Découverte des fonctions lipschitziennes 1 Interprétation graphique

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1
Découverte des fonctions lipschitziennes
Une fonction fdéfinie sur un intervalle Iest lipschitzienne sur Is’il existe un réel ktel que :
∀(x, y)∈I2,|f(x)−f(y)|6k|x−y|.
On dit aussi que fest k-lipschitzienne.
Ce problème propose une découverte des fonctions lipschitziennes.
1 Interprétation graphique
Question préliminaire : ça ressemble à quoi la courbe d’une fonction lipschitzienne ?
Soit fune fonction k-lipschitzienne sur Idont la courbe représentative dans un repère orthonormé
direct est notée C. Soit Aun point de Cfixé d’abscisse a.
1. Justifier que pour tout x∈I∩[a, +∞[, on a :
−k(x−a) + f(a)6f(x)6k(x−a) + f(a)
2. Décrire ainsi une zone du plan dans laquelle se trouve la courbe de f.
2 Exemples et contre-exemples
3. Démontrer qu’une fonction affine est lipschitzienne sur R.
4. Démontrer que la fonction x7→ x2n’est pas lipschitzienne sur R.
5. Déterminer toutes les fonctions 0-lipschitziennes.
6. Cas des fonctions dérivables
(a) Démontrer qu’une fonction dérivable sur I, est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est
bornée sur I.
(b) En déduire de nouveaux exemples de fonctions lipschitziennes sur R.
(c) Donner un exemple de fonction lipschitzienne sur Rmais non dérivable.
7. (a) Démontrer qu’une fonction de classe C1sur [a, b] est lipschitzienne sur [a, b].
(b) Démontrer que le résultat est faux sur un intervalle ouvert.
8. «Lipschitzienne Vs continue»
(a) Démontrer qu’une fonction lipschitzienne sur Iest continue sur I.
(b) La réciproque est-elle vraie ?
(c) La fonction partie-entière est-elle lispschitzienne ?
3 Étude collective
On note Lip(I) l’ensemble des fonctions lipschiziennes sur I.
9. Démontrer qu’une combinaison linéaire de fonctions lipschitziennes sur Iest encore une fonction
lipschitzienne sur I.
On dit que Lip(I) est un sous-espace vectoriel de C(I, R), le R-espace vectoriel des fonctions conti-
nues de Idans R.
10. (a) Démontrer que le produit de deux fonctions lipschitziennes sur Iet bornées est une fonction
lipschitzienne sur I.
(b) Démontrer que le résultat est faux si les fonctions ne sont pas supposées bornées.