Chapitre 4. Les nombres complexes (1)

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Chapitre 4. Les nombres complexes (1)
Historique des nombres complexes
On dispose de 4 ensembles de nombres : N, Z, Q et R.
Ces ensembles résultent en dehors de N, d’extensions successives de la notion de nombres. Chaque
extension rend possible certaines opérations qui ne l’étaient pas dans l’ensemble lui étant inclus.
L’équation x + 1 = 0 n’a pas de solution entière ( N ) mais relatives (dans Z )
L’équation 3x + 2 = 0 n’a pas de solution dans Z mais rationnelle (dans Q )
L’équation x² – 2 = 0 n’a pas de solution rationnelle mais réelles (dans R )
De la même manière, l’équation x² + 1 = 0 n’a pas de solution réelle.
Supposons qu’on puisse écrire x = 1 ou x = 1 . Ce nombre 1 est un nombre imaginaire
dont le carré vaut – 1. Cette supposition est faite par le mathématicien BOMBELLI ( XVIème
siècle).
Résoudre alors x² + 2x +2 = 0
Mais un problème se pose rapidement : par définition ,
11 2 .
Or d’après les règles de calculs sur les réels,
1)1()1(111 2 et 1  – 1.
Ces règles ne sont donc valables que pour les positifs.
C’est en 1777 qu’Euler proposa donc de remplacer le nombre imaginaire
1 par i.
On a alors i² = – 1.
Les nombres complexes sont créés.
I. Ensemble des nombres complexes
Nous admettrons que l’on peut construire un sur-ensemble de R, noté , dont les éléments
sont appelés nombres complexes et qui vérifie :
  est muni de l’addition et de la multiplication qui suivent les même règles de calcul que
dans R
  contient un élément noté i tel que i² = – 1.
Définition 1 : Forme algébrique
L’écriture z = a + ib est appelé forme algébrique de z.
Le réel a s’appelle la partie réelle de z, on écrit a = Re(z)
Le réel b s’appelle la partie imaginaire de z, on écrit b = Im(z)
Définition 2 :
1. Dire qu’un nombre complexe z est réel équivaut à dire que Im(z) = 0
2. Dire qu’un nombre complexe z est imaginaire pur équivaut à dire que Re(z) = 0

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II. Opérations dans 
Théorème 1 : Addition et multiplication
Soit z = a + ib et z’ = a’ + ib’ deux nombres complexes.
1. z + z’ = a +a’ + i(b + b’)
2. zz’ = aa’ – bb’ + i (ab’ + a’b)
Remarque : Re(z + z’) = Re(z) + Re(z’)
Im (z + z’) = Im (z ) + Im (z’)
Théorème 2 : Opposé et inverse d’un complexe
Soit z = a + ib un nombre complexe.
1. L’opposé de z est – z = – a – ib
2. L’inverse de z , z  0, est 1
²²
aib
zab
Démonstration : 1. Soit z’ l’opposé de z. Alors z + z’ = 0 donc z’ = – z = – a – ib
2. Soit un complexe non nul. L’inverse de z est donc 11
izab
. En utilisant
l’analogie avec les racines carrées, on écrit 11 i
i(i)(i)
ab
zab abab
=²²
aib
ab
Définition 3 : Conjugué d’un nombre complexe
Soit z = a + ib un nombre complexe. On appelle nombre complexe conjugué le nombre
complexe noté z, z= a – ib.
Théorème 3 :
Soit z = a + ib un nombre complexe.
1. zz = a² + b²
2. z + z = 2a.
3. z – z = 2ib.
Théorème 4 : Egalité de deux nombres complexes
Soit a, b, a’, b’ sont des réels. z = a + ib et z’ = a’ + ib’ deux nombres complexes.
1. z = 0  a = b = 0
2. z = z’  a = a’ et b = b’.

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Démonstration : 1. Si a = b = 0 alors z = 0 + i0 = 0.
Réciproquement, pour tout complexe z, zz= a² + b² . Or comme z = 0, a² + b² = 0.
La somme de deux réels positifs est nulle lorsque ces deux réels sont nuls.
Donc a = b = 0.
2. Pour tout complexe z et z’, z – z’ = a – a + i(b – b’).
z = z’  z – z’ = 0  '0 '
'0 '
aa aa
bb bb
Théorème 5 : Règles de calculs
R1. z est réel  z = z.
z est imaginaire pur  z= – z.
R2. Soit z et z’ deux complexes,
''zz zz.
''zz zz.
Pour z  0, z
1
z
1
.
R4. Soit n un entier naturel,
n
n
zz.
III. Equation du second degré à coefficients réels
Théorème 6
On considère l’équation 0 , dont l’inconnue z est un nombre complexe et les
coefficients a, b et c sont des réels, avec 0. On note Δ le réel 4 , appelé le discriminant.
 Si ∆ 0 , alors l’équation admet 2 solutions réelles :
  √∆
2
  √∆
2
 Si ∆ 0 , alors l’équation admet une solution réelle :
2
 Si ∆ 0 , alors l’équation admet 2 solutions complexes :
  √∆
2
  √∆
2

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IV. Représentation géométrique
Définition 4 : Affixe d’un point
Soit ; ;un repère orthonormé direct du plan,
et M le point de coordonnées (a ;b) dans ;
;.
On dit que M est l’image du nombre complexe a + ib.
Le nombre complexe zM = a + ib est l’affixe du point M(a; b).
Cas particuliers :
L’image de tout complexe de la forme a + 0i, a  0, appartient à l’axe des abscisses nommé
axe réel.
L’image de tout complexe de la forme 0 + ib, b  0, appartient à l’axe des ordonnées nommé
axe imaginaire.
On a vu que si z = a + ib un nombre complexe.
On appelle nombre complexe conjugué le nombre
complexe noté z, z= a – ib.
Les images de z et de z, M et M’ dans le repère
; ;sont symétriques par rapport à l’axe des
abscisses.
Théorème 7 : Pour tout point ,
 d’affixe   et ,
d’affixe 
 zB et soit I le milieu de [AB] dans ;
; repère orthonormé direct :
 l’affixe du vecteur 
est :
 le milieu I du segment [AB] a pour affixe :
a
b M (a + ib)
o
M
M'
(a + ib )
(a – ib )
a
b
–
b

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V. Module d’un nombre complexe
Définition 5: Module d’un nombre complexe
Soit z un nombre complexe quelconque et M le point image de z dans le repère ;
;.
On appelle module de z la distance OM. On note :
||
.
z est donc toujours positif.
Conséquence :
Soit z un nombre complexe tel que z = a + ib comme le repère ;
; est orthonormé
direct :
||
|
|
Théorème 8 : Propriétés des modules
Soit z et z’ deux nombres complexes
||̅
||||
|′
||||′|
Démonstration :
 et ′  ′  ′ alors 
′
Alors |′|′
′′′′
|||′|′′
Ainsi on a bien |′
||||′|
Si de plus z’ est non nul
′||
|′|
Et n entier naturel ||||
a
b M (z )