Voyage au coeur de l`arithmétique

MPSI2 DM6 Math´ematiques Pour le vendredi 11 janvier
Voyage au coeur de l’arithm´etique
Notations
On appelle fonction arithm´etique toute fonction de N∗dans R. L’objectif du probl`eme est d’´etudier deux
fonctions arithm´etiques c´el`ebres : la fonction indicatrice d’Euler et la fonction µde M¨obius, puis d’´etudier une
op´eration sur les fonctions arithm´etiques : le produit de convolution.
Si aet bsont deux entiers, on note a∧ble plus grand commun diviseur de aet b. On notera bien que pour tout
a≥1, 0 ∧a=a.
En l’absence de pr´ecisions suppl´ementaires, lorsque que l’on parle de d´ecomposition de n∈N∗en facteurs premiers :
n=
r
Y
i=1
pαi
i
il sera implicite que pour tout i∈J1, rK, les αisont des entiers non nuls et les pides nombres premiers distincts.
On dit que n∈N∗a un facteur carr´e si et seulement s’il existe k∈N∗tel que k2divise n.
On rencontrera souvent le symbole X
d|n
, cela signifiera que la somme porte sur les entiers d≥1 qui divisent n.
A-L’indicatrice d’Euler
Soit n∈N∗, on d´efinit l’indicatrice d’Euler par :
ϕ(n) = Card{k∈J0, n −1K, k ∧n= 1}.
Autrement dit, ϕ(n) est le nombre d’entiers naturels premiers avec net inf´erieurs strictement `a n.
1. Calculer ϕ(n) pour 1 ≤n≤12, on pr´esentera les r´esultats sous forme de tableau et on d´etaillera le calcul
uniquement pour n= 12.
2. Montrer que pest premier si et seulement si ϕ(p) = p−1.
3. Soit ppremier et α∈N∗.
(a) Soit k∈N∗, montrer que ket pαne sont pas premiers entre eux si et seulement si pdivise k.
(b) D´enombrer les multiples de pcompris entre 0 et pα−1.
(c) En d´eduire ϕ(pα) = pα−pα−1.
4. Dans la suite de cette partie, on souhaite trouver une formule pour calculer ϕ(n) pour nquelconque sachant que
d’apr`es la question pr´ec´edente, on connaˆıt une expression de ϕ(pα) pour ppremier. Pour ce faire nous allons
d’abord d´emontrer que ϕest une fonction multiplicative, c’est-`a-dire que pour (m, n)∈(N∗)2, on a :
m∧n= 1 ⇒ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
On d´efinit pour tout n∈N∗, l’ensemble :
A(n) = {k∈J0, n −1K, k ∧n= 1}.
On se donne d´esormais (m, n)∈(N∗)2premiers entre eux et on d´efinit l’application :
f:A(mn)→ A(m)× A(n)
x7→ (r, s)
o`u rest le reste de la division euclidienne de xpar met sest le reste de la division euclidienne de xpar n.

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(a) Justifier que fest bien d´efinie.
(b) On veut montrer que fest injective, pour cela on suppose que f(x) = f(y) = (r, s) avec (x, y)∈ A(mn)2.
i. Ecrire les divisions euclidiennes de xpuis ypar met n.
ii. En d´eduire que mn divise x−y.
iii. D´emontrer que |x−y| ≤ mn −1.
iv. Justifier alors que fest injective.
(c) On veut montrer que fest surjective, pour cela on se donne (r, s)∈ A(m)× A(n).
i. Justifier l’existence de deux entiers relatifs uet vtels que um +vn = 1.
ii. V´erifier que a=sum +rvn satisfait : a=r[m] et a=s[n].
iii. En d´eduire que fest surjective.
(d) D´emontrer que ϕest multiplicative.
5. Soit n≥2 et r≥1, on suppose que la d´ecomposition de nen facteurs premiers s’´ecrit : n=
r
Y
i=1
pαi
i.
(a) D´emontrer que :
ϕ(n) = n
r
Y
i=1 1−1
pi.
(b) Calculer ϕ(105), ϕ(120) et ϕ(1000).
(c) D´emontrer que pour tout n≥3, ϕ(n) est pair.
6. Le but de cette question est de d´emontrer le th´eor`eme d’Euler qui s’´enonce ainsi : soit n≥2 et a∈Ntel que
a∧n= 1 alors :
aϕ(n)= 1 [n].
(a) Expliquer pourquoi le th´eor`eme d’Euler g´en´eralise le petit th´eor`eme de Fermat.
(b) Soit a∈J0, n −1K, on dit que aest inversible modulo nsi et seulement s’il existe b∈J0, n −1Ktel que
ab = 1 [n].D´emontrer que aest inversible modulo nsi et seulement si aest premier avec n.
(c) On note U(n) l’ensemble des ´el´ements inversibles modulo n. D´emontrer que U(n) muni de la multiplication
modulo nest un groupe. Quel est son cardinal ?
(d) En d´eduire le th´eor`eme d’Euler.
On reviendra `a la fonction ϕen fin de devoir en d´emontrant la formule :
X
d|n
ϕ(d) = n
mais pour cela il va nous falloir introduire dans les parties suivantes des outils plus sophistiqu´es.

