Découverte des fonctions lipschitziennes 1 Interprétation graphique

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
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Découverte des fonctions lipschitziennes
Une fonction f définie sur un intervalle I est lipschitzienne sur I s’il existe un réel k tel que :
∀(x, y) ∈ I 2 ,
|f (x) − f (y)| 6 k|x − y|.
On dit aussi que f est k-lipschitzienne.
Ce problème propose une découverte des fonctions lipschitziennes.
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Interprétation graphique
Question préliminaire : ça ressemble à quoi la courbe d’une fonction lipschitzienne ?
Soit f une fonction k-lipschitzienne sur I dont la courbe représentative dans un repère orthonormé
direct est notée C. Soit A un point de C fixé d’abscisse a.
1. Justifier que pour tout x ∈ I ∩ [a, +∞[, on a :
−k(x − a) + f (a) 6 f (x) 6 k(x − a) + f (a)
2. Décrire ainsi une zone du plan dans laquelle se trouve la courbe de f .
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Exemples et contre-exemples
3. Démontrer qu’une fonction affine est lipschitzienne sur R.
4. Démontrer que la fonction x 7→ x2 n’est pas lipschitzienne sur R.
5. Déterminer toutes les fonctions 0-lipschitziennes.
6. Cas des fonctions dérivables
(a) Démontrer qu’une fonction dérivable sur I, est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est
bornée sur I.
(b) En déduire de nouveaux exemples de fonctions lipschitziennes sur R.
(c) Donner un exemple de fonction lipschitzienne sur R mais non dérivable.
7. (a) Démontrer qu’une fonction de classe C 1 sur [a, b] est lipschitzienne sur [a, b].
(b) Démontrer que le résultat est faux sur un intervalle ouvert.
8. «Lipschitzienne Vs continue»
(a) Démontrer qu’une fonction lipschitzienne sur I est continue sur I.
(b) La réciproque est-elle vraie ?
(c) La fonction partie-entière est-elle lispschitzienne ?
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Étude collective
On note Lip(I) l’ensemble des fonctions lipschiziennes sur I.
9. Démontrer qu’une combinaison linéaire de fonctions lipschitziennes sur I est encore une fonction
lipschitzienne sur I.
On dit que Lip(I) est un sous-espace vectoriel de C(I, R), le R-espace vectoriel des fonctions continues de I dans R.
10. (a) Démontrer que le produit de deux fonctions lipschitziennes sur I et bornées est une fonction
lipschitzienne sur I.
(b) Démontrer que le résultat est faux si les fonctions ne sont pas supposées bornées.