Feuille d`exercices no 7 : Espaces probabilisés finis

Feuille d’exercices no 7 : Espaces probabilisés finis
2013 – 2014
Expériences aléatoires, événements
Exercice 1 — Soit (Ω, P (Ω)) un espace probabilisable fini et soient A, B, C ∈ P (Ω) trois événements. Ecrire les événements
suivants à l’aide de A, B, C, de leurs événements contraires et des opérations ensemblistes ∪ et ∩. Parmi A, B et C :
• au moins un des événements est réalisé ;
• aucun des trois événements n’est réalisé ;
• seul A est réalisé ;
• A et B se réalisent mais pas C ;
• deux événements ou plus se réalisent ;
• au plus deux événements se réalisent.
Exercice 2 — Soit n un entier supérieur ou égal à deux. On lance une pièce n fois de suite et on note, pour tout i ∈ ~1 , n, Pi
l’événement « le i e lancer donne pile » et Fi : « le i e lancer donne face ».
1. On suppose ici que n = 4. Exprimer les événements suivants en fonction des événements élémentaires Pi et Fi , i ∈ ~1 , 4 :
A : « n’obtenir que des piles » B : « obtenir exactement un pile » C : « obtenir le premier pile au 3e lancer »
D : « obtenir au plus un pile » E : « obtenir au moins un pile »
F : « obtenir deux piles consécutifs »
2. Dans le cas général, exprimer les événements A, B, D et E ci-dessus en fonction des événements Pi et Fi , i ∈ ~1 , n.
Exercice 3 — Soit (Ω, P (Ω), P ) un espace probabilisé fini.
1. Soient E, F ∈ P (Ω) deux événements. Montrer que P (E ∪ F) ≤ P (E) + P (F) ≤ P (E ∩ F) + 1.
n
n
S
P
2. Soient A1 , A2 , . . . , An ∈ P (Ω). Montrer que P ( Ak ) ≤
P (Ak ).
k=1
k=1
3. Soient A, B, C ∈ P (Ω) trois événements équiprobables, de probabilité p, et tels que P (A ∩ B ∩ C) = 0. Montrer que p ≤ 32 .
Indication : Ecrire l’inégalité de 2. pour les événements A, B et C.
Exercice 4 — Soit P une probabilité sur Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 } telle que P ({ω1 }) = 12 et P ({ω2 }) = 14 . On pose A = {ω1 , ω2 } et
B = {ω2 , ω3 } et on suppose que P (A ∩ B) = 18 . Déterminer entièrement la probabilité P .
Exercice 5 — On lance n fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées 1, 1, 2, 2, 3, 3. On note pn la probabilité que
les trois chiffres 1,2 et 3 apparaissent chacun au moins une fois au cours des n lancers. Pour tout i ∈ {1, 2, 3}, on note Ai
l’événement « le numéro i n’apparaît pas durant les n lancers ».
1. Caculer P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) puis montrer que pn = 1 − 3( 23 )n − 3( 13 )n .
2. Etudier la convergence de la suite (pn ) et interpréter le résultat.
Exercice 6 — On lance deux fois de suite un dé équilibré à six faces.
1. Préciser l’univers associé à cette expérience ainsi que son cardinal.
2. Trouver un libellé pour l’événement A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.
3. A quelle partie de Ω correspond l’événement B : « la somme des deux numéros est inférieure ou égale à 4 ».
4. Calculer la probabilité de A, B, A ∩ B et A ∪ B.
1
5. La probabilité que la somme des deux numéros obtenus fasse huit est-elle égale à 11
?
Conditionnement
Exercice 7 — Une urne contient trois boules rouges et cinq boules noires. Pour tout k ∈ ~1 , 8, on introduit les événements
Ek : « la première boule noire est obtenue au k e tirage » et Rk : « la k e boule tirée est rouge ».
1. Ecrire les événements E1 , . . . , E4 à l’aide des événements R1 R2 et R3 .
2. En déduire les probabilités des événements E1 , . . . , E4 .
3. Que vaut la probabilité de Ek si k ≥ 5 ?
Exercice 8 — Dans une urne se trouvent n boules rouges et n boules vertes. On tire une par une, sans remise, les boules
jusqu’à vider l’urne. Quelle est la probabilité que l’on tire une boule de couleur différente à chaque tirage ?
Exercice 9 — Une urne contient n1 boules blanches et n2 boules noires. On tire une boule de cette urne. Si elle est blanche,
on la remet dans l’urne. Si elle est noire, on la remplace par N nouvelles boules blanches (N étant un entier naturel fixé au
préalable). On tire ensuite une deuxième boule de l’urne. Quelle est la probabilité que la deuxième boule tirée soit blanche ?
Exercice 10 — On lance n fois de suite un dé équilibré à six faces et on note pn la probabilité que la somme des numéros
obtenus soit paire.
