Matrices Activité : Montrer que le tableau ci-dessous est un carré magique. 4 3 8 1 9 5 1 2 7 6 Notion de matrice Définition 1. • Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres appelés coefficients (ou termes, ou éléments) de la matrice. • Si la matrice comporte n lignes et p colonnes on dit que la matrice est de dimension n × p (ou matrice de format (n, p)). • Les matrices sont le plus souvent désignées par des lettres majuscules A, B, C ..., M,... etc. • Le coefficient situé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j est général noté ai,j . 4 9 2 Exemple 1 : M = 3 5 7 est une matrice de format (3, 3). Le coefficient a1,3 = 2. 8 1 6 Définitions des matrices particulières • Matrice ligne : C’est une matrice qui ne comporte qu’une ligne : exemple : A = 2 1 −5 4 • Matrice colonne : C’est une matrice qui ne comporte qu’une colonne : 9 exemple :B = 3 −2 • ∀M K Matrice carrée : C’est une matrice qui comporte autant de lignes que de colonnes ; on dit qu’elle est d’ordre n (lorsque la matrice est de format (n, n)); C est une matrice carrée d’ordre 3 : 4 9 2 exemple C = 3 5 7 8 1 6 T ES Spemaths 2016−2017 1/4 Ch1 - Matrices • Matrice diagonale : C’est une matrice dont tous les termes sont nuls en dehors de la diagonale : 9 0 0 exemple : D = 0 2 0 0 0 −4 • Transposée d’une matrice : La transposée d’une matrice A est la matrice, notée t A, dont les lignes sont les colonnes de A. 1 −4 La transposée de la matrice A = −2 5 est : 3 −6 2 t A= 1 −2 3 −4 5 −6 Égalité de deux matrices Définition 2. Deux matrices A et B sont égales si elles ont la même dimension et si chaque coefficient ai,j de A est égal au coefficient bi,j correspondant de B. 3 Addition de matrices Définition 3. A et B sont deux matrices de même format (ou dimension). La somme des matrices A et B, notée A + B, est la matrice C, telle que ci,j = ai,j + bi,j avec ai,j , bi,j et ci,j étant les coefficients respectifs des lignes i, colonne j des matrices A, B et C. Exemple 2 2 1 2 2 8 0 4 9 2 A = 1 0 −2, B = 2 5 9 . La somme C = A + B = 3 5 7 5 1 9 3 0 −3 8 1 6 Propriétés : • Pour toute matrice A on a : A + O = O + A = A où O est la matrice nulle de même dimension que A. • Si les matrices A et B sont de même dimension alors A + B = B + A. ∀M K T ES Spemaths 2016−2017 2/4 Ch1 - Matrices 4 Multiplier une matrice par un réel Définition 4. Le produit d’une matrice A par un réel k est la matrice kA obtenue en multipliant tous les coefficients de A par le réel k. Cas particulier : k = −1. La matrice (−1)A = −A est la matrice opposée de A. Exemple 3 : • A = 3 5 3×2 5×2 6 10 , k = 2 : la matrice kA est : 2A = = −1 7 −1 × 2 7 × 2 −2 14 Propriété : • Pour toutes matrices A et B de même dimension et pour tout réel k on a : k(A + B) = kA + kB 5 Produit de matrices 5.1 Produit d’une matrice par matrice colonne Définition 5. Soit A une matrice de format (n, p) et V une matrice colonne de p lignes. Pour que le produit A × V puisse être effectué, il faut que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de V . Exemple 4 3 5 4 •A= ,V = : −1 7 6 4 3 5 × Donc AV = 6 −1 7 AV = ∀M K 3×4+5×6 −1 × 4 + 7 × 6 T ES Spemaths Méthode: 42 = 38 2016−2017 3 5 −1 7 3/4 4 6 × = 42 38 Ch1 - Matrices 5.2 Produit de deux matrices Définition 6. Soit A et B deux matrices telles que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B. La matrice produit A × B s’obtient en multipliant chaque vecteur ligne de A par chaque vecteur colonne de B. 4 2 3 5 ,B= Exemple 5 : • A = 6 1 −1 7 3 5 4 2 Donc AB = × −1 7 6 1 3×4+5×6 AV = -1 × 4 + 7 × 6 42 11 = 38 5 3×2+5×1 −1 × 2 + 7 × 1 Méthode : 3 5 -1 7 × = 4 2 6 1 42 11 38 5 Propriétés : Soit A, B et C des matrices carrés d’ordre n et k un réel. • A × (B × C) = (A × B) × C • k(AB) = (kA) × B = A(kB) • A × (B + C) = (A × B) + A × C • (A + B)C = AC + BC • Si A = B alors AC = BC • Si A = B alors CA = CB 5.3 Puissance d’une matrice carrée Définition 7. Soit A une matrice carrée d’ordre n. Soit p un entier naturel non nul. On définit Ap par Ap = A × A × ... × A (p facteurs A). 3 5 , Exemple 6 : Soit la matrice carrée A = −1 7 4 50 3 × 3 + 5 × −1 3×5+5×7 3 5 3 5 2 = = × •A = −10 44 −1 × 3 + 7 × −1 −1 × 5 + 7 ×7 −1 7 −1 7 −3852 14380 • A5 ? On utilise directement la calculatrice. On trouve : A5 = −2876 7652 ∀M K T ES Spemaths 2016−2017 4/4 Ch1 - Matrices