ch.01-06 : Nombres réels et complexes, géométrie-1 ch.07

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Lycée E. Mimard, Saint-Etienne
M+ Cours de Mathématiques PTSI
en 5 parties :
ch.01-06 : Nombres réels et complexes, géométrie-1
ch.07-15 : Analyse en une variable réelle. Suites.
ch.16-25 : Espaces R2,R3. Algèbre linéaire,géométrie-2
ch.26-29 : Polynômes, Fract. rat., Intégrales et Primitives.
ch.30-33 : Développements Limités. Séries. Probabilités.
Le programme (avec "Informatique et Sciences du Numérique") accentue le calcul fondamental.
Un exemple : en lien avec le second degré, le "nombre d’or" phi, venant de Phidias (Parthénon)
Rectangles d’or emboités L
l=ϕSpirale d’or dans rectangle d’or Théatre d’Epidaure
en peinture, Vélasquez et Léonard de Vinci par ex. (p43)
à Clément-Marie, Myriam ; à mes chers parents,
aux divers élèves et à celles et ceux qui m’ont aidé ici.
M. Henri Chambon, 19 rue Saint-Joseph, Saint-Etienne.
Année : 2013-2014.

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Exercices d’introduction (cf. premiers chapitres)
1. Simplifier : 11 + 2 + 3 + ... + 100
2. Simplifier : 21 + 2 + 22+... + 263
3. Résoudre : 1
x+ 1 62 x−1
4. Factoriser sur R:x3−1
5. Factoriser sur R:x4+x2+ 1
6. Résoudre : sin(2x−π/3) = cos(3x+π/3)
7. Montrer que les médiatrices d’un triangle sont concourantes.
Déduire que les hauteurs sont concourantes.
8. Etant donnés 2 points Aet Bsitués du même côté d’une droite D:
trouver M∈ D tel que AM +MB soit minimum.3
1Question posée à Gauss, vers 6-7 ans, qui ne l’occupa que peu de temps.
2Problème célèbre : 1 grain sur la 1ère case, 2 sur la 2ème, ... 263 sur la 64ème du jeu d’échecs.
3C’est le trajet de la lumière, selon le principe optique de Fermat ; il contient les lois de Descartes.

0.1. ENSEMBLE N={0,1,2, ...}3
Chapitre 0
Les entiers. Vocabulaire et Raisonnements
0.1 Ensemble N={0,1,2, ...}
0.1.1 Raisonnement par récurrence
Déjà :
Pour montrer une proposition qui dépend de l’entier n, notée P(n),n∈N, il suffit de montrer
que P(0) est vraie [initialisation] et :
Si P(n)est vraie, alors P(n+ 1) est vraie [hérédité].
0.1.2 Exemples
1. A bien savoir et facile : 1 + 2 + ... +n=n(n+ 1)
2.
Si on initialise à 0, on convient qu’une somme vide est nulle. (De même on convient qu’ un produit
de 0 terme vaut 1). Notons Gnle membre de gauche au rang n, et Dncelui de droite.
On a de plus : Gn+1 =Gn+ (n+ 1) = n(n+ 1)
2+ (n+ 1) = ...Dn+1 (aisément !)
En fait il y a une meilleure démonstration : On écrit S=n+ (n−1) + ... + 2 + 1
d’où par addition : 2.S =npaquets valant (n+ 1) chacun. Terminé.
2. A bien savoir : Pour q6= 1,1 + q+q2+... +qn=1−qn+1
1−q=qn+1 −1 q−1.
Par réc. : comme ci-dessus. Observer qu’il y a (n+ 1) termes dans le menbre de gauche Gn.
Autre démonstration : Avec Sn= 1 + q+q2+... +qn
on a : q.Sn=q+q2+... +qn+qn+1. Donc Sn(1 −q) = 1 −qn+1. Fini.
Remarques 1) Si q= 1, le membre de gauche vaut : n+ 1.
2) Un calcul : q+q2+... +qn=q(1 + ... +qn−1) = q. 1−q(n−1)+1
1−q.
3) n= 2,q=b
adonnent a3−b3= (a−b)(a2+ab +b2)d’où a3+b3= (a+b)(a2−ab +b2)
4) Enfin par exemple : x3−1
x−1−→
x→13. (La fraction valant 1 + x+x2; cf. dérivée de f(x) = x3en 1)
3. Tout nombre dans N∗\{1}admet au moins un diviseur premier
Par récurrence forte. [à bien voir] Déjà, le début est à 2 !
Ensuite, on suppose le résultat vrai jusqu’au rang n. Alors, soit n+ 1 est premier ; soit il admet
un diviseur atel que 1< a < n + 1 ; alors aadmet un diviseur premier p, et pdivise n+ 1. Fini.
Remarques. 1) Le résultat démontré va être utilisé après.
2) On peut montrer que ∀n>2s’écrit de manière unique comme produit de facteurs premiers.

