Chapitre 4. Les nombres complexes (1)

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Chapitre 4. Les nombres complexes (1)
Historique des nombres complexes
On dispose de 4 ensembles de nombres : N, Z, Q et R.
Ces ensembles résultent en dehors de N, d’extensions successives de la notion de nombres. Chaque
extension rend possible certaines opérations qui ne l’étaient pas dans l’ensemble lui étant inclus.
L’équation x + 1 = 0 n’a pas de solution entière ( N ) mais relatives (dans Z )
L’équation 3x + 2 = 0 n’a pas de solution dans Z mais rationnelle (dans Q )
L’équation x² – 2 = 0 n’a pas de solution rationnelle mais réelles (dans R )
De la même manière, l’équation x² + 1 = 0 n’a pas de solution réelle.
Supposons qu’on puisse écrire x =  1 ou x =   1 . Ce nombre  1 est un nombre imaginaire
dont le carré vaut – 1. Cette supposition est faite par le mathématicien BOMBELLI ( XVIème
siècle).
Résoudre alors x² + 2x +2 = 0
Mais un problème se pose rapidement : par définition ,


  1
2
 1 .
2
Or d’après les règles de calculs sur les réels,  1   1   1  ( 1)  ( 1)  1 et 1  – 1.
Ces règles ne sont donc valables que pour les positifs.
 1 par i.
C’est en 1777 qu’Euler proposa donc de remplacer le nombre imaginaire
On a alors i² = – 1.
Les nombres complexes sont créés.
 
I.
Ensemble des nombres complexes
Nous admettrons que l’on peut construire un sur-ensemble de R, noté , dont les éléments
sont appelés nombres complexes et qui vérifie :
est muni de l’addition et de la multiplication qui suivent les même règles de calcul que

dans R
contient un élément noté i tel que i² = – 1.

Définition 1 : Forme algébrique
L’écriture z = a + ib est appelé forme algébrique de z.
Le réel a s’appelle la partie réelle de z, on écrit a = Re(z)
Le réel b s’appelle la partie imaginaire de z, on écrit b = Im(z)
Définition 2 :
1. Dire qu’un nombre complexe z est réel équivaut à dire que Im(z) = 0
2. Dire qu’un nombre complexe z est imaginaire pur équivaut à dire que Re(z) = 0
4. Les nombres complexes (1)
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II.
Opérations dans
Théorème 1 : Addition et multiplication
Soit z = a + ib et z’ = a’ + ib’ deux nombres complexes.
1. z + z’ = a +a’ + i(b + b’)
2. zz’ = aa’ – bb’ + i (ab’ + a’b)
Remarque : Re(z + z’) = Re(z) + Re(z’)
Im (z + z’) = Im (z ) + Im (z’)
Théorème 2 : Opposé et inverse d’un complexe
Soit z = a + ib un nombre complexe.
1. L’opposé de z est – z = – a – ib
1 a  ib
2. L’inverse de z , z  0, est 
z a ²  b²
Démonstration : 1. Soit z’ l’opposé de z. Alors z + z’ = 0 donc z’ = – z = – a – ib
1 1

. En utilisant
z a ib
a  ib
1
1
a  ib
=
l’analogie avec les racines carrées, on écrit 

z a  ib (a  ib)(a ib) a ²  b ²
2. Soit un complexe non nul. L’inverse de z est donc
Définition 3 : Conjugué d’un nombre complexe
Soit z = a + ib un nombre complexe. On appelle nombre complexe conjugué le nombre
complexe noté z , z = a – ib.
Théorème 3 :
Soit z = a + ib un nombre complexe.
1. z z = a² + b²
2. z + z = 2a.
3. z – z = 2ib.
Théorème 4 : Egalité de deux nombres complexes
Soit a, b, a’, b’ sont des réels. z = a + ib et z’ = a’ + ib’ deux nombres complexes.
1. z = 0  a = b = 0
2. z = z’  a = a’ et b = b’.
4. Les nombres complexes (1)
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Démonstration : 1. Si a = b = 0 alors z = 0 + i0 = 0.
Réciproquement, pour tout complexe z, z z = a² + b² . Or comme z = 0, a² + b² = 0.
La somme de deux réels positifs est nulle lorsque ces deux réels sont nuls.
Donc a = b = 0.
2. Pour tout complexe z et z’, z – z’ = a – a + i(b – b’).
 a  a ' 0  a  a '


 b  b '  0  b b '
z = z’  z – z’ = 0  
Théorème 5 : Règles de calculs
R1. z est réel  z = z .
z est imaginaire pur  z = – z.
R2. Soit z et z’ deux complexes,
z  z' z  z'.
z z'  z z'.
1 1
Pour z  0,    .
z z
R4. Soit n un entier naturel, z n   z  .
n
III.
Equation du second degré à coefficients réels
Théorème 6
On considère l’équation
0 , dont l’inconnue z est un nombre complexe et les
0. On note Δ le réel
4 , appelé le discriminant.
coefficients a, b et c sont des réels, avec
 Si ∆ 0 , alors l’équation admet 2 solutions réelles :
√∆
2
√∆
2

Si
∆
0 , alors l’équation admet une solution réelle :
2

Si
∆
0 , alors l’équation admet 2 solutions complexes :
√ ∆
2
2
4. Les nombres complexes (1)
√ ∆
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IV.
Représentation géométrique
Définition 4 : Affixe d’un point
M (a + ib)
b
Soit
; ; un repère orthonormé direct du plan,
et M le point de coordonnées (a ;b) dans ; ; .
On dit que M est l’image du nombre complexe a + ib.
Le nombre complexe zM = a + ib est l’affixe du point M(a; b).
a
Cas particuliers :
L’image de tout complexe de la forme a + 0i, a  0, appartient à l’axe des abscisses nommé
axe réel.
L’image de tout complexe de la forme 0 + ib, b  0, appartient à l’axe des ordonnées nommé
axe imaginaire.
On a vu que si z = a + ib un nombre complexe.
On appelle nombre complexe conjugué le nombre
complexe noté z , z = a – ib.
Les images de z et de z , M et M’ dans le repère
; ; sont symétriques par rapport à l’axe des
a
o
–b
abscisses.
Théorème 7 : Pour tout point
d’affixe
M (a + ib )
b
,
d’affixe
zB et soit I le milieu de [AB] dans

l’affixe du vecteur

le milieu I du segment [AB] a pour affixe :
4. Les nombres complexes (1)
M'(a – ib )
et ; ;
,
repère orthonormé direct :
est :
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V.
Module d’un nombre complexe
Définition 5: Module d’un nombre complexe
Soit z un nombre complexe quelconque et M le point image de z dans le repère
On appelle module de z la distance OM. On note :
| |
.
z est donc toujours positif.
; ;
.
M (z )
b
a
Conséquence :
Soit z un nombre complexe tel que z = a + ib comme le repère
; ;
est orthonormé
direct :
| |
|
|
Théorème 8 : Propriétés des modules
Soit z et z’ deux nombres complexes
| |
|
|
Démonstration :
et ′
Alors | ′|
′
′|
̅
|
| |
| |
| ′|
′ alors
| |
′
| ′|
′
′
′
′
′
′
′
Ainsi on a bien
|
′|
| |
Si de plus z’ est non nul
Et n entier naturel
4. Les nombres complexes (1)
| |
| ′|
′
|
| ′|
|
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