(Voir 4ème, chapitre 11.) I) Angles et cercle Définitions : Dans un

3ème – Ch. 12
CHAPITRE 12
Angles et cercle. Polygones réguliers.
(Voir 4ème, chapitre 11.)
I)
Angles et cercle
Définitions :
Dans un cercle,
AB si ses côtés sont sécants avec le cercle
• Un angle intercepte un arc de cercle p
aux points A et B.
• Un angle inscrit est un angle formé par deux cordes issues d’un même point du
cercle.
(Ou aussi, angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent ce
cercle.)
• Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
Exemples :
A, M et B sont trois points distincts d’un cercle C de centre O.
• Cas où n
AMB aigu. (M et O du même côté de la corde [AB].)
N
C
M
AMB est un angle inscrit dans C qui
L’angle n
intercepte le petit arc p
AB .
n
L’angle AOB est un angle au centre dans C
B
O+
qui intercepte le même arc p
AB . C’est l’angle
au centre associé à l’angle inscrit n
AMB .
•
A
L' arc intercepté
n
Cas où AMB obtus.
C
B
+
n
AMB et AOB interceptent le grand arc p
AB .
O
M
A
Contre-exemples :
Les angles ci-contre sont ni inscrits,
ni au centre !
+
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O
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Propriétés :
Dans un cercle,
• Si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors la
mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de celle de l’angle au centre.
• Si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.
Exemples :
1
n
AMB = n
ANB
AMB = n
AOB et n
2
Propriété : (Rappel de 4ème : cas où [AB] est un diamètre.)
Si le cercle circonscrit à un triangle AMB a pour diamètre [AB], alors AMB est
rectangle en M. (1/2 de 180°.)
II)
Polygones réguliers
A) Définition, propriétés
Définition :
Un polygone est dit régulier si tous ses côtés ont la même longueur et tous ses
angles (« au sommet ») ont la même mesure.
Exemples et contre-exemple :
• Un triangle équilatéral est un polygone régulier à trois côtés.
• Un carré est un polygone régulier à quatre côtés.
• Un losange n’est pas un polygone régulier : ses côtés ont la même longueur mais
ses angles n’ont pas la même mesure !
Propriété et définitions :
• Il existe un cercle passant par tous les sommets d’un polygone régulier, le cercle
circonscrit au polygone.
• Le centre de ce cercle est appelé centre du polygone régulier.
Propriété :
Un polygone est régulier s’il est inscriptible dans un cercle et que tous ses côtés ont
la même longueur.
Propriété et définition : (Invariance)
A et B désignent deux sommets consécutifs d’un polygone régulier de centre O. La
rotation de centre O et d’angle n
AOB transforme le polygone régulier en lui-même.
On dit que le polygone est invariant par cette rotation.
Conséquences :
• Un polygone régulier (non croisé) à n côtés est invariant par une rotation autour
de son centre, d’angle 360° n .
•
La mesure de l’angle au centre interceptant un des côtés est égale à 360° n .
•
Tous les angles « au centre » d’un polygone régulier ont la même mesure.
Vocabulaire :
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Une figure est dite invariante par une transformation si chaque point de cette figure a
pour image un point de la figure par cette transformation.
B) Constructions (Polygones réguliers à 3, 4 ou 6 côtés)
Construire le polygone régulier de centre O dont le point A est un sommet.
• Triangle équilatéral :
Il est sa propre image par la rotation de centre O et d’angle 360° 3 = 120° .
Méthode 1 : (rapporteur)
Méthode 2 : (compas)
Construire C, image de A par la rotation Placer sur le cercle les points B, C, D et
de centre O et d’angle 120°, puis E tels que OA = AB = BC = CD = DE, et
l’image E de C par cette rotation.
« prendre un point sur deux ».
B
A
C
+
A
C
O
120°
+
120°
D
O
E
E
O est le « centre » de ABC mais ABC n’a pas de centre de symétrie !
•
Carré :
Il est sa propre image par la rotation de centre O et d’angle 360° 4 = 90° .
Méthode 2 : (équerre)
Méthode 1 : (rapporteur)
Par la rotation de centre O et d’angle Tracer deux diamètres [AC] et [BD]
90°, construire l’image B de A, puis perpendiculaires.
l’image C de B et enfin l’image D de C.
A +
D
90°
O
+
B
•
A +
D
+O
C
B
C
Hexagone régulier :
Il est sa propre image par la rotation de centre O et d’angle 360° 6 = 60° .
Méthode 2 : (compas)
Méthode 1 : (rapporteur)
Construire B, image de A par la rotation Placer sur le cercle les points B, C, D, E
de centre O et d’angle 60°, puis l’image et F tels que OA = AB = BC = … = EF.
C de B par cette rotation, etc.
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C
C
B
120°
B
D
D
60°
+
O
E
n = 180° − 60°
BCD
+
O
A
A
E
F
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F
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