Matrices - Maths Khalfallah
Matrices
Activité : Montrer que le tableau ci-dessous est un carré magique.
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3 5 7
8 1 6
1 Notion de matrice
•Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres appelés coefficients (ou termes, ou
éléments) de la matrice.
•Si la matrice comporte nlignes et pcolonnes on dit que la matrice est de dimen-
sion n×p(ou matrice de format (n, p)).
•Les matrices sont le plus souvent désignées par des lettres majuscules A,B,C...,
M,... etc.
•Le coefficient situé à l’intersection de la ligne iet de la colonne jest général noté
ai,j .
Définition 1.
Exemple 1 :M=
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est une matrice de format (3,3). Le coefficient a1,3= 2.
Définitions des matrices particulières
•Matrice ligne : C’est une matrice qui ne comporte qu’une ligne :
exemple : A=2 1 −5 4
•Matrice colonne : C’est une matrice qui ne comporte qu’une colonne :
exemple :B=
9
3
−2
•Matrice carrée : C’est une matrice qui comporte autant de lignes que de colonnes ; on dit
qu’elle est d’ordre n(lorsque la matrice est de format (n, n));
Cest une matrice carrée d’ordre 3:
exemple C=
492
357
816
∀MK T ES Spemaths 2016−2017 1/4Ch1- Matrices
•Matrice diagonale : C’est une matrice dont tous les termes sont nuls en dehors de la diagonale :
exemple : D=
9 0 0
0 2 0
0 0 −4
•Transposée d’une matrice : La transposée d’une matrice Aest la matrice, notée tA, dont les
lignes sont les colonnes de A.
La transposée de la matrice A=
1−4
−2 5
3−6
est : tA=1−2 3
−4 5 −6
2 Égalité de deux matrices
Deux matrices Aet Bsont égales si elles ont la même dimension et si chaque coefficient
ai,j de Aest égal au coefficient bi,j correspondant de B.
Définition 2.
3 Addition de matrices
Aet Bsont deux matrices de même format (ou dimension).
La somme des matrices Aet B, notée A+B, est la matrice C, telle que
ci,j =ai,j +bi,j avec ai,j ,bi,j et ci,j étant les coefficients respectifs des lignes i, colonne jdes
matrices A,Bet C.
Définition 3.
Exemple 2
A=
2 1 2
1 0 −2
5 1 9
,B=
2 8 0
2 5 9
3 0 −3
. La somme C=A+B=
492
357
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Propriétés :
•Pour toute matrice Aon a : A+O=O+A=Aoù Oest la matrice nulle de même dimension
que A.
•Si les matrices Aet Bsont de même dimension alors A+B=B+A.
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4 Multiplier une matrice par un réel
Le produit d’une matrice Apar un réel kest la matrice kA obtenue en multipliant tous les
coefficients de Apar le réel k.
Cas particulier : k=−1. La matrice (−1)A=−Aest la matrice opposée de A.
Définition 4.
Exemple 3 :•A=3 5
−1 7,k= 2 : la matrice kA est : 2A=3×2 5 ×2
−1×2 7 ×2=6 10
−2 14
Propriété :
•Pour toutes matrices Aet Bde même dimension et pour tout réel kon a :
k(A+B) = kA +kB
5 Produit de matrices
5.1 Produit d’une matrice par matrice colonne
Soit Aune matrice de format (n, p)et Vune matrice colonne de plignes.
Pour que le produit A×Vpuisse être effectué, il faut que le nombre de colonnes
de Asoit égal au nombre de lignes de V.
Définition 5.
Exemple 4
•A=3 5
−1 7,V=4
6:
Donc AV =3 5
−1 7×4
6
AV =3×4 + 5 ×6
−1×4 + 7 ×6=42
38
Méthode: ×4
6
3 5
−1 7=42
38
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5.2 Produit de deux matrices
Soit Aet Bdeux matrices telles que le nombre de colonnes de Asoit égal au nombre de
lignes de B.
La matrice produit A×Bs’obtient en multipliant chaque vecteur ligne de Apar
chaque vecteur colonne de B.
Définition 6.
Exemple 5 :•A=3 5
−1 7,B=4 2
6 1
Donc AB =3 5
−1 7×4 2
6 1
AV =3×4 + 5 ×63×2 + 5 ×1
-1 ×4+7×6−1×2 + 7 ×1
=42 11
38 5
Méthode : ×42
61
3 5
-1 7=42 11
38 5
Propriétés :
Soit A,Bet Cdes matrices carrés d’ordre net kun réel.
•A×(B×C) = (A×B)×C
•A×(B+C) = (A×B) + A×C
•Si A=Balors AC =BC
•k(AB) = (kA)×B=A(kB)
•(A+B)C=AC +BC
•Si A=Balors CA =CB
5.3 Puissance d’une matrice carrée
Soit Aune matrice carrée d’ordre n. Soit pun entier naturel non nul.
On définit Appar Ap=A×A×... ×A(pfacteurs A).
Définition 7.
Exemple 6 : Soit la matrice carrée A=3 5
−1 7,
•A2=3 5
−1 7×3 5
−1 7=3×3 + 5 × −1 3 ×5 + 5 ×7
−1×3 + 7 × −1−1×5 + 7 ×7=4 50
−10 44
•A5? On utilise directement la calculatrice. On trouve : A5=−3852 14380
−2876 7652
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