QCM : contrôle continu 1 : Corrigé

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QCM : contrôle continu 1 : Corrigé 2013
Question 1 :
Soit A un nombre entier naturel. En base 10, A s’écrit 753.
Comment écrit-on A en base 7 ?
Réponse :
753
4
7
107 7
2 15 7
1 2
En base 7, A s’écrit 2124
Question 2 :
Quelle est le PGCD des trois nombres entiers naturels 88, 104 et 68 ?
Réponse :
88 = 23 × 11
104 = 23 × 13
68 = 22 × 17
𝑃𝐺𝐶𝐷(88; 104; 68) = 22 = 4
Question 3 :
257 est nombre premier car il n’est divisible par aucun des nombres suivants :
Réponse :
√257 ≈ 16,03 donc il suffit de vérifier que 257 ne soit divisible par aucun
des nombres premiers inférieurs à 16 ; c’est-à-dire qu’il ne soit divisible par
aucun des nombres suivants : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 et 13.
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Question 4 :
Quelle est la solution de l’inéquation
1
5
− 𝑥+3≤
?
4
4
Réponse :
C’est l’ensemble des réels supérieurs ou égaux à 7
En effet,
1
5
− 𝑥+3≤
4
4
1
5
1
5 12
1
−7
⟺ − 𝑥 ≤ −3⟺− 𝑥 ≤ −
⟺ − 𝑥≤
4
4
4
4 4
4
4
𝑥
≥
−7
4
×
−4
1
⟺ 𝑥≥ 7
L’ordre de I’ inégalité a été changé car on l’a multipliée par un nombre négatif
Question 5 :
Affirmation : si un nombre est multiple de 6 et de 9 alors il est aussi multiple
de 54.
Réponse: Faux
36 est un bon contre-exemple. En effet, 36 est un multiple de 6, il est aussi un
multiple de 9, mais il n’est pas un multiple de 54.
Question 6 :
Une classe de 24 élèves est composée de 14 filles et 10 garçons. La taille
moyenne des garçons est de 174 cm et celle des filles 162 cm.
Affirmation : la taille moyenne des élèves de la classe est 167 cm
Réponse : Vrai
Preuve : Appelons 𝑎 la somme des tailles des garçons et appelons 𝑏 la
somme des tailles des filles. L’énoncé nous donne :
𝑎
𝑏
= 174 𝑒𝑡
= 162 𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 174 × 10 𝑒𝑡 𝑏 = 162 × 14
10
14
La somme des tailles des élèves de toute la classe est égale à 𝑎 + 𝑏 id est
𝑎 + 𝑏 = 174 × 10 + 162 × 14 = 4008
On en déduit la taille moyenne 𝑀 d’un élève de la classe.
𝑀=
𝑎 + 𝑏 4008
=
= 167 𝑐𝑚
24
24
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Question 7 :
Sur la figure ci-après, AM = 6 cm ; MB = 3 cm ; MN = 4 cm et BC = 6 cm
Affirmation : les droites (NM) et (BC) ne sont pas parallèles
Réponse: Faux
Preuve :
𝑀𝑁 4 2
𝐴𝑀
6
2
𝑀𝑁 𝐴𝑀
= =
𝑒𝑡
=
= 𝑑𝑜𝑛𝑐
=
𝐵𝐶
6 3
𝐴𝐵 6 + 3 3
𝐵𝐶
𝐴𝐵
La réciproque du théorème de Thalès permet d’affirmer que Les droites (MN)
et (BC) sont parallèles.
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Question 8 :
Soit un triangle ABC tels que AB= 6 cm ; AC=8cm et BC = 10 cm.
Affirmation : le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu du
segment [BC]
Réponse : Vrai
Preuve :
Remarquons que le triangle ABC est rectangle en A, en effet un calcul rapide
permet de montrer que 𝐴𝐵² + 𝐴𝐶² = 𝐵𝐶².
En conséquence le segment [BC] est l’hypoténuse du triangle rectangle ABC.
Or le milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est le centre de son cercle
circonscrit.
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Question 9 :
On enlève un bord de 1 cm de large à une feuille de papier rectangulaire. Le
rectangle obtenu a une aire égale à la moitié de l’aire du rectangle initial. Le
périmètre du rectangle initial est de 20 cm. Quelle est l’aire en centimètres
carrés du rectangle initiale ?
Réponse : 16 cm²
Preuve :
Déterminons 𝑏 .
Partons de l’hypothèse
1
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑛𝑜𝑢𝑣𝑒𝑎𝑢 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 = 2 × 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙
1
𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝑏 − 1) × 𝑎 = 𝑎 × 𝑏
2
⟺
1
𝑏 − 𝑏 = 1 ⟺ 𝑏 = 2 𝑐𝑚
2
En exploitant maintenant l’hypothèse : le périmètre du rectangle initial est de
20 cm. Il vient :
2𝑎 + 2𝑏 = 20
𝑂𝑟 𝑏 = 2 𝑐𝑚 𝑑𝑜𝑛𝑐 2𝑎 + 2 × 2 = 20 𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 8 𝑐𝑚
On connait 𝑎 et 𝑏 , on peut désormais calculer l’aire du rectangle initial.
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 = 𝑎 × 𝑏 = 2 × 8 = 16 𝑐𝑚²
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Question 10:
Dans le cube ABCDEFGH d’arête 𝑎 , on considère la pyramide AEFG.
La somme des aires des quatre faces de la pyramide AEFG est égale à :
Réponse : La bonne réponse est la réponse d
Preuve :
Les faces EFB, BFG et EFG sont identiques ce sont toutes des triangles
rectangle isocèle comme suit :
La somme des aires de ces trois faces est égale à :
3×
𝑎×𝑎 3
= 𝑎²
2
2
Enfin, il reste à déterminer l’aire de la face EBG, notons que la face EBG est un
triangle équilatéral de côté 𝑎√2 puisque le côté de chaque face est la
diagonale d’un carré de côté a.
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Pour calculer l’aire de la face BGE, il nous faut déterminer la longueur du
segment [EH], hauteur issue de E du triangle BEG.
En appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle EHG, on
2
obtient : 𝐸𝐻 = √(𝑎√2) − (𝑎
⟹ 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝐵𝐺 =
2
√2
)
2
3
= 𝑎√2
1
3
√3
× 𝑎√2 × 𝑎√ =
𝑎²
2
2
2
In fine, la somme des aires des 4 faces de la pyramide AEFG est égale à :
3 2 √3 2 (3 + √3) 2
𝑎 +
𝑎 =
𝑎
2
2
2
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