Logique linéaire et sémantique différentielle

Logique lin´eaire et s´emantique diff´erentielle
Des espaces de finitude aux espaces de Lefschetz.
Christine Tasson
CHoCo, le jeudi 22 octobre 2009.
1 S´emantique quantitative
La s´emantique quantitative [Gir88] a ´et´e introduite afin de rendre compte de propri´et´es
non-d´eterministes (ou probabilistes) de langages de programmation.
1.1 Id´ees
`
A chaque type, on associe l’ensemble des valeurs que peuvent prendre les donn´ees de
ce type. ` A partir d’une entr´ee, un programme non-d´eterministe peut renvoyer diff´erents
r´esultats. On collecte tous ces r´esultats en une donn´ee repr´esent´ee formellement par une
combinaison lin´eaire (possiblement infinie) de valeurs. Un programme va prendre en en-
tr´ee une combinaison lin´eaire de valeurs initiales et pour chaque valeur initiale renvoyer
une combinaison lin´eaire de valeurs r´esultantes.
Plus pr´ecis´ement,
?` A chaque type A, on associe une trame |A|.
?Chaque donn´ee est une combinaison lin´eaire Pa∈|A|xaea(possiblement infinie)
d’´el´ements ade la trame. Pour chaque a∈ |A|,xarepr´esente le nombre de fois
qu’apparaˆıt la valeurs adans la donn´ee.
?Un programme fest repr´esent´e par une fonction assez r´eguli`ere, c’est-`a-dire calcu-
lable par approximation finie (connaissant f(Pa∈uxaea) pour toute partie finie ude
|A|, on veut ˆetre capable d’en d´eduire f(Pa∈|A|xaea)).
Quel formalisme ? Historiquement, la s´emantique quantitative est r´ealis´ee dans la cat´e-
gorie des ensembles [Joy86,Has02,FGHW08]. Le but de cet expos´e est d’explorer la s´eman-
tique quantitative dans les espaces vectoriels topologiques. Dans ce contexte, les combinai-
sons lin´eaires de valeurs seront des s´eries convergentes et la r´egularit´e des programmes cor-
respondra `a leur continuit´e. Citons d’autres ´etudes similaires [BS96,Gir96,Ehr02,Ehr05].
Anneau ou corps ? L’interpr´etation non-d´eterministe sugg`ere de prendre un anneau
pour les scalaires, par exemple les entiers. On consid`ere plutˆot un corps car cela simplifie
les raisonnements.
1.2 Formule de la s´emantique quantitative
Un programme lin´eaire P1:A(Best un programme qui consulte une seule fois son
argument. Il demande `a son contexte de lui donner l’une des valeurs de Pa∈|A|xaea, par
exemple ea, et il renvoie P1(ea) qui est une combinaison lin´eaire des diff´erents r´esultats
1

possibles dans B. On en d´eduit que si le contexte fournit xafois la valeur a, le programme
produira xafois P1(ea). Sur une entr´ee non-d´eterministe Pa∈|A|xaea, on a donc
P1
X
a∈|A|
xaea
=X
a∈|A|
xaP1(ea).
Plus g´en´eralement, un programme n-lin´eaire Pnconsulte nfois son argument. ` A chaque
fois que le programme demande `a son environnement quel est son argument, l’environne-
ment lui donne un eaipossiblement diff´erent et le programme renvoie Pn(ea1, . . . , ean).
Ainsi, sur une entr´ee non-d´eterministe, le r´esultat sera
Pn
X
a∈|A|
xaea
=X
a1,...,an∈|A|
xa1. . . xanPn(ea1, . . . , ean).
La formule de la s´emantique quantitative permet de repr´esenter un programme
selon les diff´erents sc´enarios d’´evaluation : pour toute donn´ee x, si le programme ftermine,
on sait qu’il va faire un nombre fini nxd’appels `a x. On note Pnxla routine qui est utilis´ee
pour calculer le r´esultat, c’est un programme n-lin´eaire tel que Pnx(x) = f(x). On regroupe
les routines selon le nombre d’appels
Pn:x7→ Pnx(x) si nx=n
7→ 0 sinon.
La s´emantique quantitative repr´esente un programme comme la superposition des diff´erents
sc´enarios possibles :
f(x) = X
n∈
Pn(x).
Dans cet expos´e, nous allons donner un sens `a cette formule dans les espaces de finitude
et les espaces de Lefschetz (qui sont des espaces vectoriels topologiques). Le but est de la
relier avec la formule de Taylor grˆace `a un op´erateur diff´erentiel.
2 Espaces de finitude
Les espaces de finitude permettent de contrˆoler le non-d´eterminisme. L’id´ee est de ne
repr´esenter que les programmes qui interagissent de fa¸con finie. En particulier, les espaces
de finitude ne repr´esentent pas les points fixes.
Plus pr´ecis´ement, soient deux programmes P:A⇒Bet Q:B⇒Cet une donn´ee x
de type A. On a
P(x) = X
b∈|B|
Pb(x)eb.
on veut trouver une s´emantique qui capture la propri´et´e suivante :«le nombre de valeurs
de |B|prises en compte pour calculer Q(P(x)) est fini». Autrement dit, il existe J⊆ |B|
fini tel que
Q(P(x)) = Q X
b∈J
Pb(x)eb!.
