans le cas infini cela nécessite l’emploi de séries.
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Proposition 9.
X
P ([X = xi ]) converge et sa somme vaut 1. Par exemple, si X(Ω) = N, on a
i∈I
+∞
X
P (X = k) = 1
k=0
Les propriétés suivantes de la fonction de répartition sont valables uniquement dans le cas discret.
Proposition 10.« Propriétés supplémentaires de FX dans le cas discret
1
Pour tout réel x, on a FX (x) =
X
P ([X = xi ]).
xi 6x,i∈I
2
Pour tout i ∈ I, on a P ([X = xi ]) = FX (xi ) − FX (xi−1 ).
3
En particulier, si X(Ω) = N ou Z, alors, pour tout entier k, on a P ([X = k]) = FX (k) − FX (k − 1).
4.2 Transformation d’une variable aléatoire discrète
Définition 11. soit g une fonction définie sur X (Ω)) à valeur dans R. Alors, on définit la variable aléatoire Y = g(X) de
la manière suivante :
P
∀y ∈ g (X (Ω))), on a P ([Y = y]) = x∈X(Ω),g(x)=y P ([X = x])
Cette variable aléatoire est également discrète et a pour univers image
1
1
X − 10
et P ([X = 20]) = . Donner les lois de Y =
et Z = Y 2 .
4
2
10
Soit Y = eX , où X v.a.r discrète. Soit y ∈ R. Donner P ([Y = y]) en fonction d’une probabilité portant sur X.
Exemple 9. ✎
2
Y (Ω) = g (X (Ω)) = {g(xi ), i ∈, I}.
1
Soit X, P ([X = 0]) = P ([X = 10]) =
4.3 Espérance d’une variable aléatoire discrète
La définition d’espérance doit être adaptée au cas infini à l’aide des séries.
Définition 12. Une variable aléatoire X admet une espérance si la série
X
xi P(X = xi ) converge absolument et dans
i∈I
ce cas, l’espérance est la somme de la série, notée E(X). Par exemple, si X(Ω) = N, on a E(X) =
+∞
X
kP(X = k)
k=0
Exemple 10. ✎
1
2
Soit X le rang d’obtention du premier 1 avec un dé équilibré. Montrer que X admet une espérance et la calculer.
Une urne contient initialement deux boules, l’une noire et l’autre blanche. On tire une à une des boules dans cette urne
en suivant le protocole suivant :
⋆ Si la boule tirée est noire, on la remet simplement dans l’urne avant le tirage suivant.
⋆ Si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et l’on y rajoute une boule blanche avant le tirage suivant.
On note X le rang du premier tirage d’une boule noire. On pourra utiliser les événements : Bi :« la ième boule tirée est
blanche »et N i : « la ième boule tirée est
Xnoire »
(a) Déterminer X(Ω). (b) Calculer
P(X = k) et interpréter. (c) Calculer, si possible E(X).
k∈X(Ω)
Proposition 11.« Propriétés de l’espérance »
Si X et Y admettent une espérance, et si a, b sont des réels :
1 Linéarité : E(aX + b) = aE(X) + b et E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
2
Localisation : si X (Ω) ⊂ [x, y] alors x 6 E(X) 6 y.
3
Positivité : si toutes les valeurs de X sont positives (X(Ω) ⊂ R+ ) alors E(X) > 0
On se place dans le cadre des opérations sur les variables aléatoires.
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Théorème 12.« Théorème de transfert. Cas particulier de la fonction carrée »
X
E(g(X)) existe ssi la série
g(xi )P(X = xi ) converge absolument et est alors égale à la somme de cette série.
i∈I
+∞
X
k 2 P (X = k)
Par exemple, avec la fonction carré et X(Ω) = N, en cas de convergence : E X 2 =
k=0
4.4 Moments d’ordre r d’une variable aléatoire discrète
Définition 13. Pour un entier r, lorsque X r admet une espérance, on dit que X admet un moment d’ordre r et on note
mr (X) = E(X r )
On montre l’existence des moments et on calcule leurs valeurs à l’aide de la formule de transfert.
Exemple 11. ✎ 1 Justifier que toute variable aléatoire admet un moment d’ordre 0 et le calculer.
Donner l’autre nom du moment d’ordre 1.
2 Que dire des moments des variables aléatoires finies ?
Proposition 13.« Lien entre les différents moments d’une variable aléatoire discrète »
Si X admet un moment d’ordre r, alors X admet un moment d’ordre i pour tout i inférieur à r.
