Chapitre n°10 : Probabilités sur un ensemble fini
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1/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
Chapitre n°10 : Probabilités sur un ensemble fini
Objectifs.
a) Déterminer la probabilité dans des situations d’équiprobabilité.
b) Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées.
c) P(A U B)+P(A B)= P(A)+P(B)
Activité d'approche n°1
Un sac contient 6 boules numérotées 1, 1, 2, 3, 4 et 4. On tire une boule au
hasard, et on note son numéro.
Complétez le tableau ci-dessous :
Numéro tiré (ou
« issue » ou
« résultats »)
Total
Probabilité
Expliquez vos calculs sur les probabilités :
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
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2/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
Cours n°1
Chapitre n°10 : Probabilités sur un ensemble fini
I) Vocabulaire
Définition n°1 : aléatoire
Une expérience est dite aléatoire si :
- elle conduit à des résultats possibles qu'on peut nommer.
- on ne …............. pas laquelle de ces issues va se réaliser
Définition n°2 : issues
Les différents résultats d’une expérience aléatoire s’appellent les
éventualités ou issues. L’ensemble des éventualités s’appelle l’univers, on le
note souvent Ω.
Exemple n°1
On lance un dé à 10 faces.
Les issues possibles sont : ...........................................................................................
Définition n°3 : événement
Un événement est une partie de l'univers Ω, c'est à dire un ensemble
d'issues.
L’événement est réalisé si l'issue fait partie de l'ensemble des issues de
l’événement.
Exemple n°2
Avec un dé à 4 faces, on s'intéresse à l’événement : « le nombre sorti est
pair ».
. Je lance le dé et j'obtiens 9. L’événement est-il réalisé ? ........
. Combien d'issues comporte l'événement « le numéro sorti est pair » ? .........
. Quelle est la probabilité théorique de l’événement « le numéro sorti est
pair » ? ..........
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3/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
Définition n°4 : événements particuliers
• Ω s’appelle l’événement c….........................
• Ø s’appelle l’événement i.............................
• {a} s’appelle un événement …................................. (il est formé
d’une seule éventualité).
Un événement
Un événement
L'événement
c...............
Un événement B.
Définition n°5 : opérations sur les évènements
Soient A et B deux événements.
.L'événement A
∩ B (se lit « A inter B ») est constitué des issues qui
figurent à la fois dans l'événement ... et dans l'événement .... Si l'expérience
produit une issue qui est commune à A et à B, l'événement est réalisé.
.L'événement A U B (se lit « A union B ») est constitué de la réunion des
issues qui figurent dans l'événement A et des issues qui figurent dans
l'événement B. Si l'expérience produit une issue qui est dans A ... une issue qui
est dans B, l'événement est réalisé.
.L'événement A (se lit « non A ») est constitué des issues qui ne figurent
….... dans l'événement A.
.Deux événements sont dits i................................ s'ils n'ont aucune
issue en commun.
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4/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
Exemple n°3
Avec un jeu de 32 cartes, on note l'événement A : « la carte est rouge. »,
l'événement B : « la carte est noire. », l'événement C : « la carte est une
reine . » et l'événement D : « la carte est un trèfle .
Donnez les issues de :
. l'événement A
∩ C : ......................................................................................................
................................................................................................................................................
. L'événement A : ......................................................................................................
................................................................................................................................................
. L'événement A U D : ......................................................................................................
................................................................................................................................................
Citez deux événements incompatibles : ....................................................................
Exercice n°1
On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. On appelle :
. C l’événement « la carte tirée est un coeur ».
. F l'événement « la carte tirée est une figure (roi, dame ou valet) ».
1. Décrire par une phrase l'événement C
∩ F. Combien compte-t-il d'issues ?
2. Décrire par une phrase l'événement C U F. Combien compte-t-il d'issues ?
3. Décrire par une phrase l'événement C
∩ F. Combien compte-t-il d'issues ?
