Chap 6 Les équations

II Equations et équations produits nul
1) Equations du premier degré à une inconnue
a). Définitions :
Définition 1 : Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle apparaît une lettre
qui représente un nombre inconnu.
Exemple :
!
"2x"17
membre de gauche
1 2 4 3 4 ="6x"7
membre de droite
1 2 3
est une équation du premier degré à une inconnue.
Définition 2 :Une solution de l’équation est une valeur de
!
x
pour laquelle l’égalité est vraie .
Exemple : Le nombre - 2 est-il une solution de l’équation
!
x3x+4
( )
=2x+5
( )
x"2
( )
?
On remplace x par - 2 dans chaque membre de l’équation.
D’une part :
!
x3x+4
( )
="2 3 #("2) +4
( )
="2"6+4
( )
="2#("2)
=4
D’autre part :
!
2x+5
( )
x"2
( )
=2#("2) +5
( )
"2"2
( )
="4+5
( )
# "4
( )
=1# "4
( )
="4
Pour x = -2 ,
!
x3x+4
( )
=2x+5
( )
x"2
( )
Donc -2 est pas une solution de cette équation.
Définition 3 : Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.
b) Résolution d’équations
Propriété 1 : Une égalité reste vraie si l’on ajoute le même nombre à chaque membre d’une
égalité.
Propriété 2 : Une égalité reste vraie si l’on multiplie (ou divise) par le même nombre (sauf 0)
chaque membre d’une égalité.
Méthode de résolution
• En utilisant la propriété 1, on regroupe les termes en
!
x
dans le membre de « gauche ».
• En utilisant la propriété 2, on isole
!
x
.

Exemple : Résoudre l’équation
!
7x"19 =2x+11
!
7x"19 =2x+11
7x-19 - 2x= 2x+11- 2x On ajoute - 2x à chaque membre
5x-19 =11
5x-19 +19 =11 +19 On ajoute 19 à chaque membre
5x= 30
5x
5=30 5 On divise chaque membre par 5
x= 6
Vérification
7#6"19 =42 "19 =23
2#6+11 =12 +11 =23
La solution de cette équation est 6.
c) Résoudre un problème à l’aide d’une équation
Pour résoudre un problème à l’aide d’une équation, on suit les quatre étapes suivantes :
1. Choix de l’inconnue
2. Mise en équation
3. Résolution de l’équation
4. Réponse(s) au problème
Problème : Un groupe d’amis organisent un repas en partageant les frais équitablement.
Si chacun donne 9 € , il y a 8 € en trop. (1)
Si chacun donne 6 €, il manque 13 €. (2)
Combien y –a – t -il d’amis dans ce groupe ??
1) Soit x le nombre d’amis.
2) On exprime le coût du repas de deux façons :
a) 1 ère façon :
Il y a x amis
La phrase (1) permet d’écrire que le coût du repas est égal à 9x – 8
b) 2 ième façon :
Il y a x amis
La phrase (2) permet d’écrire que le coût du repas est égal à 6x + 13.
D’où l’équation :
!
9x"8=6x+13
3)
!
9x"8=6x+13
9x"6x=13 +8
3x=21
x=21
3
x=7
4) Le groupe est composé de 7 personnes.

2) Equations produit nul
Définition : Une équation produit nul est une équation dans laquelle un membre est un
produit et l’autre membre 0.
Exemples :
!
3x"9
( )
2x+7
( )
=0
est une équation produit nul.
!
3x5x"1
( )
=0
est une équation produit nul.
Attention :
!
2x+7
( )
"x"4
( )
=0
n’est pas une équation produit nul ( c’est une différence).
!
x+7
( )
2x"4
( )
=6
n’est pas une équation produit nul (à cause du 6).
Propriétés (admises) : Soient a et b deux nombres :
!
Si a = 0 ou b = 0 alors a "b = 0
Si a "b = 0 alors a = 0 ou b = 0
Autrement dit :
Dire qu’un produit est nul équivaut à dire que l’un au moins de ses facteurs est nul.
Exemple 1 : Résoudre l’équation
!
3x"9
( )
2x+7
( )
=0
Dire qu’un produit est nul équivaut à dire que l’un au moins de ses facteurs est nul
!
3x"9
( )
2x+7
( )
=0
équivaut à
!
3x"9=0 ou 2x+ 7 = 0
3x= 9 ou 2x= -7
x=9
3 ou x=-7 2
x=3 ou x= -3,5
L’équation admet deux solutions : 3 et -3,5
Exemple 2 : Résoudre l’équation
!
3x2x"1
( )
=0
Dire qu’un produit est nul équivaut à dire que l’un au moins de ses facteurs est nul
!
3x2x"1
( )
=0
équivaut à
!
3x=0 ou 2x"1=0
3x
3=0 3 ou 2x=1
x= 0 ou x=1
2
x=0 ou x=0,5
L’équation admet deux solutions : 0 et 0,5