Notions élémentaires d`algèbre et de trigonométrie Jean

Notions élémentaires
d’algèbre et de trigonométrie
1MStand
Jean-Philippe Javet
La tablette d’argile YBC 7289 est une pièce archéologique babylonienne (env. 1700 ans
av. J.-C.) écrite en cunéiforme et traitant de mathématiques. Son intérêt réside dans
le fait qu’elle est la plus ancienne représentation connue d’une valeur approchée de la
racine carrée de deux, notée aujourd’hui√2.

Table des matières
1 Fonctions du 1er degré 1
1.1 Fonctions linéaires et affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Équations ......................................... 5
1.3 Inéquations ........................................ 7
1.4 Quelques applications (1re partie) ............................ 9
1.5 Fonctions définies par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Quelques applications (2epartie) ............................ 15
2 Fonctions du 2edegré 19
2.1 Paraboles ......................................... 19
2.2 Équations du 2edegré .................................. 24
2.2.1 Factorisation par produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Factorisation du trinôme unitaire (par Somme-Produit)............ 25
2.2.3 Factorisation du trinôme non unitaire (par Tâtonnement)........... 26
2.2.4 Factorisation du trinôme (méthode Compléter le carré)............ 27
2.2.5 Factorisation à l’aide de la formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Inéquations du 2edegré.................................. 33
2.4 Équations du 2edegré“maquillées” ........................... 36
2.4.1 Équations bicarrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.2 Équations avec des racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Quelquesapplications................................... 39
3 Fonctions polynômes 41
3.1 Définitions......................................... 41
3.2 Fonctions du 3edegré................................... 42
3.3 Équations du 3edegréetplus... ............................ 43
3.3.1 Résolution par factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.2 Résolution par produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.3 Résolution par division de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Tableau de signes et inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
I

4 Fonctions rationnelles 57
4.1 Définitions......................................... 57
4.2 Les fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.1 Simplification de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.2 Multiplication et division de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.3 Addition et soustraction de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Équations rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Inéquations rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Trigonométrie 67
5.1 Trianglerectangle..................................... 67
5.1.1 Résolutions de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Mesuredesangles..................................... 70
5.2.1 Conversion d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 Longueur d’arc et aire d’un secteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.1 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.2 Graphes des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Le triangle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A Quelques éléments de solutions I
A.1 Fonctions du 1er degré .................................. I
A.2 Fonctions du 2edegré...................................VII
A.3 Fonctionspolynômes ...................................XIV
A.4 Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
A.5 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIII
Index XXX
Le polycopié que vous avez entre les mains est très largement inspiré du manuel
Notions élémentaires publié par la Comission Romande de Mathématique. Que
les différents auteurs soient remerciés ici ;-)
Malgré le soin apporté lors de sa conception, ce document contient certainement
quelques erreurs et quelques coquilles. Merci de participer à son amélioration en
m’envoyant un mail à :
jeanphilippe.jav[email protected]h

1
Fonctions du 1er degré
1.1 Fonctions linéaires et affines
Définition: La fonction définie par f(x) = mx +hest appelée fonction affine.
Son graphe est une droite qui passe par le point H(0; h), hétant
l’ordonnée à l’origine et msa pente.
La fonction définie par f(x) = mx est appelée fonction linéaire.
Son graphe est une droite qui passe par l’origine et dont la pente
vaut m.
x
−2−1 1 2
y
−2
−1
1
2
f(x) = 2x+ 1
x
−2−1 1 2
y
−2
−1
1
2
f(x) = −3
2x
Les fonctions linéaires sont des cas particuliers de fonctions affines
admettant une ordonnée à l’origine de h= 0.
Exercice 1.1: Tracer les graphes de ces 2 fonctions dans un même système d’axes
f(x) = −3x+ 2 et g(x) = 2
3x−1
Exercice 1.2:
x
−2 2
y
−2
2
4
A
B
On considère la fonction f(x) = 3
5x+ 2 esquissée ci-contre.
Compléter les coordonnées des points A(2 ; ?) et B? ; 3
10 .
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