Matrices
Dans tout ce chapitre, Kd´esigne Rou C.
1 Matrices rectangulaires
1.1 D´efinition
D´
efinition
1. Soient n, p deux nombres entiers non-nuls. On appelle matrice `a nlignes et pcolonnes `a coeffi-
cients dans Ktout tableau rectangulaire d’´el´ements de Kcomportant nlignes et pcolonnes :
A=
a1,1a1,2· · · a1,j · · · a1,p
a2,1a2,2. . . a2,j · · · a2,p
.
.
..
.
..
.
..
.
.
ai,1ai,2· · · ai,j · · · ai,p
.
.
..
.
..
.
..
.
.
an,1an,2· · · an,j · · · an,p
ai,j est le coefficient situ´e `a l’intersection de la i`eme ligne et j`eme colonne.
On note A= (ai,j )1in
1jp
.
On dit aussi que Aest une matrice (n, p) ou une matrice de taille (ou type) (n, p)
2. L’ensemble des matrices `a nlignes et pcolonnes et `a coefficients dans Kse note Mn,p(K).
Si n=pon dit que la matrice est carr´ee et on note Mn,n(K) = Mn(K)
3. Un ´el´ement de M1,p(K) (resp. Mn,1(K)) s’appelle une matrice ligne ...(resp. colonne :
.
.
.
).
4. La matrice nulle de Mn,p(K), que l’on note 0n,p,(ou 0 quand il n’y a pas d’ambiguit´e) est la matrice
o`u tous les coefficients sont nuls.
Exemple :
A=
2 2 1 0
7 1 0 0
1 2 4 3
est une matrice `a ... lignes et ... colonnes. Pr´eciser a1,4= , a2,3= , a3,2= .
Que vaut a4,2?
D´
efinition
Deux matrice Aet Bsont ´egales ssi elles ont mˆeme taille et mˆemes coefficients.
On note alors A=B.
1.2 L’espace vectoriel Mn,p(K)
1.2.1 Addition de matrices
D´
efinition
Soit A= (ai,j )1in
1jp
et B= (bi,j )1in
1jp
deux matrices de Mn,p(K).
On appelle somme de Aet Bla matrice de Mn,p(K) not´ee A+Bd´efinie par
A+B= (ci,j )1in
1jp
o`u ci,j =ai,j +bi,j pour tout i[[1, n]] et j[[1, p]]
Exemple :
1 4
3 5
6 7
+
2 5
0 1
1 0
=
3 9
3 6
7 7
. On somme coefficient par coefficient !
1
1.2.2 Multiplication par un scalaire
D´
efinition
Soit A= (ai,j )1in
1jp
une matrice de Mn,p(K) et λun ´el´ement de K.
On appelle produit de Apar λla matrice de Mn,p(K) not´ee λ·Ad´efinie par
λ·A= (λai,j )1in
1jp
Exemple :
3×1 1
2 3=3 3
6 9. On multiplie chaque coefficient par λ!
1.2.3 Propri´et´es imm´ediates
Soit A, B, C trois ´el´ements de Mn,p(K) et λ, µ deux nombres r´eels.
1. A+B=B+A; 0n,p +A=A=A+ 0n,p ;A+ (A) = AA= 0n,p = (A) + A
2. (λ+µ)A=λA +µA ;λ(A+B) = λA +λB ;λ(µA) = (λµ)A
3. λA = 0n,p λ= 0 ou A= 0n,p
On en d´eduit au niveau du calcul que pour ces op´erations tout se passe comme dans K: par exemple,
l’´equation A+X=Bd’inconnue Xa une unique solution X=BA.
On verra dans le prochain chapitre d’alg`ebre, que les propri´et´es de l’addition de matrices et celles de la
multiplication par un scalaire pourront se r´esumer par :
Th´eor`eme
L’ensemble Mn,p(K) muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel.
1.3 Produit de matrices
D´
efinition
Soit A= (ai,j )1in
1jp
une matrice de Mn,p(K) et B= (bi,j )1ip
1jm
une matrice de Mp,m(K)
On appelle produit de Apar Bla matrice de Mn,m(K) not´ee AB ou A×Bd´efinie par
AB =A×B= (ci,j )1in
1jm
o`u ci,j =ai,1b1,j +ai,2b2,j +..+ai,pbp,j =
p
X
k=1
ai,kbk,j pour tout i[[1, n]] et j[[1, p]]
Sch´ema :
· · · · · · · · · · · ·
ai,1ai,2· · · ai,p
· · · · · · · · · · · ·
×
.
