Mesure en radian et lignes trigonométriques

I INTRODUCTION
Mesure en radian et lignes trigonométriques
I Introduction
I.1 Le radian
Le radian est, comme le degré, une unité de mesure d’angles définie de la façon suivante :
Le radian est l’angle au centre qui intercepte, sur un cerle de rayon 1un arc de longueur 1,
Dans un cercle de rayon Rl’angle au centre de mesure 1radian intercepte un arc de longueur R
M
N
R
1radian
0
R
Remarque 1
Il y a proportionnalité entre la mesure en degrés et la mesure en radians :
360 degrés = 2πradians ou encore 180 degrés = πradians
Exemple 1
On obtient le tableau de conversions suivant :
Mesure en degrés 360 180 90 60 57,296 45 30
Mesure en redians 2π π π
2
π
31π 4
π
6
I.2 Abscisses curvilignes
Remarque 2
Par enroulement de la droite graduée sur le cercle
de rayon 1 :
➤je définie une origine I sur le cercle
➤j’oriente le cercle
Ainsi à tout point M du cercle correspond une in-
finité d’abscisses sur la droite qui coïncident par
enroulement avec M. Toutes ces abscisses sont dis-
tantes d’un multiple de 2π. On les appelle abscisses
curviligne de M et si l’une d’elles est xtoutes les
aures s’écrivent x+ 2kπ où k∈Z.
-1-

I.3 Cercle trigonométrique II FONCTIONS SINUS ET COSINUS
I.3 Cercle trigonométrique
➤Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1orienté, en général le sens direct est celui du sens
inverse des aiguilles d’une montre
Exemple 2
Placer les principales mesures en radian sur le cercle trigonométrique en prenant 4cm pour une unité
+
0
π
6
π
4
π
3
π
2
5π
6
3π
4
2π
3
π
7π
65π
44π
33π
2
11π
6
7π
4
5π
3
II Fonctions sinus et cosinus
II.1 Défintions
Soit xun réel quelconque
Il lui correspond un unique point Mde (C)tel que xsoit une abscisse curviligne de M
➤Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de Mdans le repère (O;−→
ı;−→ ).
➤Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de Mdans le repère (O;−→
ı;−→ ).
cosx et sinx sont donc respectivement l’abs-
cisse et l’ordonnée du point Mdans le repère
(O;−→ ı;−→ )
On note : M
cos x
sin x
M
x
cos x
sin x
0
−→
j
−→
i
D’après le cercle trigonométrique, on peut dire :
♦cos2x+ sin2x= 1
♦−16cos x61et −16sin x61
♦cos(x+ 2π) = cos xet sin(x+ 2π) = sin x
-2-

II.2 Valeurs remarquables II FONCTIONS SINUS ET COSINUS
II.2 Valeurs remarquables
0
π
6
π
4
π
3
π
2
1
2
√2
2
√3
2
0
1
2
√2
2
√3
2
On peut donc établir le tableau suivant :
x0π
6
π
4
π
3
π
2π
sin x01
2
√2
2
√3
21 0
cos x1√3
2
√2
2
1
20 1
II.3 Variations et courbe représentative
II.3.1 Fonction sinus
Par lecture sur le cercle trigonométrique, on obtient le tableau de variations suivant :
x0π
2π
1
sin xր ց
0 0
On en déduit sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (O;−→ ı;−→ )
sur l’intervalle [ 0;π], puis par symétrie centrale, sur [ −π;π]
1
−1
−2
π
2
π
1
−1
−2
π
2
π
−π
2
−π
puis par translation, on obtient la courbe représentative de la fonction sinus qui s’appelle une sinusoïde
-3-

II.3 Variations et courbe représentative II FONCTIONS SINUS ET COSINUS
1
−1
π
2
π
−π
2
−π
−2π
−2π
2π
II.3.2 Fonction cosinus
Par lecture sur le cercle trigonométrique, on obtient le tableau de variations suivant :
x0π
2π
1
cos x0
−1
On en déduit sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (O;−→ ı;−→ )sur l’inter-
valle [ 0;π], puis par reflexion par rapport à l’axe des ordonnées, sur [ −π;π]
1
−1
−2
π
2
π
1
−1
−2
π
2
π
−π
2
−π
et par translation, on obtient la courbe représentative de la focntion cosinus qui s’appelle aussi une
sinusoïde :
1
−1
π
2
π
−π
2
−π
−2π−2π
2π
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