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0.2 Autres raisonnements
0.2.1 Par l’absurde. Exemple P={2,3,5,7...}ens. des nombres premiers, est infini
Sinon, on aurait P={p1= 2, p2= 3, p3= 5, ...pN}fini ; considérons le nombre : 1 + 2.3.5...pN:
il n’est divisible ni par 2, ni 3, ni 5... ni par pN, donc par aucun nombre premier ; impossible !
0.2.2 Par Déduction : (ou bien par =⇒)
Exemple. Soit u0= 0, u1= 1, un+2 =un+1 +un. Montrer que : un−→
n→+∞+∞.
On a u2= 1, u3= 2, u4= 3, u5= 5, u6= 8 ; on montre : n>5 =⇒un>n: par récurrence ;
départ : deux indices, n= 5, n = 6. Puis un+2 >(n+ 1) + n= 2n+ 1 >n+ 2, pour n>5.
Autre exemple.Relire (et mémoriser) le a3−b3=... de la page précédente.
0.2.3 Par Analyse-Synthèse : (ou bien par ⇐⇒)
Exemple : Résoudre (1) √2−x=x. Domaine : x62.
Analyse : Si xsolution, en élevant au carré, forcément (2) x2= 2 −x; forcément x∈ {1,−2}.
Synthèse : Inversement, en reportant, une seule solution convient x= 1.(1) 6⇔ (2) !
0.2.4 Contraposée : p⇒qa même sens que l’implication Non q⇒Non p, notée
q⇒p(c’est-à-dire : elles sont toutes deux vraies ou toutes deux fausses.)
Exemple 1.p=il fait beau ; q=je sors [réfléchir à ces 2 implications de même signification]
Exemple 2. Pour n∈N, on a n2pair =⇒npair.
Il est plus commode de montrer la contraposée, à savoir : si nimpair, alors n2impair.
Supposons nimpair ou n= 2k+ 1 ; alors n2= 4k2+ 4k+ 1 est impair. Terminé.
0.2.5 Par Contre-exemple : (Exemple du contraire)
Un nombre premier est irréductible. Par analogie, on parle de polynôme irréductible.
Un polynôme positif sur Rest-il forcément irréductible ? non !
Contre-exemple :x4+x2+ 1 = (x2+ 1)2−x2= (x2+x+ 1)(x2−x+ 1).(Retenir)
0.3 Ensemble Z={... −2,−1,0,1,2, ...}
0.3.1 Les deux opérations : + et .
Un mot sur chacune des 2 opérations :
2−7 = 2 + (−7),−7étant le symétrique de 7.
Et la règle des signes pour ""
0.3.2 La notation n.Z
9.Z={9.k, k ∈Z}.
De même 2.Zsignifie l’ensemble des entiers relatifs pairs.
0.3.3 La division euclidienne dans Z
1. Théorème Soit a∈Z, b ∈Z∗.Alors :∃!(q, r)(quotient, reste) tels que a=b.q +ravec 06r <|b|
Dém. laissée en exercice (sur Z, on sème des grains espacés de |b|).
Exemples : 22 = 7.3 + 1 tandis que : −22 = (−7).4 + 6.
2. Définition On dit que bdivise a(noté b/a) si a=b= 0 ou si b6= 0 et r= 0 ; ce qui est : a=b.q

