Nombres premiers dans

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Séquence 3 – MA03
>
1
ère
partie :
Nombres premiers dans
>
2
e
partie :
Congruence dans
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Sommaire séquence 3 – MA03
Partie 1 : Nombres premiers dans
Définition
Propriétés
Recherche des nombres premiers inférieurs à 100
Savoir déterminer si un nombre donné est premier
Propriété de décomposition
Exemples d’utilisation
Application à la recherche du nombre de diviseurs dans d’un entier non
nul
A
A
A
BB
A
A
A
BB
A
A
A
BB
A
BBC
Chapitre 1 > Définition et propriétés ............................................................................................................
Chapitre 2
>
Méthode de recherche des nombres premiers ;
crible d‘Eratosthène
...........................................................................................................................
Chapitre 3
>
Nombres premiers et nombres premiers
entre eux
................................................................................................................................................................
Chapitre 4
>
Décomposition d’un entier naturel
en produit de facteurs premiers ..............................................................................
Exercices d’entraînement .........................................................................................................................................................................
Aides aux exercices ..........................................................................................................................................................................................
Résumé ...............................................................................................................................................................................................................................
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Séquence 3 – MA03
Définition et propriétés
Définition
A
Un entier naturel n est premier s’il admet exactement 4 diviseurs dans
Å
: , , et n, et
donc exactement 2 diviseurs dans
ı
: 1 et n.
Un entier naturel n strictement supérieur à 1 qui n’est pas premier est dit composé : c’est le cas s’il
admet dans
ı
au moins un diviseur autre que 1 et que n.
0 n’est pas premier car on peut écrire par exemple :
donc 2, 5, 7, 25, … sont des diviseurs entiers naturels de zéro; puisque zéro n’admet pas exactement
deux diviseurs entiers naturels, il n’est pas nombre un premier.
1 n’est pas premier car le seul entier naturel diviseur de 1 est 1 lui-même (il n’admet donc pas exac-
tement deux diviseurs entiers naturels).
2 est premier car les seuls diviseurs entiers naturels de 2 sont 1 et 2.
3 est premier car les seuls diviseurs entiers naturels de 3 sont 1 et 3.
4 n’est pas premier car il admet un autre diviseur entier naturel que 1 et 4 lui-même; en effet 2 est
un diviseur de 4.
le seul nombre pair qui soit premier est 2, car tout autre nombre pair est divisible par 1, par lui-
même et aussi par 2, donc n’admet pas exactement deux diviseurs dans l’ensemble des entiers natu-
rels.
Démonstration de la première partie :
– si n est premier, la propriété est vérifiée.
– si n n’est pas premier c’est qu’il admet dans
ı
d’autres diviseurs que 1 et n. Soit p le plus petit divi-
seur de n tel que : .
Alors on peut affirmer que p est premier car sinon il aurait lui-même au moins un diviseur tel que :
.
Mais divisant p diviserait aussi n, et ceci est en contradiction avec le fait que p est le plus petit
diviseur de n compris strictement entre 1 et n. D’où p est premier.
Conclusion : n entier et admet au moins un diviseur premier.
1
–1+n–
020×50×70×25 0×…==== =
Propriétés
B
Propriété 
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1
 n admet au moins un diviseur premier
 n est composé ⇔ n admet au moins un diviseur premier p tel que p  n
1pn<<
p′
1p′p<<
p′
n1>
Exemples
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Séquence 3 – MA03
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Démonstration de la deuxième partie
Il s’agit de prouver une équivalence.
– soit n composé (non premier) ; comme dans la démonstration précédente, on appelle p le plus petit
diviseur de n tel que ; on sait que p est premier et que n s’écrit avec k de ı ;
k est donc un diviseur de n supérieur ou égal à p d’où , donc
– l’autre implication est évidente, car p est un diviseur positif de n autre que 1 et n (puisque
).
Une conséquence importante est la suivante :
Si n n’admet pas de diviseur premier inférieur ou égal à alors n est premier.
On retient :
Démonstration .
Pour prouver cette propriété, il suffit de prouver que quel que soit le nombre entier k que l’on se
donne, on peut trouver un nombre premier supérieur à k.
Considérons le nombre ; on va démontrer qu’il admet au moins un diviseur premier supé-
rieur à k ; ceci prouvera la propriété.
Posons ;
on peut écrire : .
Le théorème de Bézout nous permet d’affirmer que les nombres n et k ! sont premiers entre eux, donc
leur seul diviseur commun entier positif est 1. Cela veut dire que les entiers successifs 2, 3, 4, …, k qui
divisent k ! ne divisent pas n.
Or on sait que n admet au moins un diviseur premier p : il en résulte que p est un nombre premier
supérieur strict à k.
n’est pas premier mais 25 n’a pas de diviseur distinct de 1 et inférieur ou égal à 4 ; le
plus petit diviseur premier de 25 est en effet : 5.
L’objectif de cet exemple est seulement d’illustrer numériquement la démonstration précédente.
1pn<< npk=
n pk  p2 =
p  n
1p  nn<<
n
Pour n entier, , il y a 2 cas :
– Soit n est premier
– Soit n admet un diviseur premier inférieur ou égal à et alors n est
composé
n1>
n
Propriété 
Il existe une infinité de nombres premiers.
k !1
+
nk !1
+=
nk ! – 1 =
Conclusion
L’ensemble des nombres premiers n’est pas borné, il y a une infinité de nombres premiers.
4 !1
+ 25 =
À connaître
Exemple
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Séquence 3 – MA03
Méthode de recherche des nombres
premiers ; crible d’Eratosthène
Recherche des nombres premiers inférieurs à 100
A
On écrit la liste de tous les entiers de 0 à 99.
On commence par rayer 0 et 1 qui ne sont pas premiers. 2 est premier et on raye tous ses multiples,
c’est-à-dire les entiers pairs à partir de 4.
Le premier nombre non rayé est 3, il est premier, on raye alors tous les multiples de 3 qui sont encore
en présence.
L’entier suivant non rayé est 5 ; il est premier ; on raye alors tous les multiples de 5 qui sont encore en
présence.
Et ainsi de suite…
Pour des raisons de lisibilité, il est apparu préférable d’encadrer les nombres premiers, plutôt que de
rayer les nombres non premiers.
Cette « table » des nombres premiers s’appelle « Crible d’Eratosthène ».
On peut bien sûr envisager d’aller au delà de la valeur 99.
ERATOSTHÈNE : Mathématicien, astronome et philosophe grec du
IIIe
siècle avant J.-C.
22.Savoir déterminer si un nombre donné est premier
Les nombres 211, 367, 491, 501 et 513 sont-ils premiers ?
Les nombres 211, 367, 491, 501 et 513 sont-ils premiers ?
De façon évidente 211 n’est divisible ni par 2, ni par 3 ni par 5. Essayons la division par les nombres
premiers suivants :
0123456789
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Savoir déterminer si un nombre donné est premier
B
211
Remarque
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