Variétés Jacobiennes

UFR de Mathématique et d’Informatique
Variétés Jacobiennes
Mémoire de deuxième année de Master recherche - Mathématiques fondamentales
et de troisième année de Magistère
réalisé par Thomas Richez
sous la direction de Rutger Noot
Année : 2013/2014
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La science a eu de merveilleuses applications,
mais la science qui n’aurait en vue que les applications ne serait plus de la science,
elle ne serait plus que de la cuisine.
Henri poincaré.
9 juin 2014

Table des matières
Introduction 5
Chapitre 1. Généralités 7
1. Propriétés des schémas et des morphismes 7
2. Diviseurs 12
3. Faisceaux inversibles 14
4. Espaces tangents et faisceau des différentielles 16
Chapitre 2. Variétés algébriques et variétés abéliennes 19
1. Variétés algébriques 19
2. Foncteurs représentables et groupes algébriques 19
3. Variétés abéliennes 21
Chapitre 3. Première approche de la jacobienne 25
1. Motivations : l’exemple des courbes elliptiques 25
2. Définitions et objectifs 26
3. L’application canonique de Cdans sa jacobienne 30
4. Lien entre variété jacobienne algébrique et analytique 34
Chapitre 4. Puissances symétriques et construction de la jacobienne 37
1. Puissances symétriques d’une courbe 37
2. Diviseurs de Cartier effectifs relatifs 39
3. Construction de la variété jacobienne 45
4. L’application canonique des puissances symétriques de Cdans sa jacobienne 50
Chapitre 5. Variété jacobienne, variété Albanese et autodualité 55
1. Variété jacobienne et Albanese 55
2. Autodualité 57
3. Résumé 63
Chapitre A. Un résultat utilisé 65
Remerciements 71
Index 73
Bibliographie 75
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Introduction
La jacobienne d’une courbe est un outil important en géométrie algébrique. Construite sur un corps
quelconque par Weil en 1948 dans le but de démontrer l’hypothèse de Riemann pour les courbes sur un corps
fini, de nombreuses constructions et utilisations des jacobiennes ont vu le jour depuis. Il s’agira alors dans ce
mémoire de construire et d’étudier quelques propriétés de la variété jacobienne d’une courbe non singulière
complète. L’approche choisie ici est celle de Milne que l’on retrouvera dans [CS98].
Pour ce faire, la première partie sera essentiellement consacrée à des rappels généraux en géométrie
algébrique. Ce sera l’occasion d’introduire quelques notations et de fixer quelques conventions.
La seconde partie sera elle aussi très générale. On y abordera la notion de variété abélienne et les
principaux résultats qui nous seront utiles dans la suite de ce mémoire. Cette partie est notamment motivée
par le fait que la jacobienne d’une courbe est une variété abélienne. Celles-ci sont d’autant plus importantes
que toute variété abélienne sur un corps algébriquement clos se réalise comme un quotient d’une jacobienne.
Ces prérequis étant donnés, ce n’est qu’à partir de la troisième partie que l’on introduira la notion
de variété jacobienne. Précisément, on commencera par le cas particulier des courbes elliptiques (courbes
de genre 1) dont l’importance (entre autres) en théorie des nombres et cryptographie est bien connue. De
telles courbes elliptiques Esont naturellement munies d’une structure de schéma en groupe dont la loi est
intimement liée à celle du groupe de Picard P ic0(E)de la courbe en question. Plus généralement, en genre
quelconque, il s’agira de montrer que les points rationnels de la jacobienne d’une courbe Ccomplète non
singulière admettant un point rationnel paramétrisent P ic0(C). On montrera également que les jacobiennes
sont des variétés abéliennes lisses de dimension le genre de la courbe.
La partie 4sera quant à elle dédiée à la construction à proprement parler de la jacobienne. Cela nous
amènera à introduire la notion de puissance symétrique C(r)d’une courbe ainsi que celle de diviseur de
Cartier effectif relatif. Il apparaîtra alors que la jacobienne d’une courbe Cde genre g(admettant un point
rationnel) est l’unique variété abélienne birationnellement équivalente à C(g).
Enfin, l’ultime partie de ce mémoire montrera que la jacobienne a toute les propriétés requises pour être
qualifiée de variété Albanese de la courbe. On montera ensuite que la jacobienne coïncide avec sa variété
duale et même que c’est une variété abélienne principalement polarisée.
Bien sûr, ceci n’est qu’une introduction à la théorie. Une question légitime que l’on pourrait se poser
ensuite est celle de la généralisation aux variétés de dimension supérieure, ce qui nous amènerait à la notion
de variété de Picard. Le lecteur intéressé trouvera facilement de plus amples informations à ce sujet dans la
littérature.
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