4. Décrire par une phrase l'événement C U F Combien compte-t-il d'issues ?
Exercice n°2
Deux épidémies sévissent en même temps dans un lycée, la gastro-entérite et
un rhume. On choisit un élève au hasard et on nomme :
. G l'événement « l'élève a la gastro-entérite »
. R l'événement « l'élève a un rhume »
Décrire à l'aide de ces deux événements :
1. « l'élève a la gastro-entérite et le rhume ».
2. « l'élève a le rhume, mais pas la gastro-entérite »
3. « l'élève a au moins une des deux maladies »
4. « l'élève n'a aucune des deux maladies ».
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5/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
Activité d'approche n°2
I) Utilisation de « ALEA.ENTRE.BORNES() » et de NB.SI
1. Dans un tableur on peut simuler un tirage aléatoire :
.En tapant =ALEA() dans une cellule, on affiche un nombre décimal aléatoire
entre 0 et 1.
.En tapant =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6), on affiche un nombre entier aléatoire
entre 1 et 6 (comme pour un dé).
Faites un essai en entrant =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) dabs la cellule A1, et en
recopiant cette cellule vers le bas 500 fois (utilisez la
« poignée de recopie » )
2. On veut pouvoir compter, dans une colonne, le nombre de
« 1 ». Pour cela, il suffit d'utiliser la formule =NB.SI(colonne à tester;«=1»).
Faites un essai en entrant =NB.SI(A1:A500;«=1»)
II) Simulation de lancer d'un dé à 6 faces.
Ouvrez un nouveau classeur.
1. Dans la colonne A, simulez 10 lancers de dés à 6 faces.
a. En B1, indiquez le nombre de 1
En B2, indiquez le nombre de 2
etc.
b. On appelle fréquence le rapport
nombre de fois où l ' événement s ' accomplit
.
nombre de lancers
En C1, calculez la fréquence de l'événement « obtenir 1 ».
En C2, calculez la fréquence de l'événement « obtenir 2 ».
Etc.
Recopiez les fréquences ci-dessous, au millième près :
C1 : ................
C2 : ................
C3 : ................
C4 : ................
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C5 : ................
C6 : ................
6/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
2. Dans la colonne A, augmentez le nombre de lancés à 100 et recalculez les
fréquences de chaque événement.
Recopiez les fréquences ci-dessous, au millième près :
C1 : ................
C2 : ................
C5 : ................
C3 : ................
C6 : ................
C4 : ................
3. Dans la colonne A, augmentez le nombre de lancers à 1000 et recalculez les
fréquences de chaque événement.
Recopiez les fréquences ci-dessous, au millième près :
C1 : ................
C2 : ................
C5 : ................
C3 : ................
C6 : ................
C4 : ................
4. Dans la colonne A, augmentez le nombre de lancers à 10000 et recalculez les
fréquences de chaque événement.
Recopiez les fréquences ci-dessous, au millième près :
C1 : ................
C2 : ................
C5 : ................
C3 : ................
C6 : ................
C4 : ................
5. Comparez les fréquences obtenus. Que semble-t-il se passer ?
6. Si l'on poursuivait indéfiniment les lancers, les fréquences se
rapprocheraient d'un nombre, lequel ? ........
Ce nombre s'appelle la probabilité de l'événement.
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7/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
Cours n°2
II) Probabilités sur un univers Ω fini.
Définition n°6
On appelle probabilité le nombre vers lequel tend la f..................................... de
réalisation d'un événement quand on répète l'expérience aléatoire un nombre
i............................................ de fois.
Exemple n°4
Avec un dé à 10 faces, on s'intéresse à l’événement : « le nombre sorti est 1».
Quelle est la probabilité théorique de cet événement ? ..........
Propriété n°1
La somme des probabilités de tous les événements élémentaires d'un univers
vaut …..
Exemple n°5
Avec un dé à 6 faces, on s'intéresse aux événements : « le nombre sorti est 1»,
« le nombre sorti est 2», etc.
Quelle est la probabilité de chacun de ces événements ? ..........
Quelle est la probabilité que de l'événement « obtenir un nombre » ? ..........
