Chapitre 26

26
Utilisation des congruences et des
anneaux Z/nZ
26.1 Équations diophantiennes ax ≡b(n)
Soient nun entier supérieur ou égal à 2, a un entier supérieur ou égal à 1et bun entier
relatif. On veut résoudre dans Zl’équation diophantienne :
ax ≡b(n)(26.1)
Dans le cas où b= 1,cette équation a des solutions si, et seulement si aest inversible
dans Zn,ce qui équivaut à dire que aest premier avec n. Dans ce cas l’algorithme d’Euclide
nous permet de trouver une solution x0∈Zde (26.1) .Si x∈Zest une autre solution, alors
a(x−x0)est divisible par nqui est premier avec aet le théorème de Gauss nous dit que ndoit
diviser x−x0.Réciproquement on vérifie facilement que pour tout k∈Z, x0+kn est solution
de (26.1) .En définitive, dans le cas où aet nsont premiers entre eux, l’ensemble des solutions
de ax ≡1 (n)est :
S={x0+kn |k∈Z}
où x0est une solution particulière de cette équation.
Dans le cas où les entiers aet nsont premiers entre eux et best un entier relatif quelconque,
pour toute solution particulière u0de l’équation ax ≡1 (n)l’entier x0=bu0est solution de
(26.1) .Comme précédemment, on en déduit que l’ensemble des solutions de (26.1) est :
S={bx0+kn |k∈Z}
où x0est une solution particulière de cette équation.
Considérons maintenant le cas général.
On note δle pgcd de aet net on a a=δa0, n =δn0avec a0et n0premiers entre eux.
Théorème 26.1 L’équation diophantienne (26.1) a des solutions entières si, et seulement si,
δdivise b. Dans ce cas, l’ensemble des solutions de cette équation est :
S={b0x0
0+kn0|k∈Z}
où x0
0est une solution particulière de a0x≡1modulo n0
Démonstration. Si l’équation (26.1) admet une solution x∈Zalors δn0divise δa0−bet δ
divise b.
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456 Utilisation des congruences et des anneaux Z/nZ
Si best un multiple de δ, il s’écrit b=δb0et toute solution de a0x≡b0(n0)est aussi solution
de (26.1) .
On a vu que les solutions de a0x≡b0(n0)sont de la forme x=b0x0
0+kn0où x0 0est une
solution de a0x≡1 (n0)et kest un entier relatif. Réciproquement on vérifie facilement que
pour tout entier k∈Z, x =b0x0
0+kn0est solution de (26.1) .
26.2 Équations diophantiennes x≡a(n), x ≡b(m)
On s’intéresse ici aux système d’équations diophantiennes :
½x≡a(n)
x≡b(m)(26.2)
où n, m sont deux entiers naturels supérieur ou égal à 2.
Théorème 26.2 (chinois) Soient n, m deux entier supérieur ou égal à 2premiers entre eux.
Quels que soient les entiers relatifs aet ble système (26.2) a une infinité de solutions dans Z.
Démonstration. Comme net msont premiers entre eux on peut trouver une infinité de
couples d’entiers relatifs (u, v)tels que :
nu +mv = 1.
En posant x=bnu +amv on obtient une infinité de solutions de (26.2) .
Ce théorème peut aussi s’exprimer en disant que le morphisme d’anneaux introduit dans la
démonstration du théorème 25.11, ϕ:k7→ µ· k, ·· k¶,est surjectif de Zdans Zn×Zm.Son noyau
étant nmZ,on retrouve l’isomorphisme de Znm sur Zn×Zm.
Dans le cas où net msont premiers entre eux on vient de voir que si (u0, v0)est solution de
nu+mv = 1 (un tel couple peut être obtenu par l’algorithme d’Euclide) alors x0=bnu0+amv0
est une solution particulière de (26.2) .À partir d’une telle solution on déduit toutes les autres.
En effet, si x∈Zest solution de (26.2) alors xest congru à x0modulo net modulo m, soit :
x−x0=pn =qm.
Mais mest premier avec n, le théorème de Gauss nous dit alors que mdivise p. On a donc
x=x0+knm avec k∈Z.Et réciproquement on vérifie que pour tout entier relatif k, x0+knm
est solution de (26.2) .En définitive, si net msont premiers entre eux, alors l’ensemble des
solutions de (26.2) est :
S={x0+knm |k∈Z}
où x0est une solution particulière de (26.2) .
Dans le cas général où met nne sont pas nécessairement premiers entre eux on note δle
pgcd de net m, n =δn0, m =δm0avec n0, m0premiers entre eux et on note µle ppcm de net
m.
Théorème 26.3 L’équation diophantienne (26.2) a des solutions entières si, et seulement si,
a−best multiple de δ. Dans ce cas, l’ensemble des solutions de (26.2) est :
S={x0+kµ |k∈Z}
où x0est une solution particulière de cette équation.

