Feuille d`exercices no 11 : Matrices

Feuille d’exercices no 11 : Matrices
2013 – 2014
Calculs de produits
Exercice 1 — Calculer le produit AB dans chacun des cas suivants




!
0
0
 1
 1
2 4 −1
2 4


−1

3
3 , B =
a) A =
, B = 
b) A = −1


3 2
1
3 2


1 −1
1 −1
 
 1
 
Exercice 2 — Soient L = −3 4 1 et C =  2. Calculer LC et CL.
 
−8

4

c) A = 2

3


1
1
 2

1 −2 , B =  1


1
1
−3

2 2

−1 1

3 1

2

4. Déterminer toutes les matrices B telles que BA = I2 .

1

 1

Exercice 3 — On considère la matrice A =  3

−1

1

Exercice 4 — On considère la matrice A = 0

0
!
−1
1
0
1
0

3

1. Déterminer toutes les matrices de M3 (R) qui commutent avec A.

2

−2

Exercice 5 — 1. Déterminer toutes les matrices M ∈ M3 (R) qui commutent avec A =  0

0
2. Soit D une matrice diagonale de taille n, telle que d1,1 = 1, d2,2 = 2, . . ., dn,n = n.
Déterminer toutes les matrices de Mn (R) qui commutent avec D.

1 0

Exercice 6 — Pour tout t ∈ R, on définit la matrice Mt =  t 1

0 0
1. Soient s, t ∈ R. Calculer le produit Ms Mt . Calculer (Mt )n .
2. Soit t ∈ R. Montrer que Mt est inversible et calculer (Mt )−1 .
0
3
0

0

0

5

−t 

−t 2 /2.

1
Autour du calcul de la puissance ne d’une matrice carrée


0 0
 1


Exercice 7 Calcul de puissance par récurrence. — On considère la matrice A =  6 −5 6


3 −3 4


0
0 
 1

 2a 1 − 2a
n
2an 
1. Montrer que, pour tout n ∈ N, il existe an ∈ R tel que A =  n
n


an
−an
an + 1
2. Montrer que la suite (an )n∈N est arithmético géométrique. En déduire une expression de an puis de An en fonction de n.
!
!
1 −1
5 −4
.
Exercice 8 Calcul de puissance par la formule du binôme (I). — On considère les matrices A =
et B =
4 −3
1 −1
1. Trouver α, β ∈ R tels que A = αB + βI2 .
2. Soit n ∈ N∗ . Calculer An .


3 1 0
0 3 1
Exercice 9 Calcul de puissance par la formule du binôme (II). — On considère la matrice A = 
.


0
0
3
n
∗
En utilisant la formule du binôme, calculer A , pour n ∈ N .


 1 1 1
 1 0 0
Exercice 10 Puissances et polynôme annulateur. — On considère la matrice M = 
.


1 0 0
3
2
1. Déterminer deux réels α et β tels que M = αM + βM.
2. Montrer qu’il existe deux suites réelles (an )n∈N et (bn )n∈N telles que : ∀n ∈ N, M n = an M 2 + bn M.
On précisera les relations de récurrences vérifiées par les suites (an )n∈N et (bn )n∈N .
3. Montrer que (an )n∈N est une suite récurrente d’ordre deux puis calculer an en fonction de n pour tout n ∈ N.
4. En déduire, pour tout entier naturel n, une expression de M n en fonction de n et des matrices M et M 2 .

 0

Exercice 11 — Soit m ∈ C∗ . On pose A =  1/m

1/m2
m
0
1/m

m2 

m .