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B-Fonctions multiplicatives
Soit fune fonction arithm´etique, on dit que fest multiplicative si f(1) 6= 0 et f(mn) = f(m)f(n) pour tout
(m, n)∈(N∗)2premiers entre eux. On d´efinit la fonction arithm´etique : e1qui vaut 1 si n= 1 et 0 sinon. On
pose ´egalement id la fonction arithm´etique d´efinie par id(n) = npour tout n∈N∗. Enfin, on note 1la fonction
arithm´etique constante ´egale `a 1.
1. D´emontrer que e1,id et 1sont multiplicatives. On notera que d’apr`es la question 4. de la partie A, la fonction
ϕest ´egalement multiplicative.
2. (a) Montrer que si f(1) = 1 et si pour tout n≥2 :
fr
Y
i=1
pαi
i=
r
Y
i=1
f(pαi
i) (∗)
o`u pα1
1...pαr
rest la d´ecomposition de nen facteurs premiers, alors fest multiplicative.
(b) R´eciproquement, montrer que si fest multiplicative alors f(1) = 1 et fv´erifie (∗).
C-La fonction de M¨obius
Nous allons `a pr´esent d´efinir et ´etudier une nouvelle fonction arithm´etique, la fonction µde M¨obius. Elle est
d´efinie par µ(1) = 1 et pour tout n≥2 :
µ(n) = 
−1 si nest sans facteur carr´e et a un nombre impair de facteurs premiers distincts
1 si nest sans facteur carr´e et a un nombre pair de facteurs premiers distincts
0 si na un facteur carr´e
1. Donner, en d´etaillant les calculs, les valeurs de µ(10), µ(20) et µ(210).
2. D´emontrer que µest multiplicative.
3. Soit n∈N∗, on consid`ere la d´ecomposition de nen facteurs premiers : n=
r
Y
i=1
pαi
i.
(a) Donner l’´ecriture g´en´erale d’un diviseur de nen fonction de l’´ecriture pr´ec´edente de nen produit de facteurs
premiers. A quelle condition un tel diviseur est-il sans facteur carr´e ?
(b) Combien y-a-t-il de fa¸cons de choisir jnombres premiers distincts parmi les (pi)1≤i≤ro`u j∈J0, rK?
(c) En d´eduire que pour tout n∈N∗,X
d|n
µ(d) = e1(n).
D-Produit de convolution de Dirichlet
Soient fet gdeux fonctions arithm´etiques. On pose f ? g que l’on appelle produit de convolution de fet g,
la fonction arithm´etique d´efinie pour tout n∈N∗par :
(f ? g)(n) = X
d|n
f(d)gn
d.
1. Dans cette question, on ´etudie les propri´et´es du produit de convolution.
(a) Montrer que le produit de convolution est commutatif.
(b) Montrer que e1est l’´el´ement neutre du produit de convolution.
(c) On consid`ere f,get hdes fonctions arithm´etiques.

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i. V´erifier que pour tout n∈N∗, on a :
(f ? (g ? h))(n) = X
d|n
f(d)X
δ|n
d
g(δ)hn
dδ .
ii. En effectuant le changement de variables d0=dδ, montrer que le produit de convolution est associatif.
(d) Pour toute fonction arithm´etique ftelle que f(1) 6= 0, on d´efinit de fa¸con r´ecursive la fonction arithm´etique
gpar g(1) = 1
f(1) et pour tout n≥2 :
g(n) = −1
f(1) X
d|n
d6=n
g(d)fn
d.
D´emontrer que f ? g =g ? f =e1.
2. Soient (m, n)∈(N∗)2deux entiers premiers entre eux.
(a) Montrer que tout diviseur positif dde mn peut s’´ecrire sous la forme d=ab avec aet bdeux entiers non
nuls premiers entre eux tels que a|met b|n.
(b) En d´eduire que si fet gsont deux fonctions arithm´etiques multiplicatives alors f ? g est multiplicative.
3. Montrer que µ ? 1=e1, on pourra, en justifiant cela, se contenter de v´erifier l’´egalit´e pour les puissances de
nombres premiers. Retrouver ainsi le r´esultat de la question 3.(c) de la partie C : X
d|n
µ(d) = 0, si n≥2 et vaut
1 si n= 1.
4. D´emontrer que ϕ=µ ? id, on pourra commencer par remarquer que ϕ(n) = X
1≤m≤n
m∧n=1
1 et utiliser l’identit´e
d´emontr´ee `a la question pr´ec´edente.
E-Formule d’inversion de M¨obius
1. Soit fune fonction arithm´etique, on d´efinit Fune nouvelle fonction arithm´etique par :
∀n∈N∗, F (n) = X
d|n
f(d).
D´emontrer que pour tout : n∈N∗, on a :
f(n) = X
d|n
µn
dF(d).
On utilisera de pr´ef´erence le produit de convolution et les r´esultats obtenus dans la partie pr´ec´edente pour
traduire puis d´emontrer les expressions propos´ees. Cette formule est connue sous le nom formule d’inversion
de M¨obius.
2. En d´eduire que pour tout n∈N∗, on a :
X
d|n
ϕ(n) = n.
V´erifier cette formule pour n= 12.