4.5 Variance d’une variable aléatoire discrète
Définition 14. On dit que X admet une variance si (X − E(X))2 admet une espérance. La variance est alors V (X) =
E (X − E(X)2
p
On dit que X admet un écart-type si elle admet une variance, et alors : σ(X) = V (X)
Voici un théorème donnant une technique de calcul de la variance qui peut s’avérer plus simple que la définition.
Théorème 14.« Koenig-Huygens »
X admet une variance si et seulement si elle admet un moment d’ordre 2, et
V (X) = m2 (X) − (m1 (X))2 = E(X 2 ) − (E(X))2
Exemple 12. ✎ Soit X le rang d’obtention du premier 1 avec un dé équilibré. Montrer que V (X) existe et la calculer.
Remarque 9. Une variable aléatoire peut donc admettre une espérance sans admettre de variance, mais pas le contraire, en
vertu de la proposition sur les moments d’ordre r.
Proposition 15.« Propriétés de la variance »
1 Pour des réels a, b et X admettant une variance : V (aX + b) = a2 V (X).
X est constante (certaine).
2
V (X) > 0
3
V (X) = 0 si et seulement si
4.6 Variables centrées et centrées réduites
Définition 15 (et propriété).
3
1
X est centrée si E(X) = 0.
X − E(X) est la variable centrée associée à X.
4
2 X est centrée réduite si V (X) = σ(X) = 1.
X
− E(X)
X∗ =
est la variable centrée réduite associée à X.
σ(X)
Démonstration. ✎ se servir des propriétés de l’espérance et de la variance.
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Bilan du chapitre 11
Objectifs prioritaires
1
Être capable de donner des exemples d’univers infinis, dénombrables ou non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Connaître la définition généralisée d’une probabilité et savoir utiliser toutes les propriétés qui en découlent. . 3
Connaître les définitions d’événements négligeable et presque sûr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Connaître les deux théorèmes de la limite monotone et maîtriser l’exemple 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Savoir appliquer la formule des probabilité totale dans le cas d’un SCE infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Connaître le SCE associée à une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Connaître la définition de la fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Connaître la définition de la loi d’une v.a.r dans le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connaître la proposition 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10
11
Savoir quand une v.a discrète admet une espérance, une variance et, le cas échéant, savoir les calculer (cas simples)
Connaître les propriétés de l’espérance et de la variance
Objectifs secondaires
1
Être capable définir une tribu et d’appliquer la propriété 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Connaître les propriétés 1,2,3 de la fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Connaître la caractérisation de la loi d’une v.a par sa fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Connaître la proposition 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Connaître la loi de la transformée d’une v.a discrète par une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Savoir appliquer le théorème de transfert dans le cas général discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Connaître la définition des moments d’ordre r
Approfondissements
1
Connaître toutes les propriétés de la fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Connaître la définition générale d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Connaître la définition générale de la loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TD du chapitre 7
Exercice 1. Une variable aléatoire
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N∗ telle que ∀k ∈ N∗ , P(X = k) = a3−k .
1 Déterminer le seul réel a possible.
2 Calculer si possible l’espérance et la variance de X.
3 Calculer si possible l’espérance de Y = 2X et Z = 4X .
4 Déterminer la fonction de répartition de X.
Exercice 2. Saut en hauteur
Un sauteur en hauteur essaye successivement les hauteurs 1, 2, . . ., n, . . .jusqu’à ce qu’il échoue. Il est alors éliminé. Il a une
1
probabilité
de réussir son saut quand il tente la hauteur n. On note X la hauteur du dernier saut réussi. On admet qu’il
n
finit toujours par rater un saut, et que les sauts sont indépendants.
+∞
X
1 Justifier que X(Ω) = N∗ . Déterminer la loi de X et vérifier que
P(X = k) = 1.
k=1
2
Calculer (si possible) l’espérance et la variance de X.
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Exercice 3. Vers le sans faute...
Un sujet de DS contient des erreurs. A chaque lecture, toute erreur est corrigée avec une probabilité 13 , les différentes erreurs
sont corrigées indépendamment les unes des autres.
1
2
Calculer la probabilité P(En ) qu’une erreur soit corrigée exactement au bout de n relectures, puis la probabilité P(En′ )
qu’elle le soit au bout d’au plus n lectures. Montrer que l’erreur est presque sûrement corrigée.
