Matrices

Matrices
Dans tout ce chapitre, Kd´esigne Rou C.
1 Matrices rectangulaires
1.1 D´efinition
D´ efinition
1. Soient n, p deux nombres entiers non-nuls. On appelle matrice `a nlignes et pcolonnes `a coeffi-
cients dans Ktout tableau rectangulaire d’´el´ements de Kcomportant nlignes et pcolonnes :
A=
a1,1a1,2· · · a1,j · · · a1,p
a2,1a2,2. . . a2,j · · · a2,p
.
.
..
.
..
.
..
.
.
ai,1ai,2· · · ai,j · · · ai,p
.
.
..
.
..
.
..
.
.
an,1an,2· · · an,j · · · an,p
ai,j est le coefficient situ´e `a l’intersection de la i`eme ligne et j`eme colonne.
On note A= (ai,j )1≤i≤n
1≤j≤p
.
On dit aussi que Aest une matrice (n, p) ou une matrice de taille (ou type) (n, p)
2. L’ensemble des matrices `a nlignes et pcolonnes et `a coefficients dans Kse note Mn,p(K).
Si n=pon dit que la matrice est carr´ee et on note Mn,n(K) = Mn(K)
3. Un ´el´ement de M1,p(K) (resp. Mn,1(K)) s’appelle une matrice ligne ...(resp. colonne : 
.
.
.
).
4. La matrice nulle de Mn,p(K), que l’on note 0n,p,(ou 0 quand il n’y a pas d’ambiguit´e) est la matrice
o`u tous les coefficients sont nuls.
Exemple :
A=
2 2 −1 0
7 1 0 0
−1 2 4 −3
est une matrice `a ... lignes et ... colonnes. Pr´eciser a1,4= , a2,3= , a3,2= .
Que vaut a4,2?
D´ efinition
Deux matrice Aet Bsont ´egales ssi elles ont mˆeme taille et mˆemes coefficients.
On note alors A=B.
1.2 L’espace vectoriel Mn,p(K)
1.2.1 Addition de matrices
D´ efinition
Soit A= (ai,j )1≤i≤n
1≤j≤p
et B= (bi,j )1≤i≤n
1≤j≤p
deux matrices de Mn,p(K).
On appelle somme de Aet Bla matrice de Mn,p(K) not´ee A+Bd´efinie par
A+B= (ci,j )1≤i≤n
1≤j≤p
o`u ci,j =ai,j +bi,j pour tout i∈[[1, n]] et j∈[[1, p]]
Exemple :
1 4
3 5
6 7
+
2 5
0 1
1 0
=
3 9
3 6
7 7
. On somme coefficient par coefficient !
1

1.2.2 Multiplication par un scalaire
D´ efinition
Soit A= (ai,j )1≤i≤n
1≤j≤p
une matrice de Mn,p(K) et λun ´el´ement de K.
On appelle produit de Apar λla matrice de Mn,p(K) not´ee λ·Ad´efinie par
λ·A= (λai,j )1≤i≤n
1≤j≤p
Exemple :
3×1 1
2 3=3 3 6 9. On multiplie chaque coefficient par λ!
1.2.3 Propri´et´es imm´ediates
Soit A, B, C trois ´el´ements de Mn,p(K) et λ, µ deux nombres r´eels.
1. A+B=B+A; 0n,p +A=A=A+ 0n,p ;A+ (−A) = A−A= 0n,p = (−A) + A
2. (λ+µ)A=λA +µA ;λ(A+B) = λA +λB ;λ(µA) = (λµ)A
3. λA = 0n,p ⇔λ= 0 ou A= 0n,p
On en d´eduit au niveau du calcul que pour ces op´erations tout se passe comme dans K: par exemple,
l’´equation A+X=Bd’inconnue Xa une unique solution X=B−A.
On verra dans le prochain chapitre d’alg`ebre, que les propri´et´es de l’addition de matrices et celles de la
multiplication par un scalaire pourront se r´esumer par :
Th´eor`eme
L’ensemble Mn,p(K) muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel.
1.3 Produit de matrices
D´ efinition
Soit A= (ai,j )1≤i≤n
1≤j≤p
une matrice de Mn,p(K) et B= (bi,j )1≤i≤p
1≤j≤m
une matrice de Mp,m(K)
On appelle produit de Apar Bla matrice de Mn,m(K) not´ee AB ou A×Bd´efinie par
AB =A×B= (ci,j )1≤i≤n
1≤j≤m
o`u ci,j =ai,1b1,j +ai,2b2,j +..+ai,pbp,j =
p
X
k=1
ai,kbk,j pour tout i∈[[1, n]] et j∈[[1, p]]
Sch´ema :
· · · · · · · · · · · ·
ai,1ai,2· · · ai,p
· · · · · · · · · · · ·
×
.
.
.b1,j
.
.
.
.
.
.b2,j
.
.
.
.
.
..
.
..
.
.
.
.
.bp,j
.
.
.
=
· · · · · · · · ·
· · · ci,j · · ·
· · · · · · · · ·
Exemple 
1 2 −1
0 1 −1
1−2 0
2 0 3
×
−1 1
−3 1
1 2
=
Remarque 1 :
L’ordre d’´ecriture du produit est important car mˆeme si les deux produits AB et BA sont possibles, en
g´en´eral AB 6=BA :
Par exemple, avec A=1 1
0 1 et B=1 0 1 1 , on a AB =1 1 0 1 ×1 0 1 1 =2 1 1 1 
2

