Mesure en radian et lignes trigonométriques

I
INTRODUCTION
Mesure en radian et lignes trigonométriques
I
I.1
Introduction
Le radian
Le radian est, comme le degré, une unité de mesure d’angles définie de la façon suivante :
Le radian est l’angle au centre qui intercepte, sur un cerle de rayon 1 un arc de longueur 1,
Dans un cercle de rayon R l’angle au centre de mesure 1 radian intercepte un arc de longueur R
N
R
1 radian
0
M
R
Remarque 1
Il y a proportionnalité entre la mesure en degrés et la mesure en radians :
360 degrés = 2π radians ou encore 180 degrés = π radians
Exemple 1
On obtient le tableau de conversions suivant :
I.2
Mesure en degrés
360
180
90
60
57, 296
45
30
Mesure en redians
2π
π
π
2
π
3
1
π
4
π
6
Abscisses curvilignes
Remarque 2
Ainsi à tout point M du cercle correspond une inPar enroulement de la droite graduée sur le cercle finité d’abscisses sur la droite qui coïncident par
de rayon 1 :
enroulement avec M. Toutes ces abscisses sont distantes d’un multiple de 2π. On les appelle abscisses
➤ je définie une origine I sur le cercle
curviligne de M et si l’une d’elles est x toutes les
➤ j’oriente le cercle
aures s’écrivent x + 2kπ où k ∈ Z.
-1-
I.3
Cercle trigonométrique
I.3
II FONCTIONS SINUS ET COSINUS
Cercle trigonométrique
➤ Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 orienté, en général le sens direct est celui du sens
inverse des aiguilles d’une montre
Exemple 2
Placer les principales mesures en radian sur le cercle trigonométrique en prenant 4cm pour une unité
5π
6
2π
3π 3
4
π
2
π
3
π
4
π
7π
6
II
π
6
+
0
5π
4 4π
3
3π
2
7π
5π 4
3
11π
6
Fonctions sinus et cosinus
II.1
Défintions
Soit x un réel quelconque
Il lui correspond un unique point M de (C) tel que x soit une abscisse curviligne de M
→
→
➤ Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M dans le repère (O; −
ı ;−
 ).
→
→
ı ;−
 ).
➤ Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M dans le repère (O; −
M
cosx et sinx sont donc respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point M dans le repère
→
→
(O; −
ı ;−
)
‡ ‘
cos x
sin x
−
→
j
→
x −
i
0
On note : M
cos x
sin x
D’après le cercle trigonométrique, on peut dire :
♦ cos2 x + sin2 x = 1
♦ −1 6 cos x 6 1
et
♦ cos(x + 2π) = cos x
−1 6 sin x 6 1
et
sin(x + 2π) = sin x
-2-
II.2 Valeurs remarquables
II.2
II FONCTIONS SINUS ET COSINUS
Valeurs remarquables
π
2
π
3
π
4
√
3
2
√
2
2
π
6
1
2
√
1
2
0
2
2
0
√
3
2
On peut donc établir le tableau suivant :
II.3
II.3.1
x
0
sin x
0
cos x
1
π
6
1
√2
3
2
π
√4
2
√2
2
2
π
√3
3
2
1
2
π
2
π
1
0
0
1
Variations et courbe représentative
Fonction sinus
Par lecture sur le cercle trigonométrique, on obtient le tableau de variations suivant :
x
π
2
1
0
sin x
0
ր
π
ց
0
→
→
On en déduit sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (O; −
ı ;−
)
sur l’intervalle [ 0 ; π ], puis par symétrie centrale, sur [ −π ; π ]
1
−1
−2
π
2
−π
−
π
2
1
π
−1
π
2
π
−2
puis par translation, on obtient la courbe représentative de la fonction sinus qui s’appelle une sinusoïde
-3-
II.3 Variations et courbe représentative
−
−π
−2π
II FONCTIONS SINUS ET COSINUS
1
π
2
π
2
−1
−2π
π
2π
II.3.2
Fonction cosinus
Par lecture sur le cercle trigonométrique, on obtient le tableau de variations suivant :
x
π
2
0
π
1
cos x
0
−1
→
→
On en déduit sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (O; −
ı ;−
 ) sur l’intervalle [ 0 ; π ], puis par reflexion par rapport à l’axe des ordonnées, sur [ −π ; π ]
1
−1
1
−π
π
2
−
π
−2
π
2
π
2 −1
π
−2
et par translation, on obtient la courbe représentative de la focntion cosinus qui s’appelle aussi une
sinusoïde :
1
−π
−2π
−
π
2
π
2 −1
π
−2π
2π
-4-