.
.b1,j
.
.
.
.
.
.b2,j
.
.
.
.
.
..
.
..
.
.
.
.
.bp,j
.
.
.
=
· · · · · · · · ·
· · · ci,j · · ·
· · · · · · · · ·
Exemple
1 2 1
0 1 1
12 0
2 0 3
×
1 1
3 1
1 2
=
Remarque 1 :
L’ordre d’´ecriture du produit est important car mˆeme si les deux produits AB et BA sont possibles, en
g´en´eral AB 6=BA :
Par exemple, avec A=1 1
0 1 et B=1 0
1 1 , on a AB =1 1
0 1 ×1 0
1 1 =2 1
1 1
2
et BA =1 0
1 1 ×1 1
0 1 =1 1
1 2
le produit des matrices n’est donc pas commutatif.
Remarque 2 :
Attention, contrairement `a ce qui se passe dans K, on peut avoir A6= 0, B6= 0 mais AB = 0 :
Par exemple, avec A=0 0
1 0et B=0 0
0 1,AB =0 0
0 0et BA =0 0
1 0=A.
Propri´et´es
Soit A,Bet Cdes matrices de tailles ad´equates et λK. Alors
ABC =A(BC)=(AB)C
λAB = (λA)B=A(λB) = λ(AB)
– (A+B)C=AC +BC et C(A+B) = CA +CB (distributivit´e)
1.4 Transpos´ee de matrices
D´
efinition
Soit A= (ai,j )1in
1jp
une matrice de Mn,p(K).On appelle transpos´ee de Ala matrice de Mp,n(K) not´ee
tAet d´efinie par :
tA= (ci,j )1ip
1jn
o`u ci,j =aj,i pour tout i[[1, n]] et j[[1, p]]
En d’autres termes, tAest la matrice obtenue `a partir de Apar sym´etrie, en ´echangeant les lignes et
les colonnes.
Exemple : Soit A=123
456. Alors tA=
1 4
2 5
3 6
.
Propri´et´es
Soit A, B deux matrices de Mn,p(K) et λun nombre r´eel. Alors :
t(A+B) = t
A+tBt(λA) = λt
A
t(t
A) = At(AB) = t
Bt
A
2 Matrices carr´ees
2.1 Matrices carr´ees particuli`eres
D´
efinition
1. On appelle diagonale d’une matrice carr´e A= (ai,,j )1in
1jn
les coefficients (ai,i)1in.
2. Une matrice diagonale d’ordre nest une matrice de la forme
a1,10· · · 0
0.......
.
.
.
.
.......0
0· · · 0an,n
remarque : les coefficients ai,i
peuvent ˆetre nuls
3. La matrice identit´e de Mn(K), not´ee Inest la matrice
In=
1 0 · · · 0
0.......
.
.
.
.
.......0
0· · · 0 1
Elle v´erifie : A∈ Mn(K), In×A=A×In=A.
3
Exemple : Avec I3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
et A=
231
400
011
v´erifier que AI3=A=I3A.
4. Une matrice triangulaire sup´erieure (ai,j ) (resp. inf´erieure) est une matrice telle que i>jai,j = 0
(resp i<jai,j = 0). Elle est donc de la forme
a1,1a1,2· · · a1,n1a1,n
0a2,2· · · .
.
..
.
.
.
.
. 0 ....
.
..
.
.
.
.
..
.
....an1,n1an1,n
0· · · 0 0 an,n
(resp.
a1,10· · · · · · 0
a2,1a2,20· · · .
.
.
.
.
.a3,2
.......
.
.
.
.
..
.
....an1,n10
an,n1· · · an1,n an,n1an,n
)
5. Une matrice Aest sym´etrique si (i, j)[[1, n]], ai,j =aj,i. Autrement dit si tA=A.
Elle est dite antisym´etrique si tA=A
Remarque
On peut facilement montrer que le produit de deux matrices diagonales (resp. triangulaires) est une matrice
diagonale (resp. triangulaire).
2.2 Puissances de matrices
D´
efinition
Soit A∈ Mn(K) et kun entier. On pose A0=Inet si k1, Ak=A×A×.. ×A
| {z }
k fois
Exemple :
11
2 3 2
=11
2 3 ×11
2 3 =12
4 7 6=(1)2(1)2
2232.