Exercice n°3
Ex.13 p.249 (Hyperbole 2010)
Exercice n°4
On considère un dé à 6 faces pipé. En utilisant le tableau suivant, calculez P(6) :
Face
1
Probabilité 0,1
2
3
4
5
0,2
0,1
0,15
0,15
Activité d'approche n°3
Activité 2 et 3 p.240 (Hyperbole 2010)
7/16
6
8/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
Cours n°3
III) Calculs de probabilités
Définition n°7 : probabilité d'un évènement
La probabilité d'un événement est la s…...................................... des probabilités
des issues qui le réalisent.
Exemple n°6
On lance un dé truqué à 6 faces, dont les probabilités vérifient les relations
suivantes :
P(1)=2P(2) ; P(3)=2P(2) ; P(4)=2P(2) ; P(5)=P(2) ; P(6)=2P(2)
Quel est la probabilité de l'événement E : « obtenir un multiple de 3 » ?
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Propriété n°2
P( A )=.... – P(A)
Exemple n°7
Avec un dé à 10 faces, on s'intéresse à l'événement : « le nombre sorti est
différent de 1».
Quelle est la probabilité de cet événement ? ....................................................
Propriété n°3
P(A U B)=P(A)+P(B)-P(.... …. ….)
Démonstration :
…..................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
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9/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
Exercice n°5
On considère les événements A et B tels que P(A)=0,6, P(B)=0,5 et
P(A
∩ B)=0,3. Calculez P(A U B).
Exercice n°6
A et B sont deux événements incompatibles.
Calculer P(A U B) si P(A)=0,3 et P(B)=0,5
Exercice n°7
On lance trois fois une pièce bien équilibrée.
1. Représentez la situation par un arbre.
2. Quelle est la probabilité :
a. d'avoir 3 « faces » ?
b. que le deuxième jet soit « face » ?
c. que le troisième jet soit différent du premier ?
Exercice n°8*
On lance deux dés à 6 faces, et on regarde la somme obtenue.
1. Donnez l'ensemble des résultats possibles.
2. Tous les événements élémentaires ont-ils la même probabilité ? Donnez la
probabilité de chaque événement élémentaire.
3. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
4. Quelle est la probabilité d'obtenir 7 ou plus ?
Exercice n°9**
On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes, on la note, puis on la remet
dans le jeu, avant d'en tirer une seconde.
1. Combien y a-t-il d'issues ?
2. Calculez la probabilité de :
a. tirer 2 cœurs ;
b. ne pas tirer de cœur ;
c. tirer exactement un cœur ;
d. tirer deux fois la même carte ;
e. tirer deux cartes différentes ;
f. tirer le roi de cœur.
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10/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
Cours n°4
IV) Lois de probabilités
Définition n°8
Une loi de probabilité sur un univers, est une f............................. qui, à chaque
événement élémentaire de cette univers, fait correspondre une
p........................................
Exemple n°8
a. On lance une fois un dé à 20 faces, Si le dé n'est pas truqué, chaque
événement élémentaire a autant de chance de se produire qu'un autre (on parle
d'équiprobabilité). Sachant que la somme de toutes les probabilités des
événements élémentaires vaut 1, la probabilité d'un événement élémentaire
vaut : ................
b. On lance une fois deux dés à 6 faces et on calcule la somme.
Faites un arbre des possibilités :
En déduire les probabilités des événements élémentaires :
p(1)=....... ; p(2)=.......... ; …......................................................................................................
…..................................................................................................................................................
Définition n°9
Dans le cas d'une loi équirépartie, la probabilité d'un événement élémentaire
A est donnée par P(A)=
1
n ...................... d ' i .............. p ...............................
Voir exemple a précédent.
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11/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
Exercice n°10
Ex.2 p.248 (Hyperbole 2010) Attention : ne réaliser la simulation que 20 fois.
