Le poly. - Ecole polytechnique

Introduction `a la g´eom´etrie diff´erentielle
D. RENARD
23 juin 2014

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Table des mati`eres
I Sous-vari´et´es de RN.............................. 3
I.1 Immersions et submersions ....................... 4
I.2 Param´etrage local. Syst`eme de coordonn´ees ............. 5
I.3 Sous-vari´et´es d´efinies par des graphes ................. 8
I.4 Sous-vari´et´es d´efinies par des ´equations ................ 10
I.5 Autre d´efinition des sous-vari´et´es ................... 14
I.6 Topologie des sous-vari´et´es ....................... 15
I.7 Changements de param´etrage ..................... 18
I.8 Calcul diff´erentiel sur les sous-vari´et´es ................ 19
I.9 Champs de vecteurs sur les sous-vari´et´es ............... 36
I.10 Equations diff´erentielles sur les sous-vari´et´es ............. 43
I.11 Exercices ................................ 47
II Courbes .................................... 53
II.1 Courbes param´etr´ees. Arcs ....................... 54
II.2 Th´eorie locale des courbes r´eguli`eres ................. 60
II.3 Courbes p´eriodiques .......................... 67
II.4 Classification des sous-vari´et´es connexes de dimension 1 ....... 70
II.5 Degr´e d’une application de S1dans S1................ 73
II.6 Propri´et´es globales des courbes .................... 78
II.7 Exercices ................................ 91
II.8 Appendice : d´eplacements du plan et de l’espace ........... 92
III Orientation. Th´eor`emes de s´eparation .................... 93
III.1 Orientation de RN........................... 94
III.2 Champs de vecteurs normaux. Orientation .............. 95
III.3 Transversalit´e ..............................102
III.4 Le th´eor`eme de s´eparation de Jordan-Brouwer ............103
III.5 Exercices ................................112
IV Courbure des surfaces de R3.........................115
IV.1 La seconde forme fondamentale ....................116
IV.2 Interpr´etation g´eom´etrique .......................119
IV.3 Etude des courbures principales ....................123
IV.4 Les th´eor`emes de Liebmann et Jellett .................126
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ii TABLE DES MATI ` ERES
IV.5 Voisinages tubulaires ..........................128
IV.6 Exercices ................................133
V G´eom´etrie intrins`eque .............................135
V.1 M´etrique sur les surfaces ........................136
V.2 Th´eor`eme fondamental de la th´eorie des surfaces ..........141
V.3 D´eriv´ee covariante ...........................144
V.4 G´eod´esiques ...............................153
V.5 Exponentielle ..............................163
V.6 Th´eor`eme de Bonnet. ..........................171
V.7 Param´etrages sp´eciaux des surfaces ..................175
V.8 Exercices ................................180
VI Int´egration sur les surfaces ..........................183
VI.1 D´eterminant jacobien ..........................183
VI.2 D´efinition de l’int´egrale sur les surfaces ................185
VI.3 Propri´et´es de l’int´egrale sur les surfaces ................189
VI.4 Formule de changement de variables .................192
VI.5 Th´eor`eme de Green-Ostrogradski ...................196
VI.6 Exercices ................................203
VII Th´eor`eme de Gauss-Bonnet ..........................205
VII.1 Degr´e d’une application entre surfaces compactes ..........205
VII.2 Indice d’un z´ero d’un champ de vecteurs ...............212
VII.3 La formule de Gauss-Bonnet/ Poincar´e-Hopf .............218
VII.4 Exercices ................................222
VIII Calcul diff´erentiel ...............................225
VIII.1 G´en´eralit´es sur les espaces de Banach .................225
VIII.2 Th´eor`eme de l’application ouverte et corollaires ...........228
VIII.3 Applications diff´erentiables. Diff´erentielle ...............230
VIII.4 Th´eor`eme des accroissements finis ...................234
VIII.5 Inversion locale .............................238
VIII.6 Equations diff´erentielles ........................243
IX Rappels de topologie et d’analyse ......................251
IX.1 Connexit´e ................................251
IX.2 Hom´eomorphismes ...........................252
IX.3 Th´eor`eme d’Ascoli-Arzel`a .......................252
IX.4 Nombre de Lebesgue d’un recouvrement ...............253
X Probl`emes ...................................255

Pr´eface
Ce cours est une introduction `a la g´eom´etrie diff´erentielle, o`u l’accent est mis sur les as-
pects globaux de la th´eorie. Il pr´esuppose une bonne familiarit´e avec le calcul diff´erentiel
classique (fonctions d’ouverts de Rpdans Rq, ´equations diff´erentielles), et a pour but
d’introduire un certain nombre de notions fondamentales, `a la base de la g´eom´etrie mo-
derne (orientation, transversalit´e, structures riemanniennes, d´eriv´ees covariantes, cour-
bures, g´eod´esiques, th´eorie ´el´ementaire du degr´e). Comme il nous semble important d’in-
troduire ces id´ees sans noyer l’´etudiant dans un flot de concepts nouveaux, difficiles `a
dig´erer dans un cours de 9 semaines, nous pla¸cons notre ´etude dans le cadre des sous-
vari´et´es, pour ce qui est de l’extension du calcul diff´erentiel, puis aux courbes et aux
surfaces plong´ees dans R3, pour ce qui concerne les structures riemanniennes. Ce cadre
est largement suffisant pour d’une part acqu´erir une bonne intuition g´eom´etrique des
ph´enom`enes et une maˆıtrise des techniques utilis´ees, qui seront mise `a contribution dans
des th´eories plus g´en´erales (vari´et´es diff´erentielles, g´eom´etrie riemannienne), et d’autre
part pour acc´eder `a des r´esultats marquants, dont certains sont parmis les plus c´el`ebres et
les plus beaux de la g´eom´etrie classique (th´eor`emes de points fixes de Brouwer, th´eor`eme
de s´eparation de Jordan, theorema egregium de Gauss, th´eor`eme de Bonnet, de Hopf-
Rinow, de Gauss-Bonnet, pour n’en citer que quelques uns).
Chaque chapitre comporte une introduction d´ecrivant rapidement son contenu. Les
deux chapitres finaux sont des appendices, le premier reprenant les principaux r´esultats
du calcul diff´erentiel dans les espaces de Banach, le second pr´esentant des ´el´ements vari´es
de topologie et d’analyse utilis´e dans le texte.
Ce cours emprunte beaucoup `a trois ouvrages de la litt´erature : Differential geometry
of curves and surfaces de M. P. do Carmo, G´eom´etrie diff´erentielle : vari´et´es, courbes
et surfaces de M. Berger et B. Gostiaux, enfin et surtout Curves and surfaces de
S. Montiel et A. Ros.
Le texte est loin d’ˆetre sous une forme aboutie. En particulier, il ne fait pas de doute
que de nombreuses coquilles, points obscurs, erreurs, etc, subsistent. Toute remarque pour
am´eliorer celui-ci est la bienvenue. Un autre manque patent pour un cours de g´eom´etrie,
que nous essaierons de combler progressivement, est le manque de dessins.
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