Correction du DS n°1 du 11 octobre 2010 Exercice 2

Correction du DS n°1 du 11 octobre 2010
Exercice 1 : Indiquer en justifiant si chacune des affirmations est vraie ou fausse
1) La proposition : L'opposé d'un entier naturel est un entier naturel est fausse : Il suffit pour le démontrer de
prendre un contre-exemple : L'opposé de l'entier naturel 1 est (-1) qui est un entier relatif mais pas un entier
naturel.
2) L'opposé d'un entier relatif est un entier négatif : Cette proposition est fausse en effet : l'opposé de l'entier
relatif (-1) est 1 et 1 est un entier positif!
3) L'inverse d'un entier relatif est un décimal : Cette proposition est fausse, en effet : l'inverse de 3 est
1
3
qui
est un nombre rationnel non décimal.
4) La racine carré d'un entier naturel est toujours irrationnelle : Cette proposition est fausse, en effet :
4=2
et 2 est un entier naturel et n'est donc pas un nombre irrationnel.
Exercice 2 :
1) Les équations suivantes sont équivalentes à l'équation :
9−2x7
3
=
4x
6−1 3
27−2x−7
=
2x−1
(On a multiplié chaque membre par 3)
−4x
=
−21
x
=
21
4
L'équation a donc une unique solution :
x=21
4
2) Résolution de :
x−6−x−7
x2−1=0
E2
A et B étant deux réels, le quotient
A
B
existe si et seulement si
B≠0.
(Règle d'existence d'un quotient)
Or :
x2−1=0⇔ x−1x1=0,
et d'après la règle du produit nul, on peut en déduire que les valeurs
interdites sont :(-1) et 1.
De plus pour tous réels a et b, le quotient
a
b
est nul si et seulement si
{
a=0
et
b≠0
(Règle du quotient nul).
Donc les solutions de l'équation sont aussi solutions de l'équation produit :
x−6−x−7=0.
Or d'après la règle du produit nul, les solutions de cette équation sont
x1=6
et
x2=−7.
Ces deux nombres n'étant pas des valeurs interdites, on peut en conclure que l'ensemble des solutions de
l'équation
E2
est
{−7;6}.
3) Résolution de :
5x−925x105x−9=0
E3
E3 ⇔ 5x−9 5x−95x10
E3 ⇔ 5x−910 x1=0
Donc d'après la règle du produit nul, les solutions de
E3
sont
x1=9
5
et
x2=− 1
10 .

4) Résolution de :
25 x2−70 x495x−7 x−2=0
E4
E4 ⇔ 5x−725x−7 x−2=0
E4 ⇔ 5x−7 5x−7x−2 =0
E4 ⇔ 5x−76x−9=0
Donc d'après la règle du produit nul, les solutions de
E4
sont
x1=7
5
et
x2=3
2.
5) Résolution de :
x
2−x=−x−3
E5
D'après la règle d'existence d'un quotient, la valeur interdite est
x=2.
De plus on a les équivalences :
E5 ⇔ x
2−xx32−x 2−x=0
E5 ⇔ x2x−x26−3x
2−x=0
E5 ⇔ 6−x2
2−x=0
Donc d'après la règle du quotient nul, les solutions de
E5
sont aussi solutions de
6−x2=0.
Or cette équation est équivalente à :
6−x 6x=0.
Donc d'après la règle du produit nul, ses solutions sont
x1= 6
et
x2=− 6.
Ces deux nombres n'étant pas des valeurs interdites, l'ensemble solution de
E5
est
{− 6; 6}.
6) Résolution de :
x−1x3
x2−1
E6
D'après la règle d'existence d'un quotient, les valeurs interdites sont les solutions de l'équation
x2−1=0.
Les valeurs interdites sont donc (-1) et 1.
De plus d'après la règle du quotient nul, les solutions de
E6
sont aussi solution de
x−1 x3=0.
D'après la règle du produit nul, les solutions de cette équation sont : 1 et (-3).
Or 1 est une valeur interdite de l'équation
E6.
E6
a donc une unique solution : x = -3 .
Exercice 3 : Avec des intervalles.
1) Ensemble des nombres réels vérifiant:
4x−1≥1
ou
3x−10≤−7.
D'une part on a :
4x−1≥1⇔4x≥2
4x−1≥1⇔x≥1
2
D'autre part, on a :
3x−10≤−7⇔3x≤3
3x−10≤−7⇔x≤1

