cours 2006

Universit´e de la M´editerran´ee
Facult´e des Sciences de Luminy
Licence Semestre 5, ann´ee 2006-2007
Anne Pichon
PROGRAMME DU COURS DE TOPOLOGIE
1. Espaces topologiques : les notions de base
•Topologie sur un ensemble, ouverts. Topologie grossi`ere, discr`ete, topolo-
gie induite.
•Un cas particulier : les espaces m´etriques. Exemples, espaces vectoriels
norm´es, espaces euclidiens. Boules ouvertes, boules ferm´ees, partie
born´ee, diam`etre. Comparaison de distances.
•Base d’une topologie. Exemple : les boules ouvertes dans un m´etrique
2. Notions usuelles dans les espaces topologiques
•Voisinage, espace s´epar´e, ferm´e, point adh´erent, adh´erence, int´erieur,
fronti`ere.
•Applications continues, ouvertes, ferm´ees, hom´eomorphismes.
•Suites dans les espaces topologiques : valeur d’adh´erence, convergence
3. Construction de topologies
•Topologie produit
•Topologie quotient
4. Applications lin´eaires continues
5. Espaces compacts
•D´efinition par la propri´et´e de Borel-Lebesgue
•Th´eor`eme de Heine : les compacts de Rn
•Compact dans un m´etrique : caract´erisation pas les suites. Compacit´e
et uniforme continuit´e.
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•Compacit´e et hom´eomorphisme.
•Espace localement compact ; Compactifi´e d’Alexandroff.
6. Connexit´e
•Connexit´e, connexit´e par arcs
•Composantes connexes
7. Espaces m´etriques complets
•Suites de Cauchy, espaces complets
•Applications contractantes
•Th´eor`eme du point fixe
Bibliographie
Il existe de nombreux ouvrages pr´esentant des cours de topologie de grande
qualit´e et/ou des collections d’exercices. En voici une petite liste, loin d’ˆetre
exhaustive.
- E. Burroni et J. Penon, La g´eom´etrie du caoutchouc, Ellipses, 2000.
- G. Christol, A. Cot et C. Marles, Topologie, Ellipses, 1997.
- G. Skandalis, Topologie et analyse 3`eme ann´ee, Dunod, 2004.
- J. Dieudonn´e, ´ El´ements d’analyse, tome I et premier chapitre du tome II,
Gauthier-Villars, Paris, 1968.
- J. Dixmier, Topologie g´en´erale, Presses Universitaires de France, 1981
- L. Schwartz, Analyse, tome I, Hermann, Paris, 1993.
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Information int´eressante...
Tout examen concernant ce cours, qu’il soit ´ecrit ou oral, comprendra une
question de cours, tir´ee de la liste suivante.
1. Adh´erence, int´erieur, fronti`ere : d´efinitions et exemples
2. Adh´erence dans un espace m´etrique : caract´erisation en termes de
suites (avec d´emonstration).
3. Les normes usuelles sur C([0,1],R) et leurs propri´et´es
4. Espaces compacts : d´efinition, exemples, th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass
(´enonc´e, sans d´emonstration)
5. Le th´eor`eme de Heine : ´enonc´e et d´emonstration
6. Image d’un compact par une application continue : ´enonc´e, d´emonstration,
cons´equences.
7. Espaces compacts et continuit´e uniforme : d´efinitions, ´enonc´es, exem-
ples
8. Espaces m´etriques complets : d´efinition, propri´et´es, exemples
9. Le th´eor`eme du point fixe : ´enonc´e, d´emonstration et exemples d’utilisation.
10. Norme d’une application lin´eaire continue ; d´efinition, exemples.
11. Espaces connexes, composantes connexes : d´efinitions, propri´et´es, ex-
emples
12. Espaces connexes, connexes par arcs : d´efinitions, exemples.
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1 Espaces topologiques
1.1 Espaces topologiques
D´efinition 1.1 Soit Eun ensemble et soit Tun ensemble de parties de E.