Il y a 4 erreurs dans l’énoncé. Calculer la probabilité que les 4 erreurs soient corrigées en au plus n relectures. Montrer
qu’elles sont presque sûrement corrigées.
3
Déduire la probabilité que les 4 erreurs soient corrigées au bout de exactement n relectures.
4
En moyenne, au bout de combien de relectures tout est corrigé ?
Exercice 4. Première séquence Pile Face
On jette indéfiniment un pièce donnant Face avec la probabilité f et Pile avec la probabilité p = 1 − f .
1
2
3
Soit An l’événement « l’enchaînement Pile-Face se produit pour la première fois aux lancers n − 1 et n ». Calculer P (An )
pour n = 2, n = 3, n = 4.
On note Bn l’événement « Au cours des n premiers lancers, Pile n’est jamais suivi de Face ». Montrer que :
 n+1
1
− f n+1

n
k
 p
X f
si p 6=
n
p
−
f
2
=
P(Bn ) = f
n+1

p

k=0
sinon
2n
+∞
S
An ?
Est-il possible que Pile ne soit jamais suivi de Face ? Que dire de l’événement
n=2
Exercice 5. Cercle vicieux
On effectue des tirages successifs dans une urne contenant initialement une boule blanche et une boule noire et :
⋆ Si on pioche une boule noire on s’arrête.
⋆ Si on tire une boule blanche, on double le nombre de boules blanches et on continue.
Soit An : « la boule noire n’est pas tirée lors des n premiers tirages »et on note un = P(An ) et vn = − ln(un )
1
Si la boule noire n’est pas tirée lors des n premiers tirages, quelle est la composition de l’urne pour le prochain tirage ?
2
Montrer que : ∀n ∈ N∗ , un+1 = un ·
3
2n
2n +1
Déduire que ∀n ∈ N∗ , vn+1 − vn = ln(1 +
1
2n )
(a) Soit f : x 7→ ln(1 + x) Étudier la convexité de f , puis l’équation de sa tangente en 0. Déduire une inégalité.
(b) Montrer alors que ∀n ∈ N∗ , vn+1 − v1 6 1 − ( 12 )n−1
(c) Déduire que (vn )n>1 converge vers un réel l, puis que (un )n>1 converge vers un réel strictement positif.
4
Quelle est la probabilité que la boule noire soit tirée ?
Exercice 6. Des dés
On lance deux dés équilibrés et on répète ceci indéfiniment. Quelle est la probabilité pour que le premier six obtenu le soit à
l’occasion d’un double six ?
Exercice 7. Première séquence Pile Face
On réalise une suite de lancers d’une piéce équilibrée. On note Pk (resp. Fk ) l’événement : « on obtient pile (resp. face) au k éme
lancer ». Pour ne pas surcharger l’écriture, on écrira, par exemple, P1 F2 à la place de P1 ∩ F2 . On note X la variable aléatoire
qui prend la valeur k si l’on obtient pour la premiére fois pile puis face dans cet ordre aux lancers k − 1 et k (k désignant un
entier supérieur ou égal à 2), X prenant la valeur 0 si l’on obtient jamais une telle succession.
1
2
(a) Calculer P(X = 2). (b) En remarquant que (X = 3) = P1 P2 F3 ∪ F1 P2 F3 , calculer P(X = 3).
(c) Sur le modéle de la question précédente, écrire, pour tout entier k supérieur ou égal à 3, l’événement (X = k) comme
réunion de (k − 1) événements incompatibles.
(d) Déterminer P(X = k) pour tout entier k supérieur ou égal à 2. (e) Calculer P(X = 0).
On se propose, dans cette question, de retrouver les résultats précédents par une autre méthode.
(a) Montrer que, k désignant un entier supérieur ou égal à 3, si le premier lancer est un pile, alors il faut et il suffit que
P2 P3 . . . Pk−1 Fk se réalise pour que (X = k) se réalise.
1
1
(b) En déduire, en utilisant la formule des probabilités totales que : ∀k > 3
P(X = k) = P(X = k − 1) + k
2
2
(c) On pose, pour tout entier k supérieur ou égal à 2, uk = 2k P(X = k). Montrer que la suite (uk )k>2 est arithmétique.
Retrouver alors P(X = k) pour k ≥ 2.