On va commencer par impl´ementer cette id´ee au niveau relationnel. Puis on va la
transposer au niveau des espaces vectoriels topologiques.
2

2.1 Du mod`ele relationnel. . .
2.1 Du mod`ele relationnel. . .
On consid`ere le mod`ele relationnel de la logique lin´eaire. Dans le mod`ele relationnel,
toute formule Aest repr´esent´ee par un ensemble |A|, sa trame ; toute preuve π:Apar une
partie JπKde la trame. Lorsque l’on observe la s´emantique, on s’aper¸coit que l’interaction
entre deux preuves est finie.
Rappel: Soient A,Γet ∆des formules de LL. La coupure entre une preuve π`Γ, A et une
preuve π0`A⊥,∆est interpr´et´ee par
qπ;π0y=˘(γ, δ)∈ |Γ| × |∆|;∃a∈ |A|,(γ, a)∈JπK,(a, δ)∈qπ0y¯.
Th´eor`eme 1. [Ehr05] Soient A,Γet ∆des formules de LL. Une preuve π`Γ, A et une
preuve π0`A⊥,∆n’ont qu’un nombre fini d’interactions possibles `a travers JAK, i.e. pour
tous γ∈Γet δ∈∆, il n’existe qu’un nombre fini de a∈JAKtels que (γ, a)∈JπKet
(a, δ)∈Jπ0K.
Ainsi, via Curry-Howard, le nombre de donn´ees sur lesquelles deux programmes inter-
agissent est born´e.
Remarquons que l’on peut certainement prouver ce th´eor`eme directement mais que
l’induction sur les preuves est d´elicate car il y a beaucoup de cas `a traiter. La d´emonstration
la plus directe passe par la s´emantique des espaces de finitude.
Pour traduire cette propri´et´e finitaire dans la s´emantique, on utilise la construction
usuelle par bi-orthogonalit´e [Gir06,HS03] :
∀u, u0⊆ |A|, u ⊥u0⇐⇒ u∩u0fini.
L’orthogonal d’une famille Fde parties de |A|est F⊥={u0∈ |A|;∀u∈ F, u ∩u0fini}.
On adjoint `a la trame du mod`ele relationnel une structure finitaire F(A), c’est-`a-dire
un ensemble de parties dites finitaires, clos par bi-orthogonalit´e : F(A)⊥⊥ =F(A).
Prenons des exemples pour comprendre la structure finitaire.
Exemple 1. Les bool´eens sont form´es de deux ´el´ements incomparables «vrai», not´e Tet
«faux», not´e F. Ils sont interpr´et´es par
|B| ={T,F},
F(B) = Pfin ({T,F}).
S’il n’existe qu’une seule structure finitaire sur une trame finie, on peut munir un
ensemble d´enombrable de beaucoup de structures finitaires diff´erentes.
Exemple 2. Les espaces de finitude d´efinis dans cet exemple ont tous pour trame l’en-
semble des entiers naturels .
?On note Nat l’espace de finitude dont la trame est l’ensemble des entiers naturels
et dont la structure finitaire est l’ensemble des parties finies de , not´e Pfin ( ).
La structure de finitude de son orthogonal Nat⊥est l’ensemble de toutes les parties
P( ).
?On note Nat l’espace de finitude dont la trame est et la structure finitaire est
l’orthogonal de P(2 ). Ainsi, une partie est finitaire si et seulement si elle ne contient
qu’un nombre fini de nombres pairs.
Dans le mod`ele des espaces de finitude, une formule est interpr´et´ee par la trame |A|
et une structure finitaire F(A) ; une preuve π:Aest interpr´et´ee par une partie finitaire
JπK∈ F (A).
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2.2 ... aux espaces vectoriels topologiques
Proposition 1. [Ehr05] Les espaces de finitude forment un mod`ele de la logique lin´eaire.
De plus, l’interpr´etation d’une preuve est la mˆeme dans le mod`ele relationnel et dans le
mod`ele des espaces de finitude.
Le th´eor`eme 1est un corollaire de cette proposition. La s´emantique finitaire permet
donc de montrer que l’interaction de la s´emantique relationnelle des preuves en logique
lin´eaire est non-d´eterministe mais contrˆol´ee.
2.2 ... aux espaces vectoriels topologiques
On reprend les id´ees de la s´emantique quantitative.
D´efinition des espaces de finitude. Soit un corps discret.
?un type est d´efini par une trame |A|et une structure finitaire F(A) ;
?une donn´ee est une combinaison lin´eaire finitaire de valeurs a∈ |A|:
x=X
a∈|A|
xaea;
elle est d´efinie par une famille (xa)a∈|A|∈|A|de scalaires dont le support est
finitaire, i.e. |x| ∈ F (A) avec
|x|def ={a∈ |A|;xa6= 0};
ainsi, le type Aest interpr´et´e par
EA={x∈|A|;|x| ∈ F (A)};
c’est un espace topologique ;
?un programme de type A⇒Best une fonction lin´eaire continue de E!Adans EB.
