Que veut dire être canonique ?

∴
k kn
A A[X]
∴
ev : E→E∗∗
xevx:ϕ7→ ϕ(x) ev
Eev = evEE
u:E→F
Fu−1 −−→ EevE −−→ E∗∗ u∗∗ −−→ F∗∗
evEuevFev
evEλ λ ev
ev λev λ
ev
−ev
−1

∴
n>1k
k n
i:E→E∗u∈GL(E)
u∗◦i◦u=i iE:E→E∗E
E u :E→F u∗◦iF◦u=iE
EiE
//
u
E∗
FiF
//F∗
u∗
OO
F=E{iE}
E iE
{iE}E
iE
u:E→F
i:E→E∗
h−,−i E i(x) = hx, −i
h−,−i E
hu(x), u(y)i=hx, yiu∈GL(E)x, y ∈E
h−,−iEE E
hu(x), u(y)iF=hx, yiEu:E→F x, y ∈E
k λ 6= 0 λ2= 1 F2F3
E1
E×E→k(x, y)7→ xy
xy =
0x= 0 y= 0,
1x, y 6= 0 x=y,
−1x, y 6= 0 x6=y.
e E x =ae y =be xy =ab E =k
k
E k 2k=F2
1
x, y ∈Edet(x, y)

E n >1k
i:E→E∗n= 1 k=F2n= 1
k=F3n= 2 k=F2
iE:E→E∗E
n= 1 k=F2hx, yiE=xy
n= 1 k=F3hx, yiE=xy hx, yiE=−xy
n= 2 k=F2hx, yiE= det(x, y)
EiE −−→ E∗iE∗ −−→ E∗∗
ev : E→E∗∗
E F 1F2
iE,F :E→F E E∗E
F
E
E
E
i iEhx, yi hx, yiE
ev = i2
n= 1 k=F3
n>3E n
i:E→E∗h−,−i
GL(E)x∈E
hx, −i 2y∈Ehx, yi= 0 {x, y}
x6= 0 z∈Ehx, zi 6= 0 z z+y
{x, z}E u ∈GL(E)
x y z 0 = hx, yi=hu(x), u(y)i=hx, zi 6= 0
n= 2 E B h−,−i
M u ∈GL(E)
hu(x), u(y)i=hx, yit MBM =B
Mt M B =r s
t u M=1 1 0 1 M=1 0 1 1 
r=u=s+t= 0 B=s0 1
−1 0 M=a b c d 
t
MBM =B ad −bc = 1 M
k1k=F2B=0 1
−1 0 
(x, y)7→ det(x, y)
n= 1 u λ 6= 0
hx, yi=hu(x), u(y)i=λ2hx, yi
λ, x, y λ2= 1 λ k

k∗={±1}k=F2k=F3
h−,−i
k=F2
k=F3
±hx, yidet(x, y)
u:E→F
iE:E→E∗E
iE∗◦iEev
BEB∗,B∗∗
E∗, E∗∗ λ6= 0
MatB,B∗(iE) = MatB∗,B∗∗ (iE∗)=(λ) MatB,B∗∗ (ev) = (1).
λ2= 1 iE∗◦iE= ev
MatB,B∗(iE) = MatB∗,B∗∗ (iE∗) = 0 1
1 0 MatB,B∗∗ (ev) = 1 0 0 1 .
iE∗◦iE= ev 
n
i:E→E∗
u:E→F
n= 1 (k)63n= 2 k=F2
k n
k
n
n= 1 k=F3
hx, yiE=−xy