Feuille d`exercices no 11 : Matrices

Feuille d’exercices no11 : Matrices 2013 – 2014
Calculs de produits
Exercice 1 — Calculer le produit AB dans chacun des cas suivants
a) A= 2 4 −1
3 2 1!, B =
1 0
−1 3
1−1
b) A=
1 0
−1 3
1−1
, B = 2 4 −1
3 2 1!c) A=
4 1 1
2 1 −2
3 1 1
, B =
2 2 2
1−1 1
−3 3 1
Exercice 2 — Soient L=−341et C=
1
2
−8
. Calculer LC et CL.
Exercice 3 — On considère la matrice A=
1 2
3 4
−1 1
. Déterminer toutes les matrices Btelles que BA =I2.
Exercice 4 — On considère la matrice A=
103
011
002
. Déterminer toutes les matrices de M3(R) qui commutent avec A.
Exercice 5 — 1. Déterminer toutes les matrices M∈ M3(R) qui commutent avec A=
−200
030
005
2. Soit Dune matrice diagonale de taille n, telle que d1,1= 1, d2,2= 2, . . ., dn,n =n.
Déterminer toutes les matrices de Mn(R) qui commutent avec D.
Exercice 6 — Pour tout t∈R, on définit la matrice Mt=
1 0 −t
t1−t2/2
0 0 1 
.
1. Soient s, t ∈R. Calculer le produit MsMt. Calculer (Mt)n.
2. Soit t∈R. Montrer que Mtest inversible et calculer (Mt)−1.
Autour du calcul de la puissance ned’une matrice carrée
Exercice 7 Calcul de puissance par récurrence. —On considère la matrice A=
1 0 0
6−5 6
3−3 4
1. Montrer que, pour tout n∈N, il existe an∈Rtel que An=
1 0 0
2an1−2an2an
an−anan+ 1
2. Montrer que la suite (an)n∈Nest arithmético géométrique. En déduire une expression de anpuis de Anen fonction de n.
Exercice 8 Calcul de puissance par la formule du binôme (I). —On considère les matrices A= 5−4
4−3!et B= 1−1 1−1!.
1. Trouver α, β ∈Rtels que A=αB +βI2.
2. Soit n∈N∗. Calculer An.
Exercice 9 Calcul de puissance par la formule du binôme (II). —On considère la matrice A=
310
031
003
.
En utilisant la formule du binôme, calculer An, pour n∈N∗.
Exercice 10 Puissances et polynôme annulateur. —On considère la matrice M=
1 1 1
100
100
.
1. Déterminer deux réels αet βtels que M3=αM2+βM.
2. Montrer qu’il existe deux suites réelles (an)n∈Net (bn)n∈Ntelles que : ∀n∈N, Mn=anM2+bnM.
On précisera les relations de récurrences vérifiées par les suites (an)n∈Net (bn)n∈N.
3. Montrer que (an)n∈Nest une suite récurrente d’ordre deux puis calculer anen fonction de npour tout n∈N.
4. En déduire, pour tout entier naturel n, une expression de Mnen fonction de net des matrices Met M2.
Exercice 11 — Soit m∈C∗. On pose A=
0m m2
1/m 0m
1/m21/m 0
.
1

1. a) Calculer (A+I)(A−2I).
b) En déduire que Aest inversible et calculer A−1.
2. On pose B=1
3(A+I) et C=−1 3(A−2I).
a) Calculer Bnet Cnpour tout n∈N∗.
b) Vérifier que A = 2 B−C . En déduire, pour tout entier naturel non nul n , une expression de An en fonction de B , C et n .
c) Vérifier que la formule précédente est encore vraie pour n=−1 puis pour tout entier relatif n < 0.
Autour du calcul de l’inverse d’une matrice carrée
Exercice 12 — 1. Montrer que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leurs inverses
A= 1 2
3 4!, B =
−1 0 2
0 0 1
0−1 1
, C =
1−1 0
1 2 1
1 1 0
, D =
1 1 1 0
−1 1 0 1
−1 0 1 1
0−1−1 1
et E=
1−1−1
−213
221
.
2. Montrer que les matrices M=
3−2 0
0 1 0
1 0 0
et N=
1−1 2 −2
0 0 1 −1
1−1 1 0
1−1 1 0
ne sont pas inversibles.
3. Pour quelles valeurs de α, β et γles matrices M=
1 0 2
0 1 3
2 3 α
et N=
1 1 1 1
1α1 1
1 1 β1
1 1 1 γ
sont-elles inversibles ?
Déterminer alors leur inverse.
Exercice 13 Inverse et polynôme annulateur (I). —On considère la matrice A=
0 1 0
−1 2 0
1 0 −1
.
1. Montrer que A3−A2−A+I= 0. En déduire que Aest inversible et calculer A−1.
2. Montrer que A2est inversible et calculer (A2)−1.
Exercice 14 Inverse et polynôme annulateur (II). —Soient nun entier naturel supérieur ou égal à 2 et A∈ Mn(R).
1. Montrer : ∀p∈N, Ap−I= (A−I)
p−1
P
k=0
Ak.
2. On suppose qu’il existe p∈N∗tel que Ap= 0 et Ap−1,0.
a) Montrer que An’est pas inversible.
b) En utilisant la question 1, montrer que I−Aest inversible et exprimer son inverse en fonction de A.
Applications des matrices
Exercice 15 — On considère la suite ( un )
n∈N
définie par u0 = 2, u1 = 1, u2 = − 1 et, pour tout n∈N , un+3 = 2 un+2 + un+1 − 2 un .
On considère la matrice P=
1 1 4
1−1 2
1 1 1
et on pose par ailleurs, pour tout n∈N,Un=
un+2
un+1
un
.
1. Déterminer une matrice A∈ M3(R) telle que : ∀n∈N, Un+1 =AUn. Expliciter Unen fonction de Anet de U0.
2. a) Montrer que Pest inversible et calculer P−1puis D=P−1AP . En déduire l’expression de Dnpour tout n∈N.
b) Pour tout n∈N, exprimer Anen fonction des matrices P,P−1et Dn.
c) En utilisant le résultat de la question 1en déduire l’expression de unen fonction de n.
Exercice 16 — Un feu bicolore, lorsqu’il est rouge, passe au vert à l’instant suivant avec la probabilité p ( p∈] 0 , 1 [ ) et,
lorsqu’il est vert, passe au rouge avec la probabilité q ( q∈] 0 , 1 [ ). Pour tout n∈N , on note rn la probabilité que ce feu soit
rouge à l’instant net vnla probabilité qu’il soit vert à ce même instant.
1. Etablir une relation de récurrence entre rn+1,vn+1 et rn,vn.
2. En déduire l’existence d’une matrice Atelle que : ∀n∈N, rn+1
vn+1!=A rn vn!, puis montrer : ∀n∈N, rn vn!=An r0 v0!.
3. a) Déterminer deux matrices Bet Ctelles que B+C=Iet B+ (1 −p−q)C=A.
b) Calculer les produits BC,CB,B2et C2.
c) En déduire, pour tout n∈N, l’expression de An.
4. Pour tout n∈N, calculer les valeurs de rnet vnen fonction de n,r0et v0puis déterminer leurs limites éventuelles.
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