1. Calculer p1 et p2 .
2. Montrer : ∀n ≥ 1, pn = 12 .
1
Exercice 11 — Un internaute remarque que 50% du courrier qu’il reçoit est du spam, et que 90% du spam contient le mot
« viagra » ; à l’inverse, seul 10% du courrier non-spam contient ce mot. Il décide de mettre en place un filtre anti-spam pour
son courrier électronique. Ce filtre est très basique : dès qu’il voit le mot « viagra » dans un courrier arrivant, il considère ce
dernier comme du spam et le met donc dans un répertoire ad hoc. Quelle est la probabilité qu’un email qui contient le mot
« viagra » ne soit pas du spam (et que le filtre se trompe en le traitant comme tel) ?
Exercice 12 — On sait qu’une maladie existe dans une population et on a mis au point un test pour la détecter. Le test
n’est pas parfait : il réagit certes positivement à la maladie dans de nombreux cas, mais pas tous, et réagit aussi parfois sur
des personnes saines. On s’en sert néanmoins pour calculer la proportion de personnes atteintes par la maladie à l’aide des
fréquences suivantes : on sait que le test est positif une fois sur quatre dans la population, qu’il l’est huit fois sur dix chez les
malades et une fois sur dix chez les personnes saines. Quelle est la probabilité qu’un individu pris au hasard soit malade ?
Exercice 13 — Le quart d’une population a été vacciné. Parmi les vaccinés, la proportion de malades est 1/12. Parmi les
malades, il y a quatre non-vaccinés pour un vacciné. Quelle est la probabilité pour un non-vacciné de tomber malade ?
Exercice 14 — On étudie au cours du temps le fonctionnement d’un appareil obéissant aux règles suivantes :
• si l’appareil fonctionne à l’instant n − 1 (n ∈ N∗ ), il a la probabilité a ∈ ]0 , 1[ d’être en panne à l’instant n ;
• si l’appareil est en panne à l’instant n − 1 (n ∈ N∗ ), il a la probabilité b ∈ ]0 , 1[ d’être en panne à l’instant n.
On note pn la probabilité que l’appareil soit en état de marche à l’instant n.
1. Trouver une relation entre pn+1 et pn .
2. En déduire, pour tout n ∈ N, une expression de pn en fonction de n et de p0 . Etudier la convergence de la suite (pn )n∈N .
Exercice 15 — On lance au hasard une pièce de monnaie équilibrée et on relève le résultat : pile ou face. On suppose
que cette expérience peut être réalisée autant de fois que nécessaire et que les résultats successifs sont mutuellement
indépendants. Pour tout n ∈ N∗ , on note Pn l’événement « obtenir pile au ne lancer », Fn l’événement « obtenir face au ne
lancer » et on note enfin un la probabilité qu’au cours de n lancers consécutifs, on n’ait jamais obtenu deux piles successifs.
1. Calculer u1 , u2 et u3 .
2. a) Montrer que la famille (F1 , P1 ∩ P2 , P1 ∩ F2 ) est un système complet d’événement.
b) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, un+2 = 21 un+1 + 41 un .
c) Prouver que la suite (un )n≥1 converge vers 0.
Exercice 16 — On lance deux pièces truquées : la pièce 1 est équilibrée et la pièce 2 donne pile avec probabilité p ∈ ]0 , 1[.
On effectue une suite de lancers comme suit : on choisit d’abord une des deux pièces au hasard et on lance celle-ci. Si on
obtient pile, on relance la même pièce ; si on obtient face, on change de pièce.
1. a) Calculer la probabilité de ne jamais lancer la pièce 2 au cours des n premiers lancers.
b) Calculer la probabilité de jeter pour la première fois la pièce 2 au ne lancer.
2. On note un la probabilité de lancer la pièce 1 au ne lancer.
a) Trouver une relation entre un+1 et un .
b) En déduire une expression de un en fonction de n.
3. a) Quelle est la probabilité, notée rn , d’obtenir pile au ne lancer ?
b) Montrer que la suite (rn ) converge et calculer sa limite en fonction de p.
Indépendance
Exercice 17 — Soit (Ω, P (Ω), P ) un espace probabilisé et soient A, B ∈ P (Ω) deux événements.
1. Si A et B sont deux événements incompatibles à quelle condition sont-ils indépendants.
2. L’événement A peut-il être indépendant de lui-même ?
Exercice 18 — On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Les événements A et B suivants sont-ils indépendants ?
1. A : « obtenir un roi » ; B : « obtenir une carte rouge ».
2. A : « obtenir une dame » ; B : « obtenir une figure ».
Exercice 19 — On lance n fois de suite une pièce équilibrée (n ∈ N∗ ). Quelle est la probabilité d’obtenir au plus un pile ?
Exercice 20 —
1. Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On extrait successivement n boules avec remises. Quelle est la
probabilité qu’au moins une des boules tirées soit noire ?
2. Même question en supposant que l’urne contient n1 boules blanches et n2 boules noires.
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