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Rappels de cours d’alg`ebre lin´eaire et bilin´eaire
pour le CAPES

Table des mati`eres
1 Espaces vectoriels 2
1.1 G´en´eralit´es ............................................ 2
1.2 Applicationslin´eaires....................................... 3
1.3 Bases ............................................... 4
1.4 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Matrices et applications lin´eaires 6
2.1 Propri´et´es ´el´ementaires et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Structures d’espace vectoriel et d’alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Op´erationssurlesmatrices ................................... 9
2.4 Exemples remarquables (culture) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 D´eterminant 12
3.1 Permutations ........................................... 12
3.2 Applications multilin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Led´eterminant .......................................... 14
4 Syst`emes lin´eaires 16
4.1 Propri´et´es............................................. 16
4.2 R´esolution d’un syst`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 R´eduction 20
5.1 Valeurspropres.......................................... 20
5.2 Polynˆomes d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.3 Diagonalisation et trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.4 Exemples d’utilisation de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Espaces euclidiens et hermitiens 24
6.1 Formes bilin´eaires et quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2 Espaceseuclidiens ........................................ 26
6.3 Espaceshermitiens........................................ 30
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Chapitre 1
Espaces vectoriels
Dans tout ce chapitre Kd´esignera un corps commutatif.
1.1 G´en´eralit´es
D´efinition 1.1.1 Un espace vectoriel sur Kest un ensemble Emuni d’une loi interne “+” et d’une loi
externe “·” de K×Edans Ev´erifiant :
1. (E,+) est un groupe abelien
2. Pour tout (λ, µ)∈K×K, pour tout (x, y)∈E×E
λ·(µ·x) = (λµ)·x
(λ+µ)·x=λ·x+µ·y
λ·(x+y) = λ·x+λ·y
1·x=x
On omettra d´esormais le “·” pour la loi externe.
Cons´equences imm´ediates : Pour tout couple (λ, µ) d’´el´ements de Ket tout couple (x, y) de vecteurs
de E
1. 0x= 0E
2. λ0E= 0E
3. λ(−x) = −λx
4. (−1)x=−x
5. λx = 0E⇔λ= 0 ou x= 0E
D´efinition 1.1.2 Soit Eun espace vectoriel sur Ket Fune partie non vide de E. On dit que Fest un
sous-espace vectoriel de Esi pour tout (λ, µ)∈K×K, pour tout (x, y)∈F×F,λx +µy ∈F.
Fest alors un espace vectoriel sur K.
Si Fet Gsont des sous-espaces vectoriels de Ealors F∩Gest un sous-espace vectoriel de E ; mais en
g´en´eral F∪Gn’est pas un sous-espace vectoriel de E (le d´emontrer).
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D´efinition 1.1.3 Soient E1et E2deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. On appelle somme
de E1et E2l’ensemble
E1+E2={x1+x2;x1∈E1, x2∈E2}.
L’ensemble E1+E2est un sous-espace vectoriel de E. C’est le plus petit sous-espace vectoriel de Equi
contient E1et E2.
On dit que que la somme est directe si E1∩E2={0}, on la note alors E1LE2.
On dit que E1et E2sont suppl´ementaires si E=E1LE2.
Proposition 1.1.4 On a E=E1LE2si et seulement si pour tout x∈E, il existe un unique couple
(x1, x2)∈E1×E2tel que x=x1+x2.
Proposition 1.1.5 Soit Eun espace vectoriel et Fun sous-espace vectoriel de E. On peut munir le groupe
quotient E/F d’une structure d’espace vectoriel. E/F est alors appel´e espace vectoriel quotient de E par F.
Th´eor`eme 1.1.6 Tout sous-espace Fd’un espace vectoriel Eadmet un suppl´ementaire (on n’a pas unicit´e
du suppl´ementaire).
La preuve de ce th´eor`eme en g´en´eral n´ecessite l’application du lemme de Zorn, on peut s’en passer si l’on
sait que Eposs`ede une partie g´en´eratrice finie.
