ARITHMÉTIQUE Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

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1
Chap.01
ARITHMÉTIQUE
Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
1−
−−
− Division euclidienne (Rappel de 6
ème
)
Exemple : 612 : 17 = 36 donc 612 = 17 x 36
612 est un multiple de 17 (et de 36)
On dit aussi : 612 est divisible par 17 (et par 36) ;
17 est un diviseur de 612 (et 36 aussi) ;
17 divise 612 (et 36 aussi).
Remarque : 2012 : 25 = 80,48 80,48 n’est pas un nombre entier donc 2012 n’est pas divisible par 25.
Exemple : 342 = (8 × 42) + 6 et 6 < 8.
2−
−−
− PGCD de deux nombres entiers
a- Définition et propriété
Remarque : 1 est diviseur de tout nombre entier.
Notation : PGCD (a ; b)
Exemple : Calcul du PGCD de 8 et de 12.
Les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4, 8 Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Les diviseurs communs à 8 et à 12 sont : 1, 2, 4 donc : PGCD (8 ; 12) = 4
Exemples :
(1) 25 et 28 sont premiers entre eux.
Diviseurs de 25 : 1, 5 et 25 Diviseurs de 28 : 1, 2, 4, 7, 14 et 28
Donc PGCD (25 ; 28) = 1
(2) 24 et 34 ne sont pas premiers entre eux car 24 et 34 sont pairs donc PGCD (24 ; 34) >1
Définition : a, b et k sont 3 nombres entiers, SI a = b x k
ALORS on dit que : b est un diviseur de a ou a est divisible par b ou a est un multiple de b
ou b divise a.
La division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier consiste à
trouver deux nombres entiers appelés le quotient et le reste tels que :
Dividende = (diviseur × quotient) + reste avec reste < diviseur
Dividende Diviseur
Reste Quotient
Définition
: un diviseur commun à
a
et
b
est un nombre entier qui divise
a
et qui divise
b.
Propriété et définition : parmi les diviseurs communs à a et b, il en existe un qui est
plus grand que les autres. On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).
Définition : lorsque le PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.

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2
b−
−−
− Méthode des soustractions successives
Conséquence : prenons a > b, d’après la propriété précédente, on a PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – b)
Exercice type :
Enoncé : Déterminons le PGCD 448 et de 576 :
Solution 1 : j’utilise la méthode des soustractions successives
576 – 448 = 128
448 – 128 = 320
320 – 128 = 192
192 – 128 = 64
128 – 64 = 64
64 – 64 = 0
(Je calcule la différence des 2 nombres)
(Je considère les 2 nombres les plus petits 448 et 128, je calcule leur différence)
Le PGCD est la dernière différence non nulle : PGCD (576 ; 448) = 64
B2i Calcul du PGCD de 576 et 448 avec un tableur.
A B C
1 a b
2 576 448
3 448 128
4 128 320
5 128 192
6 128 64
7 64 64
8 64 0
Propriété : si k est un diviseur de a et
de b alors k est un diviseur de (a – b) .
Démonstration
:
k est un diviseur de a et de b donc a = k x a’ et b = k x b’
a – b = k x a’ – k x b’ = k x (a’ – b’)
Par conséquent k est diviseur de ( a – b )
= min(A2;B2)
= max(A2;B2)
–
min(A2;B2)
On s
électionne les cases A3 et
B3, puis on les copie en dessous.

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3
c−
−−
− Méthode des divisions (Algorithme d’Euclide)
Solution 2 : j’utilise l’algorithme d’Euclide
Dividende Diviseur Reste
576
448
128
448
128
64
128
64
0
(Je calcule la division euclidienne de 576 et 448)
(Je recommence avec 448 et 128)
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD (576 ; 448) = 64
Remarques : (1) la division euclidienne est vue en sixième.
576 448 576 = 448 x 1 + 128 tel que 128 < 448
(Reste plus petit que le diviseur)
128 1
(2) 576 = 64 × 9 et 448 = 64 × 7
Exercice type :
Enoncé
:
1. 126 et 210 sont-ils premiers entre eux ?
2. Calculer le PGCD des nombres 126 et 210. (Indiquer la méthode utilisée)
3. Un fleuriste dispose de 126 iris et 210 roses.
Il veut, en utilisant toutes ses fleurs, réaliser des bouquets contenant tous le même nombre d’iris et le même nombre
de roses.
a. Quel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser ?
b. Donner la composition de chacun d’eux.
Solution :
1. Deux nombres sont premiers entre eux si leur Plus Grand Commun Diviseur est 1.
126 et 210 sont deux nombres pairs donc divisibles par 2.
Par conséquent, ils ne sont pas premiers entre eux.
2. J’utilise l’algorithme d’Euclide : Dividende Diviseur reste
210 126 84
126 84 42
84 42 0
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD (126 ; 210) = 42
3. a. Le nombre de bouquets doit être un diviseur commun à 210 et 126
De plus, il veut composer un maximum de bouquets, donc on doit calculer le PGCD de 210 et 126 (déjà fait à la question
2.)
Par conséquent, Il peut réaliser au maximum 42 bouquets identiques.
b. 126 ÷ 42 = 3
210 ÷ 42 = 5 Chaque bouquet sera composé de 3 iris et 5 roses.

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3−
−−
− Fractions irréductibles
Remarque : cela veut dire que l’on ne peut plus la simplifier.
Exemple : PGCD (21 ; 44) = 1 donc 21 et 44 sont premiers entre eux.
Donc la fraction 21
44 est irréductible.
Exemple : le PGCD de 576 et 448 est 64 (D’après 2.)
En simplifiant la fraction 576
448 par 64, on obtient : 576 448 = 9×64 7×64 =9 7.
La fraction 9
7 est irréductible.
Exercice type :
Remarque : avant d’utiliser cette propriété, il est souvent préférable de simplifier la fraction à l’aide des
critères de divisibilité : 120
80 = 12 8 = 3 2 .
Propriété : la fraction a
b est simplifiable par PGCD (a ; b) et la fraction obtenue est irréductible.
Définition : une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur de cette fraction
sont premiers entre eux.
Enoncé :
On considère la fraction : 170
578.
1. Montrer que cette fraction n’est pas irréductible.
2. Déterminer le PGCD des nombres 170 et 578 (faire apparaître les différentes étapes de calculs).
3. Ecrire la fraction 170
578 sous forme irréductible.
Solution :
1. Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
170 et 578 sont deux nombres pairs donc divisibles par 2.
Par conséquent, ils ne sont pas premiers entre eux et 170
578 est irréductible.
2. J’utilise l’Algorithme d’Euclide : Dividende Diviseur reste
578 170 68
170 68 34
68 34 0
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD (170 ; 578) = 34
3. Il suffit maintenant de simplifier la fraction par 34, et la fraction obtenue sera irréductible :
170
578 = 5 x 34
17 x 34 = 5
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