bu - IECL

BU - QUELQUES INEGALITES
Conditions hölderiennes
Dans ce qui suit x et y désignent des nombres réels positifs.
Proposition Si 0 < a ≤ 1, on a les inégalités
(1)
|xa − y a | ≤ |x − y|a
(2)
|xa − y a | ≤ a(inf(x, y))a−1 |x − y| .
Donc x 7→ xa est hölderienne de puissance a sur R+ , et lipschitzienne de rapport aua−1 sur l’intervalle [ u, +∞ [ où u > 0.
Si a ≥ 1, on a les inégalités
(3)
|xa − y a | ≥ |x − y|a
(4)
|xa − y a | ≤ a(sup(x, y))a−1 |x − y| .
Donc x 7→ xa est lipschitzienne de rapport aua−1 sur l’intervalle [ 0, u ] où u > 0.
Pour démontrer (1) et (3), on utilise sur [ 0, +∞ [ la fonction fa définie par
fa (u) = (ua − 1)|u − 1|−a .
Le nombre fa (u) est du signe de u − 1. On remarque aussi que
fa (u−1 ) = −fa (u) ,
et on étudiera la fonction seulement sur [ 1, +∞ [ . Dans cet intervalle
fa0 (u) = a
1 − ua−1
.
(u − 1)a+1
On constate que fa0 est du signe de 1 − a sur [ 1, +∞ [ , et, par ailleurs, la fonction fa tend vers 1 à
+∞. On en déduit que, pour tout réel u positif, on a
|fa (u)| ≥ 1 si a > 1 ,
|fa (u)| ≤ 1 si 0 < a < 1 .
Alors, en posant u = x/y et en multipliant les inégalités obtenues par y a , on obtient (1) et (3).
BU 2
Pour (2) et (4), on utilise le théorème des accroissements finis pour la fonction x 7→ xa . Il existe c
compris entre x et y tel que
|xa − y a | = aca−1 |x − y| .
Si a − 1 est négatif, on minore c par inf(x, y), s’il est positif, on le majore par sup(x, y).
Corollaire Si f est une fonction à valeurs réelles positives définie sur un espace métrique (A, d),
on a les résultats suivants :
i) Si 0 < a < 1 et si f est lipschitzienne, alors f a est hölderienne de puissance a. Si de plus 1/f est
bornée, alors f a est lipschitzienne.
ii) Si a ≥ 1, et si f est lipschitzienne bornée, il en est de même de f a .
Si 0 < a < 1, et si f est lipschitzienne de rapport k, on a
|f a (x) − f a (y)| ≤ |f (x) − f (y)|a ≤ k a d(x, y)a .
Si de plus 1/f est majorée par M , on obtient
|f a (x) − f a (y)| ≤ aM 1−a |f (x) − f (y)| ≤ aM 1−a kd(x, y) .
Si a ≥ 1, et si f est lipschitzienne de rapport k et bornée par M , on a
|f a (x) − f a (y)| ≤ aM a−a |f (x) − f (y)| ≤ aM a−1 kd(x, y) .
Inégalités de convexité
Formule de Jensen. Soit Φ une fonction convexe sur l’intervalle fermé I, µ une mesure de probabilité
sur R et f dans L1 (µ) telle que f (R) soit inclus dans I. Alors
Z
Z
Φ
f dµ ≤ Φ ◦ f dµ .
Soit
Z
x0 =
f dµ .
Si l’on a
u ≤ f (x) ≤ v ,
alors en intégrant
Z
u=
Z
u dµ ≤
Z
f dµ ≤
v dµ = v ,
BU 3
donc x0 est aussi dans I.
La fonction Φ étant convexe il existe une droite passant par le point de coordonnées (x0 , Φ(x0 )) et
située sous la courbe représentative de Φ. Si l’équation de cette droite est
y = ax + b ,
on a donc
Φ(x0 ) = ax0 + b ,
avec, pour tout x réel,
ax + b ≤ Φ(x) .
On en déduit
af (x) + b ≤ Φ ◦ f (x)
d’où, en intégrant
Z
f dµ + b ≤
a
et comme
Z
Φ ◦ f dµ ,
Z
a
f dµ + b = ax0 + b = Φ(x0 ) ,
on en déduit
Z
Φ
Z
≤
f dµ
Φ ◦ f dµ .
Applications
Comme mesure de probabilité prenons la moyenne des mesures de Dirac aux points a1 , . . . , an ,
n
1 X
δai .
µ=
n
i=1
1) Si Φ(x) = ex et f = ln g avec g > 0, on obtient
exp
!
n
n
1 X
1 X
ln g(ai ) ≤
g(ai ) ,
n
n
i=1
i=1
donc
(5)
n
Y
!1/n
≤
g(ai )
i=1
n
1 X
g(ai ) .
n
i=1
En particulier, si les ai sont positifs et si g(x) = x,
(6)
n
Y
i=1
ai ≤ n
−n
n
X
i=1
!n
ai
.
BU 4
2) Si Φ(x) = xa avec a > 0, et f (x) = x, on obtient
(7)
n
X
!a
ai
≤n
a−1
i=1
n
X
aai .
i=1
En particulier en combinant (6) et (7) avec a = n,
(8)
n
Y
i=1
n
1 X n
ai ,
ai ≤
n
i=1
1/n
d’où l’on déduit, en appliquant (8) aux nombres ai
(9)
n
Y
i=1
!1/n
ai
≤
,
n
1 X
ai :
n
i=1
la moyenne géométrique est inférieure à la moyenne arithmétique.