On dit que Test une topologie sur Esi
(T1) ∅et Eappartiennent `a T
(T2) Toute r´eunion d’´el´ements de Tappartient `a T
(T3) Toute intersection finie d’´el´ements de Tappartient `a T
On dit alors que le couple (E, T)est un espace topologique. Un ´el´ement de
Ts’appelle un ouvert de la topologie.
Exemples.
•Si Eest un ensemble quelconque, on peut le munir de :
–la topologie grossi`ere T={∅, E}
–la topologie discr`ete T=P(E), l’ensemble des parties de E.
•Si (E, T) est un espace topologique et si Fest un sous-ensemble de E,
alors on peut d´efinir sur Fla topologie induite par T: ses ouverts sont
les intersections de Favec les ouverts de T. On dit alors que Fest un
sous-espace topologique de E.
1.2 Un exemple fondamental : les espaces m´etriques
D´efinition 1.2 Soit Eun ensemble. Une distance sur Eest une application
d:E×E−→ R+v´erifiant
(d1) ∀x, y ∈E, d(x, y) = d(y, x)(dest sym´etrique)
(d2) ∀x, y ∈E, d(x, y) = 0 ssi x=y
(d3) ∀x, y, z ∈E, d(x, y)≤d(x, z) + d(z, y)(in´egalit´e triangulaire)
On dit alors que (E, d)est un espace m´etrique
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Exemples.
•Rou Cmuni de la valeur absolue ou du module (x, y)7→ | x−y|
•Rnmuni de la distance euclidienne d2, de d1, de d∞
•Un espace vectoriel norm´e (e.v.n.) est un couple (E, N) o`u Eest un
espace vectoriel sur Rou Cet o`u Nest une norme sur Ei.e. une
application N:E−→ R+v´erifiant :
(N1) ∀x∈E, N(x) = 0 ssi x= 0
(N2) ∀x∈E, ∀λ∈R, N(λx) = |λ|N(x) (homog´en´eit´e)
(N3) ∀x, y ∈E, N(x+y)≤N(x) + N(y) (in´egalit´e triangulaire)
Un e.v.n. (E, N) est en particulier un espace m´etrique muni de la
distance d(x, y) = N(x−y)
D´efinition 1.3 Pour a∈Eet r∈R∗+, on d´efinit la boule ouverte de centre
aet de rayon rpar B(a, r) = {x∈E, d(a, x)< r}.
L’ensemble Bf(a, r) = {x∈E, d(a, x)≤r}s’appelle la boule ferm´ee de
centre aet de rayon r, et S(a, r) = {x∈E, d(a, x) = r}la sph`ere de centre
aet de rayon r.
Un sous-ensemble d’un espace m´etrique est dit born´e s’il est contenu dans
une boule.
Proposition 1.4 Si (E, d)est un espace m´etrique, alors on d´efinit une topolo-
gie Tdsur Epar : Uest un ouvert de Tdsi et seulement si pour tout point x
de U, il existe une boule ouverte centr´ee en xcontenue dans U.
D´efinition 1.5 On dit que Tdest la topologie associ´ee `a la m´etrique d.
D´efinition 1.6 Soit (E, T)un espace topologique. Une partie Bde Test
une base de la topologie Tsi tout ´el´ement de Test r´eunion d’´el´ements de B.
Proposition 1.7 Dans un espace m´etrique (E, d), les boules ouvertes for-
ment une base pour la topologie Td.
D´efinition 1.8 Un espace topologique (E, T)est dit m´etrisable s’il existe
une distance dsur Etelle que T=Td.
D´efinition 1.9 Un espace topologique (E, T)est dit s´epar´e si pour tout cou-
ple de points distincts x, y de E, il existe un ouvert Oxcontenant xet un
ouvert Oycontenant ytels que Ox∩Oy=∅.
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