0.4. ENSEMBLES GÉNÉRAUX 5
0.4 Ensembles généraux
0.4.1 Ensemble P(E)= ensemble des parties de E
Exemple. Si E={a, b, c}, alors P(E) = {∅,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c =E}} : 8 parties.
En général |E|=n=⇒| P(E)|= 2n.En effet, par récurrence
Si n= 0, E =∅tandis que P(E) = {∅} :ensemble constitué d’une partie, la partie vide !
Passage au rang n+ 1 : Soit E={x1, x2, ..., xn, x}. Il y a les parties ne contenant pas x, au nombre de
2npar hypothèse de récurrence à l’ordre n(HRn) et celles contenant x; mais ici, il y en a exactement
autant que de celles ne contenant pas xcar on leur adjoint exactement x! D’où 2n+ 2n= 2.2n= 2n+1.
0.4.2 Propriétés (Aou CEAétant le complémentaire de la partie Adans E)
On a :
A=B⇐⇒ A⊂Bet B⊂A[dém. par double inclusion]
A∩B=¯ A∪¯ Bet aussi A∪B=¯ A∩¯ B[lois de Morgan]
Associativité de ∩et aussi associativité de ∪
Distributivité de ∩/∪:A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)et aussi de ∪/∩
Démonstration de A∩B=¯ A∪¯ B.
Soit on fait un dessin en position générale appelé "diagramme de Wenn"
Soit par double inclusion : Si xest dans la partie Gauche, montrer qu’il est dans la Droite ; et vice-versa.
Définitions On définit A\Bpar A\B={x:x∈A et x 6∈ B}=A∩¯
B[différence]
Et A∆Bpar A∆B= (A\B)∪(B\A)[différence symétrique].
La différence symétrique (correspondant au "ou" exclusif) est associative : le plus simple pour
voir ceci est de faire un diagramme de Wenn. Et aussi A∆B= (A∪B)\(A∩B)clairement.
0.4.3 Relation d’ordre
1. D’abord produit cartésien de 2 ensembles :
Définition ExFest défini par ExF={(x, y)/ x ∈E, y ∈F}. Exemple :
Si E={a, b, c}et F={1,2}, alors ExFcomprend 6 couples (a, 1) (a, 2) (b, 1)(b, 2) (c, 1) (c, 2).
Au passage |ExF|=|E|.|F|
2. Relation :
Définition Une relation Rest définie par la donnée d’une partie GR(comme graphe) de
ExFpar : si x∈E,y∈F,xRy si (exactement par définition) (x, y)∈GR
Exemple ci-dessus :
Si GR={(a, 2),(b, 1),(b, 2)},an’est pas en relation avec 1 ; mais aest en relation avec 2.
3. Relation d’ordre :
Définition Rest une relation d’ordre si elle est réflexive, antisymétrique, transitive. Ici E=F
C’est-à-dire : ∀x∈E, xRx ;(xRy et yRx) =⇒x=y(antisymétrie) ; et (xRy et yRz) =⇒xRz.
Deux exemples
– Dans Rla relation 6est une relation d’ordre.
– Dans P(E)la relation ⊂est une relation d’ordre. Par contre ici, on peut en général trouver 2
parties Aet Btelles que A6⊂ Bet B6⊂ A: on dit que l’ordre est partiel ; alors que dans Ril est
dit total. (Une relation d’ordre sert à "ordonner" les éléments d’un ensemble).
0.4.4 Relation d’équivalence
1. Définition Rest une relation d’équivalence si elle est : réflexive, symétrique, transitive (R.S.T)
Symétrique signifiant : Si xRy alors forcément yRx. Explication de ces axiomes : Voir le théorème.