Exercice n°11*
Ex.21 p.250 (Hyperbole 2010)
Exercice n°12*
Ex.19 p.250 (Hyperbole 2010)
Exercice n°13*
Ex.20 p.250 (Hyperbole 2010)
Exercice n°14**
Ex.33 p.252 (Hyperbole 2010)
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12/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
Indices permettant de savoir si on a juste ou faux.
1 1 1 1
; ; ;
6 3 3 6
Ex.1 : Dans le désordre : 6,7,8,9,10,6,7,8,9,10,6,7,8,9,10 (15
Act.1 : Dans le désordre :
issues) ; R ; D ; V (3 issues) ; V,D,R, V,D,R, V,D,R (9 issues) ;
6,7,8,9,10,V,D,R, V,D,R, V,D,R, V,D,R (17 issues)
Ex.2 : 1. G
∩ R 2. R ∩3. G U R 4.
2
6
Act.2 : Si tout est fait correctement, toutes les fréquences tendent vers la valeur
décimale approchée de
Ex.3 : a.
1
6.
1
1
b.
4
2
Ex.4 : 0,3
Act.3 : Act.2 du livre : a. 1;2;3;2;3;4;3;4;5;4;5;6 b. « Obtenir une somme égale à 4 »
- Act.3 du livre : a. b.
1
12
Ex.5 : 0,8
Ex.6 : 0,8
Ex.7 : 1.
2. a.
12/16
1
1
b.
c.
8
A
2
13/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
Ex.8 : 1. {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 2.
4
3
2
1
1
;
;
;
3.
36
36
36
36
2
Ex.9 : 1. 1024 2a.
64
1024
b.
4.
1
2
3
4
5
6
5
;
;
;
;
;
;
;
36
36
36
36
36
36
36
7
12
576
192
1
c.
d.
e.
1024
1024
32
992
1
31
f.
+
1024
32
1024
Ex.10 : a.
192
1024
, P( R)=
1
3
, P( N)=
b.
10
10
Casio graph35 : OPTN->F6->F4->F2, puis (, puis OPTN->F6->F3->F4->F1,puis *10)+1
EXE EXE EXE …. TI 83 : MATH > (pour atteindre NUM) 5, puis touche MATH > > >
(pour atteindre PRB) 1, puis *10+1 ENTER ENTER ENTER ENTER...
Ex.11 : a. b. A : {(2,1),(2,3),(2,4)} B : {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} c. {(2,3)} d.
4 1 1
6 1
= ;
=
e.
12 3 12
12 2
Ex.12 :
a. {1}
{3,4,5,6}
{2,4,6}
b. A U B :
{1,3,4,5,6}
B
∩C:
{4,6}
P(A)=
1
4
3 1
P( B)= P( C)= = P(A U B) = P(B
6
6 2
6
∩ C)=
Ex.13 : 1a. {R,R} ; {R} 1b. L'un est un sous-événement de l'autre.
13/16
3
1
= ;
12 4
14/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
1c. Indice : Faire la liste de toutes les cartes et entourer...2. P(A)=
P( C)=
P(A
1
;
8
∩ C) =
1
1
1
; P( B ∩ C) =
; P(A U B) =
16
32
2
Ex.14 : a.
b.
2
1
2
=
c. « Au moins un jeton est resté à sa place » ; P( U ) =
6
3
3
14/16
1
1
; P(B)= ;
2
4
15/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de
travail au-delà.
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de
travail au-delà.
Date : …..................................................
Date : …..................................................
Nom, prénom et classe :
….........................................................................................
* Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°......
* Je veux repasser le contrôle n°.......
Travail fait en classe :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Travail à faire pour la prochaine fois :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Nom, prénom et classe :
….........................................................................................
* Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°......
* Je veux repasser le contrôle n°.......
Travail fait en classe :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
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- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de
travail au-delà.
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travail au-delà.
Date : …..................................................
Date : …..................................................
Nom, prénom et classe :
….........................................................................................
* Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°......
* Je veux repasser le contrôle n°.......
Travail fait en classe :
- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Travail à faire pour la prochaine fois :
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* Je veux repasser le contrôle n°.......
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