1.2 Applications lin´eaires
D´efinition 1.2.1 Soit Eet E0deux espaces vectoriels sur K. Une application f:E−→ E0est une
application lin´eaire ou homomorphisme d’espaces vectoriels si pour tout λ∈Ket tous x, y ∈E,
f(x+y) = f(x) + f(y)
f(λx) = λf(x).
On a alors f(0E) = 0E0.
Une forme lin´eaire est une application lin´eaire de Edans K.
Proposition et d´efinition 1.2.2 Soit Eet E0deux espaces vectoriels et fune application lin´eaire de E
dans E0. L’ensemble Kerf =f−1({0}) = {x∈E;f(x)=0}est appel´e noyau de f. C’est un sous-espace
vectoriel de E.
L’ensemble Imf =f(E) = {f(x); x∈E}est appel´e image de f, c’est un sous-espace vectoriel de E0.
Proposition 1.2.3 Soit f une application lin´eaire de Edans E0, alors fest injective si et seulement si
Kerf ={0}.
Proposition 1.2.4 Soit Eet E0deux espaces vectoriels sur K. L’ensemble des applications lin´eaires de
Edans E0, not´e L(E, E0)est un espace vectoriel sur K.
Notations : On note L(E) = L(E, E), l’espace vectoriel des endomorphismes de E.
On note E∗=L(E, K), l’espace vectoriel des formes lin´eaires sur E;E∗est appel´e le dual de E.
On note GL(E) l’ensemble des automorphismes de E.
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Proposition 1.2.5 (GL(E),◦)est un groupe (en g´en´eral non commutatif) appel´e le groupe lin´eaire de
E
1.3 Bases
D´efinition 1.3.1 Une famille (xi)i∈Id’´el´ements d’un espace vectoriel E est appel´e famille g´en´eratrice de
Esi tout ´el´ement de Es’´ecrit comme combinaison lin´eaire d’un nombre fini d’´el´ements de la famille ;
i.e. pour tout x∈E, il existe une partie finie J⊂Iet une famille (λj)j∈Jd’´el´ements de Ktelles que
x=Pj∈Jλjxj.
D´efinition 1.3.2 Une famille (xi)i∈Id’´el´ements d’un espace vectoriel E est appel´e famille libre de Esi
pour toute partie finie Jde Iet tout famille (λj)j∈Jd’´el´ements de K
X
j∈J
λjxj= 0 ⇒(∀j∈J, λj= 0).
D´efinition 1.3.3 Une famille (xi)i∈Id’´el´ements d’un espace vectoriel E est une base de Esi elle est
libre et g´en´eratrice.
Th´eor`eme 1.3.4 Une famille (xi)i∈Id’´el´ements d’un espace vectoriel E est une base de Esi et seulement
si tout ´el´ement de Es’´ecrit de mani`ere unique comme combinaison lin´eaire d’un nombre fini d’´el´ements
de cette famille.
Th´eor`eme 1.3.5 Tout espace vectoriel Enon r´eduit au vecteur nul admet une base. Plus pr´ecisement,
soit Lune famille libre de Eet Gune famille g´en´eratrice contenant L, il existe une base Bde Etelle que
L ⊂ B ⊂ G.
De mˆeme que le th´eor`eme 1.6, ce th´eor`eme n´ecessite, en g´en´eral, l’application du lemme de Zorn.
Th´eor`eme 1.3.6 Soit Eet E0deux espaces vectoriels sur Ket fune application lin´eaire de Edans E0.
Soit (ei)i∈Iune base de E, alors
1. fest injective si et seulement si (f(ei))i∈Iest une famille libre de E0.
2. fest surjective si et seulement si (f(ei))i∈Iest une famille g´en´eratrice de E0.
3. fest bijective si et seulement si (f(ei))i∈Iest une base de E0.
1.4 Espaces vectoriels de dimension finie
D´efinition 1.4.1 Soit Eun espace vectoriel sur K. On dit que Eest de dimension finie si Eadmet au
moins une famille g´en´eratrice finie.
Th´eor`eme 1.4.2 Soit E6={0}un espace vectoriel de dimension finie. Alors tout famille libre de Eest
finie.
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