Triangles semblables

Triangles semblables 1/2
TRIANGLES SEMBLABLES
I) Triangles isométriques
1) Définitions et propriétés
Définition : Deux triangles sont isométriques s’ils ont leurs côtés respectifs de même longueur.
Exemple : les triangles ABC et A’B’C’ sont
isométriques car AB = A’B’, AC = A’C’ et BC = B’C’.
Propriétés :
• Deux triangles isométriques ont la même aire.
• Si deux triangles sont isométriques, leurs angles homologues sont égaux.
Remarques : • Deux triangles qui ont des angles égaux ne sont pas obligatoirement isométriques (voir plus loin).
‚ Deux triangles isométriques sont superposables (papier calque).
2) Triangles et isométries
Théorème : Si un triangle T a pour image un triangle T’ par une translation, une symétrie axiale ou une rotation, alors les
deux triangles T et T’ sont isométriques.
Démonstration : Les translations, les symétries axiales (appelées aussi réflexions) et les rotations (comprenant les
symétries centrales qui sont des rotations de 180°) sont les transformations géométriques étudiées au collège. Elles ont
en commun une propriété importante : elles conservent les longueurs, c’est pour cela qu’on les appelle des isométries
(iso : même et métrie : distance). Alors elles transforment un triangle en un triangle de mêmes dimensions.
Les triangles T, T1, T2, T3 et T4 sont
isométriques.
• Translation de vecteur
u
r
:
T1 est l’image de T par
u
t
r
;
A1 est l’image de A par
u
t
r
signifie :
1
AAu
=
uuuur
r
.
• Symétrie d’axe d :
T2 est l’image de T par Sd ;
A2 est l’image de A par Sd signifie : d est la
médiatrice du segment [AA2].
• Symétrie centrale de centre I :
T3 est l’image de T par SI ;
A3 est l’image de A par SI signifie : I est le
milieu du segment [AA3].
• Rotation :
T4 est l’image de T par la rotation de centre
O et d’angle −60° ;
A4 est l’image de A par rO, −60° signifie : OA = OA4 et
·
4
AOA60
=−°
.
A
B
C A'
B'
C'
A
O
I
d
T
A4
A1
T1
T2
A2
A3
T3
T4

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3) Caractérisation des triangles isométriques
Théorème (admis) : Si deux triangles ont un côté égal compris
entre deux angles respectivement égaux, alors ils sont
isométriques.
Théorème (admis) : Si deux triangles ont un angle égal entre
deux côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques.
II) Triangles semblables ou triangles de même forme
1) Définitions et propriétés
Définition : Deux triangles sont semblables si les angles de l’un sont égaux à
l’autre.
Conséquences :
• Deux triangles isométriques sont semblables (ou de même forme).
‚ Si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, alors ces deux triangles sont semblables :
quand on connaît deux angles d’un triangle, on connaît le troisième, puisque la somme des trois angles d’un triangle est
égale à 180°.
Théorème : Si deux triangles sont semblables, alors leurs côtés sont proportionnels.
Idée de la démonstration : Les triangles ABC et EFG sont semblables.
Les angles correspondants et une longueur permettent de construire le
triangle A1BC1 : les triangles EFG et A1BC1 sont isométriques. Les angles
correspondants assure que les droites (A1C1) et (AC) sont parallèles,
alors le théorème de Thalès intervient pour donner :
1111
BABCAC
BABCAC
==.
On en déduit
EFFGEG
BABCAC
==, c’est-à-dire que les côtés des triangles
ABC et EFG sont proportionnels.
Remarques :
• le coefficient de proportionnalité k ainsi obtenu est appelé rapport de similitude.
‚ le rapport de similitude de deux triangles isométriques est égal à 1.
Propriété : Si les longueurs des côtés du triangle T’ sont
égales à k fois celles des côtés de T, alors l’aire de T’ est
égale à k2 fois l’aire de T.
2) Caractérisation des triangles semblables
Théorème (admis) : Si deux triangles ont leurs côtés
proportionnels, alors ils sont semblables.
Exemple : On a : 4,44,64
2
2,222,3
===
, donc
A
B C
3.0
A
B C
3.0
2.0
A
B
C
E
F
G
A1
C1
A
B C
4.0
4.4
4.6
E
F
G
2.2
2.3
2.0

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BABCAC
EFGFEG
==, alors les triangles ABC et EFG sont semblables.