A B B A
A\B={xA;x /B}
N NN\ {0}
Z
Q Q+
QQ\ {0}
R R+
P
pZ(p)
p
x x [x]
k k x < k + 1
Q[X]X
R[X]X
nRn[X]R[X]
n
E F R
P(E, F ) = {PR[X] ; P(E)F},
R[X]
E F
CAPES 2002
Epreuve 2
P(Q,Q),P(R,R+),P(Q,Q+).
P(Q,Q)
m i j 0m
δi,j δi,j = 0 i6=j δi,i = 1
q0, q1, . . . , qmm+ 1
j= 0,1, . . . , m LjRm[X]
Lj(qi) = δi,j i= 0,1, . . . , m
(Lj)0jm
Rm[X]
PRm[X]P
(Lj)0jm(P(qj))0jm
P(Q,Q)Q[X]
P(R,R+)
(a, b, c, d)R4,(x, y)R2(a2+b2)(c2+d2) = x2+y2.
x y a, b, c, d t z
t2+z2
A
RA
S={zA| ∃xA, yA, z =x2+y2}
S0 1
PP(R,R+)
P
(Xa)α(X2+bX +c)βa, b, c α β
X2+bX +cR[X]
P
α
P
R[X]
P(R,R+)
P(Q,Q+)
P(Q,Q+)P(R,R+)
2X2+4
R[X]
a, b, c, d
2X2+ 4 = (aX +b)2+ (cX +d)2
Ãa
2
b
2
c
2
d
2!
a, b, c, d Q
2X2+ 4
Q[X]
P(Z,Z)
nΓn
Γ0(X) = 1 et,pour n > 0,Γn(X) = X(X1)...(Xn+ 1)
n!.
nΓnP(Z,Z)
kZ0k < n k n k < 0
mn)0nm
Rm[X]
PRm[X]
P=X
0nm
dnΓnavec d0, d1, . . . , dmR.
(P(n))0nm
(dn)0nm
P∈ P(Z,Z)
d0, d1, . . . , dmZ
P(0), P (1), . . . , P (m)Z
m+ 1 P
m= 5
P(X) = X515X4+ 85X3225X2+ 274X120
(dn)0n5P=P5
n=0 dnΓnP
Q
m > 0
P=Pm
n=0(1)nΓn
P
QPΓm
P(E, Z(p))
p
x
k x pka
ba b
p
k vp(x)vp(0) = +
vpQ Z{+∞}
k+ (+) = (+) + k= +k+kZ∪ {+∞}
vp
x, y Qvp(xy) = vp(x) + vp(y)
x, y Qvp(x+y)min{vp(x), vp(y)}
vp(1) vp(1) (x, y)Q×Q
vp³x
y´vp(x)vp(y)
Z(p)={xQ|vp(x)0}Z(p)
Q Z(p)vp
(k, n)N×N
{jN|1jn, vp(j) = k}hn
pkihn
pk+1 i
nN, vp(n!) = X
k>0·n
pk¸.
EZ
Z=lPZ(l)
P(E, Z) = lPP(E, Z(l)).
(un)nNE p
E
nNvpÃn1
Y
k=0
(unuk)!= min
xEvpÃn1
Y
k=0
(xuk)!.
p= 3
E={1}∪{3k|kN}(un)nNE u0= 0
u1u2
E=Z(n)nNp
a E
(un)nNp E u0=a
(un)nNp
E(Pn)nN
P0(X) = 1 et,pour n1, Pn(X) =
n1
Y
k=0
Xuk
unuk
.
PnP(E, Z(p))
m(Pn)0nm
Rm[X]
Pn(uk)nN0kn
m P
Rm[X]
P(X) =
m
X
n=0
cnPn(X) avec c0, c1, . . . , cmR.
P∈ P(E, Z(p))
c0, c1, . . . , cmZ(p)
P(u0), P (u1), . . . , P (um)Z(p)
ω(0) = 0 nNω(n)
vp³Qn1
k=0 (unuk)´PP(E, Z(p))
pω(m)PZ(p)P(E, Z(p))
Q[X]
P(N\pN,Z(p))
p
pNpN\pN
p n
ϕp(n) = n+1+·n
p1¸et ωp(n) = X
k0·n
(p1)pk¸.
p1
·ϕp(n)
p¸=·n
p1¸et ϕp(n)N\pN.
ϕpN N \pN
n vp(ϕp(n)!) = ωp(n)
xRa b N£x
ab ¤=·[x
a]
b¸.)
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