Proposition
Soit D∈ Mn(K) une matrice diagonale d’´el´ements diagonaux d1, ..., dn. Montrer que pour tout pN,
Dpest encore une matrice diagonale, d’´el´ements diagonaux dp
1, ..., dp
n.
preuve par r´ecurrence dans le cas n= 3.
Proposition
Soit A∈ Mn(K) et q, m deux entiers positifs. Alors on a AqAm=Aq+m.
Remarque
Attention ! (AB)k=ABABAB...AB 6=AkBk=AA...AB...BB a priori ...
Mais si AB =BA, alors (AB)k=AkBk.
D´
efinition
Soit Aet B∈ Mn(K).On dit que Aet Bcommutent si AB =BA.
Exemple : pour toute matrice A∈ Mn(K), Acommute avec In.
Th´eor`eme Formule du binˆome de Newton
Soient Aet Bdeux matrices qui commutent. Alors pour tout entier n, on a
(A+B)n=
n
P
k=0 n
kAkBnk
Remarque
En particulier, si les matrices commutent, l’identit´e remarquable (A+B)2=A2+ 2Ab +B2est vraie. On
peut facilement montrer que l’autre identit´e est vraie aussi car alors (AB)(A+B) = A2BA+ABB2=
A2AB +AB B2=A2B2.
4
2.3 Matrices inversibles
D´
efinition
Soit A∈ Mn(K). A est inversible s’il existe une matrice B∈ Mn(K) telle que AB =Inet BA =In.
La matrice B, unique, est alors appel´ee inverse de Aet est not´ee A1:
elle v´erifie le syst`eme AA1=In
A1A=In
L’ensemble des matrices inversibles de Mn(K) est not´e GLn(K).
Th´eor`eme (admis)
Soit A∈ Mn(K).
Si il existe B∈ Mn(K) telle que AB =Inalors Aest inversible d’inverse B. En particulier BA =In.
Si il existe B∈ Mn(K) telle que BA =Inalors Aest inversible d’inverse B. En particulier AB =In.
En pratique il suffira donc de trouver Bv´erifiant l’une des deux ´egalit´es de la d´efinition.
Exemples : In×In=Indonc Inest inversible et I1
n=In.
Qu’en est-il de 0n?
M´ethode pour trouver l’inverse d’une matrice `a l’aide d’un polynˆome annulateur
Exemple : Soit A∈ Mn(K) telle que A2+ 3A+ 2In= 0.
Montrer que Aest inversible et d´eterminer son inverse.
Proposition
Soient A, B deux matrices inversibles de Mn(K).Alors
A1est inversible et (A1)1=A
tAGLn(K) et (tA)1=t(A1)
AB GLn(K) et (AB)1=B1A1
En particulier, (preuve par r´ecurrence) pour tout entier p,Apest inversible et (Ap)1= (A1)p. On
note alors cette matrice Ap.
emonstration
1. Comme Aest inversible, on a AA1=Iet A1A=Idonc A1inversible d’inverse Ad’apr`es la
d´efinition. (ou utiliser une seule ´equation et citer la proposition ci-dessus). D’o`u (A1)1=A
2. On a AA1=Ind’o`u par transposition, t(AA1) = tInc`ad t(A1)tA=In. D’apr`es la proposition
ci-dessus, on obtient que tAest inversible d’inverse t(A1) : d’o`u ( tA)1=t(A1)
3. On v´erifie : (AB)(B1A1) = A(BB1)A1=AA1=Id’o`u AB est inversible d’inverse B1A1.
Proposition
Soit A, B deux matrices non nulles de Mn(K).Si AB = 0nalors ni Ani Bne sont inversibles.
preuve par l’absurde: Supposons que Aest inversible.
Alors A1existe, d’o`u AB = 0nA1AB =A10nB= 0 contradiction. Donc An’est pas inversible.
De mˆeme, Bn’est pas inversible.
R`egles de Calcul
Soit A, B deux matrices de Mn(K) et soit CGLn(K) donc Cest inversible.
AC =BA=BC1et CA =BA=C1B
AC =BC A=Bet CA =CB A=B
preuve :
AC =BACC1=BC1(mult. `a droite par C1inversible) AIn=BC1A=BC1
ACC1=Ad’o`u A=BC1. De mˆeme pour le deuxi`eme (on multipliera `a gauche par C1).
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