Rappel: Une base topologique d’un espace vectoriel topologique est une famille de vecteurs telle
que tout vecteur se d´ecompose de fa¸con unique en une combinaison lin´eaire convergente de vecteurs
de la base.
Les notions de support et de base permettent de faire le lien entre le niveau relationnel et
le niveau vectoriel. Soit Aune formule de la logique lin´eaire. L’interpr´etation relationnelle
|A|forme une base (topologique) de l’interpr´etation vectorielle |A|et de EA. Ainsi, l’in-
terpr´etation vectorielle d’une preuve est une combinaison lin´eaire infinie (convergente) des
´el´ements de son interpr´etation relationnelle. Dans l’autre sens, l’interpr´etation relationnelle
d’une preuve est le support de son interpr´etation vectorielle.
Interaction dans les espaces vectoriels. Soit Aune formule. On note |A|la trame
associ´ee. Une preuve πde `Γ, A est repr´esent´ee par une fonction lin´eaire de |Γ|dans |A|.
Cette fonction lin´eaire peut-ˆetre consid´er´ee comme une matrice. Pour tout γ∈ |A|, on note
JπKγ=Pa∈|A|JπKγ,a eala ligne d’indice γ.. Une preuve de `A⊥,∆ est interpr´et´ee par une
fonction lin´eaire Jπ0Kde |A|dans |∆|. Cette fonction lin´eaire peut-ˆetre consid´er´ee comme
une matrice. Pour tout δ∈∆, on note Jπ0Kδ=Pa∈|A|Jπ0Ka,δ eala colonne d’indice δ. La
composition des fonctions lin´eaires correspond `a la multiplication matricielle. On en d´eduit
l’interpr´etation de la coupure :
∀γ∈Γ, δ ∈∆,Jπ;π0Kγ,δ =X
a∈|A|
JπKγ,a Jπ0Ka,δ .
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On doit donner un sens `a cette somme de scalaires. On va dire que l’interpr´etation de la
coupure est bien d´efinie lorsque la famille (xa)a∈|A|est sommable.
Rappel: Un r´eseau (rγ)γ∈Γest une famille index´ee par un ensemble filtrant (∀α, β ∈Γ,∃γ∈
Γ, γ ≥α, β).
Un r´eseau converge vers une limite llorsque pour tout voisinage Vde l, il existe βtel que
γ≥β⇒rγ∈ V.
Une famille (xa)a∈|A|est dite sommable lorsque le r´eseau des sommes partielles
(Pa∈Jxa)J⊆fini |A|converge.
Si le corps est ou , on va retrouver les espaces de K¨ othe [Ehr02]. Lorsque le corps
est discret1, la famille est sommable si et seulement si son support est fini, on d´efinit ainsi
les espaces de finitude :
Jπ;π0Kγ,δ =X
a∈|A|
JπKγ,a Jπ0Ka,δ finie ⇐⇒ JπKγ∩ |Jπ0Kδ|fini.
Proposition 2. [Ehr05] Les espaces de finitude vectoriels forment un mod`ele de la logique
lin´eaire.
Ce n’est pas un simple corollaire du cas relationnel. En effet, il n’y a pas d’´equivalence
de cat´egorie entre les espaces de finitude relationnels et les espaces de finitude vectoriels.
Toutes les constructions de la logique lin´eaire dans les espaces de finitude peuvent ˆetre
d´ecrites d’un point de vue relationnel (voir l’article [Ehr05]) mais aussi comme des construc-
tions dans les espaces munis d’une topologie lin´eairis´ee, nomm´es espaces de Lefschetz.
3 Espaces de Lefschetz
3.1 Topologie lin´earis´ee
Rappel: Soit Eun espace vectoriel topologique. Une base de filtres sur Eest une famille dirig´ee
pour l’ordre inverse de l’inclusion (si Fet Gsont dans la famille, F∩Gcontient un ´el´ement de
la famille) et qui ne contient pas l’ensemble vide. Une base de filtres engendre un filtre par clˆoture
par sur-espace.
D´efinition 1. [Lef42] Un -espace vectoriel topologique Eest appel´e espace de Lef-
schetz lorsqu’il existe une base de filtres Vv´erifiant les propri´et´es
(TL1) tout ´el´ement Vde Vest un sous-espace vectoriel de E,
(TL2) TV={0},
et telle qu’une partie Ude Esoit ouverte si et seulement si
∀x∈U, ∃V∈ V ;x+V⊆U.
La base de filtres Vest appel´ee syst`eme fondamental lin´eaire de l’espace de Lefschetz
E. Un ouvert lin´eaire est un sous-espace vectoriel ouvert de E.
3.2 Les espaces de finitude
Soit (|A|,F(A)) un espace de finitude. Pour toute partie anti-finitaire u0∈ F (A)⊥, le
sous-espace de EAco-engendr´e par u0est not´e
V(u0) = {x∈EA;|x| ∩ u0=∅}.
1Un espace est discret lorsque toute partie est ouverte.
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