0
1
1. a) Calculer (A + I)(A − 2I).
b) En déduire que A est inversible et calculer A−1 .
2. On pose B = 31 (A + I) et C = − 13 (A − 2I).
a) Calculer Bn et C n pour tout n ∈ N∗ .
b) Vérifier que A = 2B − C. En déduire, pour tout entier naturel non nul n, une expression de An en fonction de B, C et n.
c) Vérifier que la formule précédente est encore vraie pour n = −1 puis pour tout entier relatif n < 0.
Autour du calcul de l’inverse d’une matrice carrée
Exercice 12 — 1. Montrer que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leurs inverses







1
1 0
 1
!
−1
0
2
1
−1
0






 1 −1




−1
1 2
1
0
1


0 1 ,
2 1 ,
1
A=
,
B =  0
C = 1
D = 
 et E = −2


3 4
0
1 1

−1




0 −1 1
1
1 0
2
2
0 −1 −1 1




1 −1 2 −2
3 −2 0
0
0 1 −1


1 0 et N = 
2. Montrer que les matrices M = 0
 ne sont pas inversibles.

0

1 −1 1


1
0 0
1 −1 1
0




1 1 1 1 
1 0 2 
1 α 1 1 




3. Pour quelles valeurs de α, β et γ les matrices M = 0 1 3  et N = 
 sont-elles inversibles ?

1 1 β 1 



2 3 α
1 1 1 γ
Déterminer alors leur inverse.


0
 0 1


0.
Exercice 13 Inverse et polynôme annulateur (I). — On considère la matrice A = −1 2


1 0 −1
1. Montrer que A3 − A2 − A + I = 0. En déduire que A est inversible et calculer A−1 .
2. Montrer que A2 est inversible et calculer (A2 )−1 .

−1

3 .

1
Exercice 14 Inverse et polynôme annulateur (II). — Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et A ∈ Mn (R).
p−1
P k
1. Montrer : ∀p ∈ N, Ap − I = (A − I)
A .
k=0
2. On suppose qu’il existe p ∈ N∗ tel que Ap = 0 et Ap−1 , 0.
a) Montrer que A n’est pas inversible.
b) En utilisant la question 1, montrer que I − A est inversible et exprimer son inverse en fonction de A.
Applications des matrices
Exercice 15 — On considère la suite (un )n∈N définie par u0 = 2, u1 = 1, u2 = −1 et, pour tout n ∈ N, un+3 = 2un+2 +un+1 −2un .




1 4
1
un+2 
1 −1 2
u 
On considère la matrice P = 
 et on pose par ailleurs, pour tout n ∈ N, Un =  n+1 .




1
1 1
un
1. Déterminer une matrice A ∈ M3 (R) telle que : ∀n ∈ N, Un+1 = AUn . Expliciter Un en fonction de An et de U0 .
2. a) Montrer que P est inversible et calculer P −1 puis D = P −1 AP . En déduire l’expression de D n pour tout n ∈ N.
b) Pour tout n ∈ N, exprimer An en fonction des matrices P , P −1 et D n .
c) En utilisant le résultat de la question 1 en déduire l’expression de un en fonction de n.
Exercice 16 — Un feu bicolore, lorsqu’il est rouge, passe au vert à l’instant suivant avec la probabilité p (p ∈ ]0 , 1[) et,
lorsqu’il est vert, passe au rouge avec la probabilité q (q ∈ ]0 , 1[). Pour tout n ∈ N, on note rn la probabilité que ce feu soit
rouge à l’instant n et vn la probabilité qu’il soit vert à ce même instant.
1. Etablir une relation de récurrence entre rn+1 , vn+1 et rn , vn .
!
!
!
!
r
r
r
r
2. En déduire l’existence d’une matrice A telle que : ∀n ∈ N, n+1 = A n , puis montrer : ∀n ∈ N, n = An 0 .
vn+1
vn
vn
v0
3. a) Déterminer deux matrices B et C telles que B + C = I et B + (1 − p − q)C = A.
b) Calculer les produits BC, CB, B2 et C 2 .
c) En déduire, pour tout n ∈ N, l’expression de An .
4. Pour tout n ∈ N, calculer les valeurs de rn et vn en fonction de n, r0 et v0 puis déterminer leurs limites éventuelles.
2