QCM : contrôle continu 1 : Corrigé

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QCM : contrôle continu 1 : Corrigé 2013
Question 1 :
Soit A un nombre entier naturel. En base 10, A s’écrit 753.
Comment écrit-on A en base 7 ?
Réponse :
753
4
7
107 7
2 15 7
1 2
En base 7, A s’écrit 2124
Question 2 :
Quelle est le PGCD des trois nombres entiers naturels 88, 104 et 68 ?
Réponse :
88 = 23 × 11
104 = 23 × 13
68 = 22 × 17
(88; 104; 68) = 22 = 4
Question 3 :
257 est nombre premier car il n’est divisible par aucun des nombres suivants :
Réponse :
√257 ≈ 16,03 donc il suffit de vérifier que 257 ne soit divisible par aucun
des nombres premiers inférieurs à 16 ; c’est-à-dire qu’il ne soit divisible par
aucun des nombres suivants : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 et 13.
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Question 4 :
Quelle est la solution de l’inéquation
1
5
− +3≤
?
4
4
Réponse :
C’est l’ensemble des réels supérieurs ou égaux à 7
En effet,
1
5
− +3≤
4
4
1
5
1
5 12
1
−7
⟺ −  ≤ −3⟺−  ≤ −
⟺ − ≤
4
4
4
4 4
4
4

≥
−7
4
×
−4
1
⟺ ≥ 7
L’ordre de I’ inégalité a été changé car on l’a multipliée par un nombre négatif
Question 5 :
Affirmation : si un nombre est multiple de 6 et de 9 alors il est aussi multiple
de 54.
Réponse: Faux
36 est un bon contre-exemple. En effet, 36 est un multiple de 6, il est aussi un
multiple de 9, mais il n’est pas un multiple de 54.
Question 6 :
Une classe de 24 élèves est composée de 14 filles et 10 garçons. La taille
moyenne des garçons est de 174 cm et celle des filles 162 cm.
Affirmation : la taille moyenne des élèves de la classe est 167 cm
Réponse : Vrai
Preuve : Appelons  la somme des tailles des garçons et appelons  la
somme des tailles des filles. L’énoncé nous donne :


= 174 
= 162     = 174 × 10   = 162 × 14
10
14
La somme des tailles des élèves de toute la classe est égale à  +  id est
 +  = 174 × 10 + 162 × 14 = 4008
On en déduit la taille moyenne  d’un élève de la classe.
=
 +  4008
=
= 167 
24
24
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Question 7 :
Sur la figure ci-après, AM = 6 cm ; MB = 3 cm ; MN = 4 cm et BC = 6 cm
Affirmation : les droites (NM) et (BC) ne sont pas parallèles
Réponse: Faux
Preuve :
 4 2

6
2
 
= =

=
= 
=

6 3
 6 + 3 3


La réciproque du théorème de Thalès permet d’affirmer que Les droites (MN)
et (BC) sont parallèles.
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Question 8 :
Soit un triangle ABC tels que AB= 6 cm ; AC=8cm et BC = 10 cm.
Affirmation : le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu du
segment [BC]
Réponse : Vrai
Preuve :
Remarquons que le triangle ABC est rectangle en A, en effet un calcul rapide
permet de montrer que ² + ² = ².
En conséquence le segment [BC] est l’hypoténuse du triangle rectangle ABC.
Or le milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est le centre de son cercle
circonscrit.
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Question 9 :
On enlève un bord de 1 cm de large à une feuille de papier rectangulaire. Le
rectangle obtenu a une aire égale à la moitié de l’aire du rectangle initial. Le
périmètre du rectangle initial est de 20 cm. Quelle est l’aire en centimètres
carrés du rectangle initiale ?
Réponse : 16 cm²
Preuve :
Déterminons  .
Partons de l’hypothèse
1
    = 2 ×    
1
 ( − 1) ×  =  × 
2
⟺
1
 −  = 1 ⟺  = 2 
2
En exploitant maintenant l’hypothèse : le périmètre du rectangle initial est de
20 cm. Il vient :
2 + 2 = 20
  = 2   2 + 2 × 2 = 20     = 8 
On connait  et  , on peut désormais calculer l’aire du rectangle initial.
    =  ×  = 2 × 8 = 16 ²
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Question 10:
Dans le cube ABCDEFGH d’arête  , on considère la pyramide AEFG.
La somme des aires des quatre faces de la pyramide AEFG est égale à :
Réponse : La bonne réponse est la réponse d
Preuve :
Les faces EFB, BFG et EFG sont identiques ce sont toutes des triangles
rectangle isocèle comme suit :
La somme des aires de ces trois faces est égale à :
3×
× 3
= ²
2
2
Enfin, il reste à déterminer l’aire de la face EBG, notons que la face EBG est un
triangle équilatéral de côté √2 puisque le côté de chaque face est la
diagonale d’un carré de côté a.
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Pour calculer l’aire de la face BGE, il nous faut déterminer la longueur du
segment [EH], hauteur issue de E du triangle BEG.
En appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle EHG, on
2
obtient :  = √(√2) − (
⟹    =
2
√2
)
2
3
= √2
1
3
√3
× √2 × √ =
²
2
2
2
In fine, la somme des aires des 4 faces de la pyramide AEFG est égale à :
3 2 √3 2 (3 + √3) 2
 +
 =

2
2
2
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