3
Montrer que X a une espérance E(X), puis la calculer.
Exercice 8. Planning familial
+∞
P n n
On admet que l’égalité
k x =
xk
est valable pour x ∈] − 1, 1[ et k ∈ N.
(1 − x)k+1
n=k
Soit p un nombre réel tel que 0 < p < 2/3. Dans un pays, la probabilité qn qu’une famille ait exactement n enfants est de pn /2
quand n > 1 ; par ailleurs, la probabilité, à chaque naissance, d’avoir un garçon est de 1/2.
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2
Calculer la probabilité q qu’une famille ait au moins un enfant.
Calculer la probabilité q0 qu’une famille n’ait aucun enfant.
Soient n ∈ N∗ et k ∈ J0 ; nK. On considère une famille de n enfants ;
calculer la probabilité pour que cette famille ait exactement k garçons.
3
Soit k ∈ N∗ . Calculer la probabilité pour qu’une famille ait exactement k garçons.
4
Calculer la probabilité pour qu’une famille n’ait aucun garçon.
Exercice 9. Première séquence Pile Pile
On joue à pile ou face avec une pièce non équilibrée dont la probabilité d’obtenir Pile vaut p et celle de Face vaut q (p + q = 1).
On lance indéfiniment la pièce et on note X le rang où apparaît pour la première fois deux résultats Pile consécutifs. Par
exemple, si les premiers lancers donnent F P F F P F P P alors X = 8.
1
Calculer en fonction de p et q : P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4)
2
Justifier que {F1 ; P1 ∩ F2 ; F1 ∩ P2 } forment un système complets d’événements.
3
En déduire que ∀n > 1,
4
P(X = n + 2) = qP(X = n + 1) + pqP(X = n)
On suppose à présent que p = 2/3 et q = 1/3. n n
2
1
4
(b) Calculer E(X), E(X(X − 1)) et V (X)
− −
(a) Etablir que ∀n > 0, P (X = n + 1) =
9
3
3
Exercice 10. Promenade sur un carré
Un jeu consiste à déplacer un jeton autour des sommets d’un carré AGBP à l’aide d’un dé. A chaque tour, le joueur lance le
dé et déplace le jeton du nombre de sommets donné par le dé et dans le sens « de A vers G ».
Le joueur joue jusqu’à tomber sur G, il a alors gagné, ou jusqu’à tomber sur P, il a alors perdu. Le joueur J choisit de partir
du sommet A et le joueur J’ du sommet B. Considérons les événements :
V : « J gagne », V ′ : « J’ gagne », B1 (resp. B1′ ) : « J (resp. J’) va en B à l’issue du premier lancer ».
2
1 A l’aide de la formule des probabilités totales, démontrer que P(V ) =
(1 + P(V ′ )).
5
1
2 Démontrer de même que P(V ′ ) =
(2 + +P(V )). 3 En déduire P(V ) et P(V ′ ).
5
Exercice 11. Séries monocolores
Une urne contient des boules vertes et des boules blanches, indiscernables au toucher. La proportion de boules vertes est p,
0 < p < 1 ; la proportion de boules blanches est 1 − p. On effectue une suite de tirages successifs d’une boule avec remise.
On définit les variables aléatoires X et Y de la façon suivante :
pour tout (i, j) ∈ (N∗ )2 ,(X = i et Y = j) est l’événement : « les i premières boules tirées sont blanches, les j suivantes sont
vertes et la (i+j+1)ieme est blanche ou les i premières boules tirées sont vertes, les j suivantes sont blanches et la (i+j+1)-ème ».
Par exemple, pour la suite de tirages BBBV V BV BB · · · , on a X = 3 et Y = 2.
1
(a) Déterminer la loi de la variable aléatoire X.
p
1−p
+
.
1−p
p
(c) Montrer que E(X) est minimale lorsque p = 21 , et calculer cette valeur minimale.
(b) Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance et que E(X) =
2
3
Montrer, pour tout (i, j) ∈ (N∗ )2 , on a P(X = i et Y = j) = pi+1 (1 − p)j + (1 − p)i+1 pj .
(a) En déduire la loi de la variable aléatoire Y .
(b) Montrer que la variable aléatoire Y admet une espérance que l’on calculera.
4
(a) Établir que, si p 6= 12 , les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes (P(X = 1 et Y = 1)).
(b) Démontrer que, si p = 21 , les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.
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