Critères de divisibilité 457
Démonstration. Si x∈Zest une solution de (26.2) alors δqui divise net mva diviser
x−aet x−b, il divise donc a−b.
Réciproquement, supposons que a−best multiple de δ, c’est à dire que b−a=δc0.Les
entiers n0et m0étant premiers entre eux, le théorème de Bézout nous dit qu’il existe des entiers
u0et v0tels que n0u0+m0v0= 1.En posant :
x0=bn0u0+am0v0,
on a :
x0=b(1 −m0v0) + am0v0=b−m0v0(b−a)
=b−m0v0δc0=b−mv0c0≡b(m).
De manière analogue on voit que x0est congru à amodulo n. L’entier x0est donc une solution
de (26.2) .
Si x∈Zest solution de (26.2) alors xest congru à x0modulo net modulo m, soit :
x−x0=pn =qm =pδn0=qδm0.
Il en résulte que x−x0
δest un entier et :
x−x0
δ=pn0=qm0.
Comme m0est premier avec n0,le théorème de Gauss nous dit que m0doit diviser p. On a donc :
x−x0
δ=kn0m0
avec k∈Z.Ce qui peut aussi s’écrire :
x−x0=knm0=knm
δ=kµ
avec k∈Z.
Réciproquement on vérifie facilement que pour tout entier relatif k, x0+kµ est solution de
(26.2) .En définitive, l’ensemble des solutions de (26.2) est :
S={x0+kµ |k∈Z}
où x0est une solution particulière de cette équation.
26.3 Critères de divisibilité
Les anneaux Z/nZpeuvent être utilisés pour obtenir des critères de divisibilité des entiers
par 2,3,5,9et 11.
Soit aun entier naturel non nul d’écriture décimale a=ap···a1a010,où les aksont des
entiers compris entre 0et 9,le coefficient apétant non nul.
–Comme 10 est congru à 0modulo 2(resp. modulo 5) on déduit que aest congru à a0
modulo 2(resp. modulo 5) et donc aest divisible par 2(resp. par 5) si et seulement si
son chiffre des unités a0est pair, c’est-à-dire égal à 0,2,4,6ou 8(resp. multiple de 5,
c’est-à-dire égal à 0où 5).

458 Utilisation des congruences et des anneaux Z/nZ
–Du fait que 10 est congru à 1modulo 3(resp. modulo 9) on déduit que 10kest congru à
1modulo 3(resp. modulo 9) pour tout entier ket aest congru à p
P
k=0
akmodulo 3(resp.
modulo 9). Donc aest divisible par 3(resp. par 9) si et seulement si la somme de ses
chiffres est divisible par 3(resp. par 9).
–Enfin du fait que 10 est congru à −1modulo 11 on déduit que 10kest congru à (−1)k
modulo 11 pour tout entier ket aest congru à p
P
k=0
(−1)kakmodulo 11.Donc aest divisible
par 11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11.
En remplaçant 10 par une base b≥2,on a de manière plus générale les résultats suivants,
où on a noté a=ap···a1a0bl’écriture en base bd’un entier a(les aksont compris entre 0et
b−1et apest non nul) :
–si dest un diviseur de balors aest divisible par dsi, et seulement si a0est divisible par
d:
–si dest un diviseur de b−1alors aest divisible par dsi, et seulement si p
P
k=0
akest divisible
par d;
–aest divisible par b+ 1 si, et seulement si p
P
k=0
(−1)kakest divisible par b+ 1.