− Troisième −
− Chap.01 − http://jacobinsmaths.free.fr
1
Chap.01
ARITHMÉTIQUE
Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
1−
−−
− Division euclidienne (Rappel de 6
ème
)
Exemple : 612 : 17 = 36 donc 612 = 17 x 36
612 est un multiple de 17 (et de 36)
On dit aussi : 612 est divisible par 17 (et par 36) ;
17 est un diviseur de 612 (et 36 aussi) ;
17 divise 612 (et 36 aussi).
Remarque : 2012 : 25 = 80,48 80,48 n’est pas un nombre entier donc 2012 n’est pas divisible par 25.
Exemple :
342 = (8 × 42) + 6 et 6 < 8.
2−
−−
− PGCD de deux nombres entiers
a- Définition et propriété
Remarque : 1 est diviseur de tout nombre entier.
Notation : PGCD (a ; b)
Exemple : Calcul du PGCD de 8 et de 12.
Les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4, 8 Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Les diviseurs communs à 8 et à 12 sont : 1, 2, 4 donc : PGCD (8 ; 12) = 4
Exemples :
(1) 25 et 28 sont premiers entre eux.
Diviseurs de 25 : 1, 5 et 25 Diviseurs de 28 : 1, 2, 4, 7, 14 et 28
Donc PGCD (25 ; 28) = 1
(2) 24 et 34 ne sont pas premiers entre eux car 24 et 34 sont pairs donc PGCD (24 ; 34) >1
Définition : a, b et k sont 3 nombres entiers,
SI
a = b x k
ALORS
on dit que : b est un diviseur de a ou a est divisible par b ou a est un multiple de b
ou b divise a.
La division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier consiste à
trouver deux nombres entiers appelés le quotient et le reste tels que :
Dividende = (diviseur × quotient) + reste avec reste < diviseur
Dividende Diviseur
Reste Quotient
Définition
a
b
est un nombre entier qui divise
a
b.
Propriété et définition : parmi les diviseurs communs à a et b, il en existe un qui est
plus grand que les autres. On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).
Définition : lorsque le PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.