Matrices
Dans tout ce chapitre, Kd´esigne Rou C.
1 Matrices rectangulaires
1.1 D´efinition
D´
efinition
1. Soient n, p deux nombres entiers non-nuls. On appelle matrice `a nlignes et pcolonnes `a coeffi-
cients dans Ktout tableau rectangulaire d’´el´ements de Kcomportant nlignes et pcolonnes :
A=
a1,1a1,2· · · a1,j · · · a1,p
a2,1a2,2. . . a2,j · · · a2,p
.
.
..
.
..
.
..
.
.
ai,1ai,2· · · ai,j · · · ai,p
.
.
..
.
..
.
..
.
.
an,1an,2· · · an,j · · · an,p
ai,j est le coefficient situ´e `a l’intersection de la i`eme ligne et j`eme colonne.
On note A= (ai,j )1≤i≤n
1≤j≤p
.
On dit aussi que Aest une matrice (n, p) ou une matrice de taille (ou type) (n, p)
2. L’ensemble des matrices `a nlignes et pcolonnes et `a coefficients dans Kse note Mn,p(K).
Si n=pon dit que la matrice est carr´ee et on note Mn,n(K) = Mn(K)
3. Un ´el´ement de M1,p(K) (resp. Mn,1(K)) s’appelle une matrice ligne ...(resp. colonne :
.
.
.
).
4. La matrice nulle de Mn,p(K), que l’on note 0n,p,(ou 0 quand il n’y a pas d’ambiguit´e) est la matrice
o`u tous les coefficients sont nuls.
Exemple :
A=
2 2 −1 0
7 1 0 0
−1 2 4 −3
est une matrice `a ... lignes et ... colonnes. Pr´eciser a1,4= , a2,3= , a3,2= .
Que vaut a4,2?
D´
efinition
Deux matrice Aet Bsont ´egales ssi elles ont mˆeme taille et mˆemes coefficients.
On note alors A=B.
1.2 L’espace vectoriel Mn,p(K)
1.2.1 Addition de matrices
D´
efinition
Soit A= (ai,j )1≤i≤n
1≤j≤p
et B= (bi,j )1≤i≤n
1≤j≤p
deux matrices de Mn,p(K).
On appelle somme de Aet Bla matrice de Mn,p(K) not´ee A+Bd´efinie par
A+B= (ci,j )1≤i≤n
1≤j≤p
o`u ci,j =ai,j +bi,j pour tout i∈[[1, n]] et j∈[[1, p]]
Exemple :
1 4
3 5
6 7
+
2 5
0 1
1 0
=
3 9
3 6
7 7
. On somme coefficient par coefficient !
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