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sciences de l’information exercices 2
Solution. Le message initial est C37 =43 ×((((43)2)2)3)3=241
(mod 451).
Problème 9.2.Une des utilisations des algorithmes de crypto-
graphie asymétrique est la signature des messages. Le but de cet
exercice est d’étudier un protocole de signature simple basé sur
RSA.
Lisa veut pouvoir signer les messages qu’elle envoie. Pour
cela, elle choisit un couple de nombres premiers (p,q), donc une
clé publique K=pq, et un exposant equ’elle rend public. Lisa
calcule l’exposant de déchiffrement f(secret). Un message est
une suite de nsymboles u= (u1, . . . , un), où chaque symbole
ui∈ {0, 1, . . . , 9, A, . . . , Z,}est une lettre, un chiffre ou un es-
pace. Pour signer un message, Lisa commence par encoder chaque
lettre uien une valeur c(ui)entre 0 et 36: c(0) = 0, c(1) = 1,. . .,
c(A) = 10,. . ., c(Z) = 35, c( ) = 36. Puis elle transforme le message
u= (u1, . . . , un)en un élément [P(u)]Kde Z/KZpar la formule
P(u) = ∑n
i=1c(ui)37i−1
Le message [P(u)]Kest ensuite chiffré avec l’exposant de déchiffre-
ment f pour obtenir la signature du message:
[σ(u)]K=([P(u)]K)f,σ(u)∈{0, ..., K−1}
Elle transmet ensuite le message
u1,u2. . . , un,σ(u)
1. Homer reçoit le message uet la signature σ(u). Il connaît la
clé publique et la méthode d’encodage. Peut-il vérifier que le
message a bien été signé selon ce protocole?
Solution. Homer connaît la clé publique et la méthode d’encodage.
Il peut alors calculer [P(u)]Ket appliquer l’exposant e à [σ(u)]K. Il
obtient alors:
([σ(u)]K)e=([P(u)]K)fe=([P(u)]K)e f = [P(u)]K
d’après le théorème d’exactitude de RSA. Homer vérifie alors que le
résultat est le message [P(u)]K. Si oui, Homer peut vérifier que la
signature a été calculée par quelqu’un qui connaît l’exposant de déchif-
frement f .
2. Lisa a choisit (p,q) = (97, 173)et l’exposant public e=17.
Calculer l’exposant de déchiffrement f.
Solution. Les nombres 97 et 173 sont bien premiers distincts. La clé
privée donne k =ppcm(96, 172) = 25×3×43 =4128 qui est
bien premier avec e =17. L’exposant de déchiffrement f est obtenu en
calculant l’inverse de [e]4128.