bu - IECL

BU - QUELQUES INEGALITES
Conditions hölderiennes
Dans ce qui suit xet ydésignent des nombres réels positifs.
Proposition Si 0< a ≤1, on a les inégalités
|xa−ya|≤|x−y|a (1)
|xa−ya| ≤ a(inf(x, y))a−1|x−y|.(2)
Donc x7→ xaest hölderienne de puissance asur R+, et lipschitzienne de rapport aua−1sur l’inter-
valle [u, +∞[où u > 0.
Si a≥1, on a les inégalités
|xa−ya| ≥ |x−y|a (3)
|xa−ya| ≤ a(sup(x, y))a−1|x−y|.(4)
Donc x7→ xaest lipschitzienne de rapport aua−1sur l’intervalle [ 0, u ]où u > 0.
Pour démontrer (1) et (3), on utilise sur [ 0,+∞[la fonction fadéfinie par
fa(u)=(ua−1)|u−1|−a.
Le nombre fa(u)est du signe de u−1. On remarque aussi que
fa(u−1) = −fa(u),
et on étudiera la fonction seulement sur [ 1,+∞[. Dans cet intervalle
f0
a(u) = a1−ua−1
(u−1)a+1 .
On constate que f0
aest du signe de 1−asur [ 1,+∞[, et, par ailleurs, la fonction fatend vers 1à
+∞. On en déduit que, pour tout réel upositif, on a
|fa(u)| ≥ 1si a > 1,
|fa(u)| ≤ 1si 0<a<1.
Alors, en posant u=x/y et en multipliant les inégalités obtenues par ya, on obtient (1) et (3).

BU 2
Pour (2) et (4), on utilise le théorème des accroissements finis pour la fonction x7→ xa. Il existe c
compris entre xet ytel que
|xa−ya|=aca−1|x−y|.
Si a−1est négatif, on minore cpar inf(x, y), s’il est positif, on le majore par sup(x, y).
Corollaire Si fest une fonction à valeurs réelles positives définie sur un espace métrique (A, d),
on a les résultats suivants :
i) Si 0< a < 1et si fest lipschitzienne, alors faest hölderienne de puissance a. Si de plus 1/f est
bornée, alors faest lipschitzienne.
ii) Si a≥1, et si fest lipschitzienne bornée, il en est de même de fa.
Si 0<a<1, et si fest lipschitzienne de rapport k, on a
|fa(x)−fa(y)|≤|f(x)−f(y)|a≤kad(x, y)a.
Si de plus 1/f est majorée par M, on obtient
|fa(x)−fa(y)| ≤ aM1−a|f(x)−f(y)| ≤ aM1−akd(x, y).
Si a≥1, et si fest lipschitzienne de rapport ket bornée par M, on a
|fa(x)−fa(y)| ≤ aMa−a|f(x)−f(y)| ≤ aMa−1kd(x, y).
Inégalités de convexité
Formule de Jensen. Soit Φune fonction convexe sur l’intervalle fermé I,µune mesure de probabilité
sur Ret fdans L1(µ)telle que f(R)soit inclus dans I. Alors
ΦZf dµ≤ZΦ◦f dµ .
Soit
x0=Zf dµ .
Si l’on a
u≤f(x)≤v ,
alors en intégrant
u=Zu dµ ≤Zf dµ ≤Zv dµ =v ,

BU 3
donc x0est aussi dans I.
La fonction Φétant convexe il existe une droite passant par le point de coordonnées (x0,Φ(x0)) et
située sous la courbe représentative de Φ. Si l’équation de cette droite est
y=ax +b ,
on a donc
Φ(x0) = ax0+b ,
avec, pour tout xréel,
ax +b≤Φ(x).
On en déduit
af(x) + b≤Φ◦f(x)
d’où, en intégrant
aZf dµ +b≤ZΦ◦f dµ ,
et comme
aZf dµ +b=ax0+b= Φ(x0),
on en déduit
ΦZf dµ≤ZΦ◦f dµ .
Applications
Comme mesure de probabilité prenons la moyenne des mesures de Dirac aux points a1, . . . , an,
µ=1
n
n
X
i=1
δai.
1) Si Φ(x) = exet f= ln gavec g > 0, on obtient
exp 1
n
n
X
i=1
ln g(ai)!≤1
n
n
X
i=1
g(ai),
donc
(5) n
Y
i=1
g(ai)!1/n ≤1
n
n
X
i=1
g(ai).
En particulier, si les aisont positifs et si g(x) = x,
(6)
n
Y
i=1
ai≤n−n n
X
i=1
ai!n .

BU 4
2) Si Φ(x) = xaavec a > 0, et f(x) = x, on obtient
(7) n
X
i=1
ai!a ≤na−1
n
X
i=1
aa
i.
En particulier en combinant (6) et (7) avec a=n,
(8)
n
Y
i=1
ai≤1
n
n
X
i=1
an
i,
d’où l’on déduit, en appliquant (8) aux nombres a1/n
i,
(9) n
Y
i=1
ai!1/n ≤1
n
n
X
i=1
ai:
la moyenne géométrique est inférieure à la moyenne arithmétique.