On a alors le schéma :
L'ensemble des réels satisfaisant aux conditions données est
donc l'ensemble
ℝ.
2) a) Ensemble des nombres réels vérifiant :
2x16x
et
−4x2≤8−x.
D'une part on a :
2x16x⇔x5
D'autre part :
−4x2≤8−x⇔ −3x≤6
−4x2≤8−x⇔x≥−2
On a alors le schéma :
L'ensemble des réels vérifiant les conditions données est
donc l'intervalle [-2 ; 5[
b) L'ensemble des entiers naturels vérifiant les conditions ci-dessus est {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}.
c) L'ensemble des éléments de
ℤ
vérifiant les conditions ci-dessus est {-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}.
Exercice 4 :
1) Forme développée et réduite de A(x) :
Pour tout réel x on a les égalités suivantes :
Ax=5x−13x225 x2−1
Ax=15 x210 x−3x−225 x2−1
et donc :
Ax=40 x27x−3
2) Forme factorisée de A(x) :
Pour tout réel x on a les égalités suivantes :
Ax=5x−13x225 x2−1
On reconnait l'identité remarquable a² - b² = ...
Ax=5x−13x25x−15x1
On factorise par (5x - 1)
Ax=5x−1 3x25x1
Et on a donc :
Ax=5x−18x3
3) Calcul de
Ax
pour x donné :
a)
x=−3
8
On choisit la forme factorisée (
−3
8
est solution de l'équation
8x3=0
)
A− 3
8=
5×−3
8−1
× 8×−3
83
= 5×−3
8−1
×0=0.
Donc :
A− 3
8=0.
b)
x=−2
3
On choisit la forme initiale de
Ax
ce qui va permettre d'annuler le second facteur du produit.
A− 2
3=
5×− 2
3−1
× 3×− 2
32
25×− 2
3
2
−1
A− 2
3=
5×− 2
3−1
×025×4
9−9 9
Et finalement :
A− 2
3= 91 9

c)
x= 3
On choisit la forme développée et réduite afin de minimiser les calculs avec la racine carrée.
Ax=40× 327 3−3
Ax=40×3−37 3
Et finalement :
Ax=1177 3
4) a) Résolution de l'équation
Ax=0:
En choisissant la forme factorisée, on obtient :
Ax=0⇔ 5x−18x3=0
Ce qui, d'après la règle du produit nul, donne comme ensemble solution :
S=
{
1
5;−3 8
}
b) Résolution de
Ax=7x:
En choisissant la forme développée et réduite, on se ramène à l'équation :
40 x27x−3=7x
c'est à dire :
40 x2=3
ou encore :
x2=3
40
Cette équation a donc deux solutions :
x1=
3
40=1 2
3
10
et :
x2=−
3
40 =−1 2
3
10
Exercice 5 :
1) Montrons que le problème peut se ramener à la résolution de l'équation :
x2−56 x768=0
Expression de CG en fonction de x :
G étant un point du segment [DC], DG + GC = DC.
Or : DG = x (car AMDG est un rectangle) et DC = 48.
On en déduit donc que :
CG=48−x.
Expression de CH en fonction de x :
Avec le même raisonnement et en utilisant le fait que AMEF est un carré, on montre que
CH=64−x.
Calcul de la somme des aires du carré AMEF et du rectangle EHCG :
On pose A(x) l'aire cherchée.
Ax=x248−x64−x
Ax=x248×64−48 x−64 xx2
Et finalement :
Ax=2x2−112 x3072
Mise en équation finale du problème :
L'aire A(x) est égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD si et seulement si :
Ax= 64×48
2
C'est à dire :
2x2−112 x3072=1536
En divisant par 2 chaque membre :
x2−56 x768=0
Le problème se ramène donc à la résolution de l'équation :
x2−56 x768=0

2) Montrons que pour tout réel x :
x−32x−24=x2−56 x768.
Pour tout réel x on a les égalités suivantes :
x−32x−24=x2−24 x−32 x32×24
x−32x−24=x2−56 x768
Le problème se ramène donc à la résolution de l'équation produit : (x-32)(x-24) = 0 .
Les solutions sont donc, d'après la règle du produit nul :
x1=32
et
x2=24.
Comme ces ceux valeurs sont inférieures à la longueur du segment [AB], le problème posé admet deux
solutions :
x1=24
et
x2=32.