Chap 6 Les équations
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II Equations et équations produits nul 1) Equations du premier degré à une inconnue a). Définitions : Définition 1 : Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle apparaît une lettre qui représente un nombre inconnu. Exemple : "2x 1 42"17 4 3 = "6x 12"37 est une équation du premier degré à une inconnue. membre de gauche membre de droite Définition 2 :Une solution de l’équation est une valeur de x pour laquelle l’égalité est vraie . ! Exemple : Le nombre - 2 est-il une solution de l’équation x ( 3x + 4 ) = (2x + 5)( x " 2) ? ! On remplace x par - 2 dans chaque membre de l’équation. D’une part : ! x ( 3x + 4 ) = "2( 3 # ("2) + 4 ) = "2( "6 + 4 ) = "2 # ("2) =4 D’autre part : (2x + 5)( x " 2) ! = (2 # ("2) + 5)( "2 " 2) = ( "4 + 5) # ( "4 ) = 1 # ( "4 ) = "4 Pour x = -2 , x ( 3x + 4 ) = (2x + 5)( x " 2) Donc -2 est pas une solution de cette équation. ! Définition 3 : Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions. ! b) Résolution d’équations Propriété 1 : Une égalité reste vraie si l’on ajoute le même nombre à chaque membre d’une égalité. Propriété 2 : Une égalité reste vraie si l’on multiplie (ou divise) par le même nombre (sauf 0) chaque membre d’une égalité. Méthode de résolution • En utilisant la propriété 1, on regroupe les termes en x dans le membre de « gauche ». • En utilisant la propriété 2, on isole x . ! ! Exemple : Résoudre l’équation 7x "19 = 2x + 11 7x "19 = 2x + 11 ! 7x -19 - 2x = 2x +11- 2x 5x -19 = 11 5x -19 +19 = 11 +19 5x = 30 5x 30 = 5 5 x =6 On ajoute - 2x à chaque membre On ajoute 19 à chaque membre On divise chaque membre par 5 Vérification 7 # 6 "19 = 42 "19 = 23 2 # 6 + 11 = 12 + 11 = 23 La solution de cette équation est 6. ! c) Résoudre un problème à l’aide d’une équation Pour résoudre un problème à l’aide d’une équation, on suit les quatre étapes suivantes : 1. Choix de l’inconnue 2. Mise en équation 3. Résolution de l’équation 4. Réponse(s) au problème Problème : Un groupe d’amis organisent un repas en partageant les frais équitablement. Si chacun donne 9 € , il y a 8 € en trop. (1) Si chacun donne 6 €, il manque 13 €. (2) Combien y –a – t -il d’amis dans ce groupe ?? 1) Soit x le nombre d’amis. 2) On exprime le coût du repas de deux façons : a) 1 ère façon : Il y a x amis La phrase (1) permet d’écrire que le coût du repas est égal à 9x – 8 b) 2 ième façon : Il y a x amis La phrase (2) permet d’écrire que le coût du repas est égal à 6x + 13. D’où l’équation : 9x " 8 = 6x + 13 3) 9x " 8 = 6x + 13 ! 9x " 6x = 13 + 8 3x = 21 21 x= 3 x=7 4) Le groupe est composé de 7 personnes. ! 2) Equations produit nul Définition : Une équation produit nul est une équation dans laquelle un membre est un produit et l’autre membre 0. Exemples : (3x " 9)(2x + 7) = 0 est une équation produit nul. 3x (5x "1) = 0 est une équation produit nul. ! ! Attention : (2x + 7) " ( x " 4) = 0 n’est pas une équation produit nul ( c’est une différence). ( x + 7)(2x " 4 ) = 6 n’est pas une équation produit nul (à cause du 6). ! ! ! Propriétés (admises) : Soient a et b deux nombres : Si a = 0 ou b = 0 alors a " b = 0 Si a " b = 0 alors a = 0 ou b = 0 Autrement dit : Dire qu’un produit est nul équivaut à dire que l’un au moins de ses facteurs est nul. Exemple 1 : Résoudre l’équation ( 3x " 9)(2x + 7) = 0 Dire qu’un produit est nul équivaut à dire que l’un au moins de ses facteurs est nul ! (3x " 9)(2x + 7) = 0 ! équivaut à 3x " 9 = 0 3x = 9 9 x= 3 x=3 2x + 7 = 0 2x = -7 -7 x= 2 x = -3,5 ou ou ou ou L’équation admet deux solutions : 3 et -3,5 ! Exemple 2 : Résoudre l’équation 3x (2x "1) = 0 Dire qu’un produit est nul équivaut à dire que l’un au moins de ses facteurs est nul à 3x (2x "1) = 0 équivaut ! ! 3x = 0 ou 2x "1 = 0 3x 0 = 3 3 ou 2x = 1 x=0 ou x =0 ou 1 2 x = 0,5 x= L’équation admet deux solutions : 0 et 0,5 !