et BA =1 0
1 1 ×1 1
0 1 =1 1 1 2 
−→ le produit des matrices n’est donc pas commutatif.
Remarque 2 :
Attention, contrairement `a ce qui se passe dans K, on peut avoir A6= 0, B6= 0 mais AB = 0 :
Par exemple, avec A=0 0
1 0et B=0 0 0 1,AB =0 0 0 0et BA =0 0 1 0=A.
Propri´et´es
Soit A,Bet Cdes matrices de tailles ad´equates et λ∈K. Alors
–ABC =A(BC)=(AB)C
–λAB = (λA)B=A(λB) = λ(AB)
– (A+B)C=AC +BC et C(A+B) = CA +CB (distributivit´e)
1.4 Transpos´ee de matrices
D´ efinition
Soit A= (ai,j )1≤i≤n
1≤j≤p
une matrice de Mn,p(K).On appelle transpos´ee de Ala matrice de Mp,n(K) not´ee
tAet d´efinie par :
tA= (ci,j )1≤i≤p
1≤j≤n
o`u ci,j =aj,i pour tout i∈[[1, n]] et j∈[[1, p]]
En d’autres termes, tAest la matrice obtenue `a partir de Apar sym´etrie, en ´echangeant les lignes et
les colonnes.
Exemple : Soit A=123
456. Alors tA=
1 4
2 5
3 6
.
Propri´et´es
Soit A, B deux matrices de Mn,p(K) et λun nombre r´eel. Alors :
t(A+B) = t
A+tBt(λA) = λt A
t(t
A) = At(AB) = t Bt A
2 Matrices carr´ees
2.1 Matrices carr´ees particuli`eres
D´ efinition
1. On appelle diagonale d’une matrice carr´e A= (ai,,j )1≤i≤n
1≤j≤n
les coefficients (ai,i)1≤i≤n.
2. Une matrice diagonale d’ordre nest une matrice de la forme
a1,10· · · 0
0.......
.
.
.
.
.......0
0· · · 0an,n
remarque : les coefficients ai,i
peuvent ˆetre nuls
3. La matrice identit´e de Mn(K), not´ee Inest la matrice
In=
1 0 · · · 0
0.......
.
.
.
.
.......0
0· · · 0 1
Elle v´erifie : ∀A∈ Mn(K), In×A=A×In=A.
3

Exemple : Avec I3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
et A=
231
400
011
v´erifier que AI3=A=I3A.
4. Une matrice triangulaire sup´erieure (ai,j ) (resp. inf´erieure) est une matrice telle que i>j⇒ai,j = 0
(resp i<j⇒ai,j = 0). Elle est donc de la forme
a1,1a1,2· · · a1,n−1a1,n
0a2,2· · · .
.
..
.
.
.
.
. 0 ....
.
..
.
.
.
.
..
.
....an−1,n−1an−1,n
0· · · 0 0 an,n
(resp.
a1,10· · · · · · 0
a2,1a2,20· · · .
.
.
.
.
.a3,2
.......
.
.
.
.
..
.
....an−1,n−10
an,n−1· · · an−1,n an,n−1an,n
)
5. Une matrice Aest sym´etrique si ∀(i, j)∈[[1, n]], ai,j =aj,i. Autrement dit si tA=A.
Elle est dite antisym´etrique si tA=−A
Remarque
On peut facilement montrer que le produit de deux matrices diagonales (resp. triangulaires) est une matrice
diagonale (resp. triangulaire).
2.2 Puissances de matrices
D´ efinition
Soit A∈ Mn(K) et kun entier. On pose A0=Inet si k≥1, Ak=A×A×.. ×A
| {z }
k fois
Exemple :
−1−1
2 3 2
=−1−1
2 3 ×−1−1 2 3 =−1−2 4 7 6=(−1)2(−1)2 2232.
Proposition
Soit D∈ Mn(K) une matrice diagonale d’´el´ements diagonaux d1, ..., dn. Montrer que pour tout p∈N∗,
Dpest encore une matrice diagonale, d’´el´ements diagonaux dp
1, ..., dp
n.
−→ preuve par r´ecurrence dans le cas n= 3.
Proposition
Soit A∈ Mn(K) et q, m deux entiers positifs. Alors on a AqAm=Aq+m.
Remarque
Attention ! (AB)k=ABABAB...AB 6=AkBk=AA...AB...BB a priori ...
Mais si AB =BA, alors (AB)k=AkBk.
D´ efinition
Soit Aet B∈ Mn(K).On dit que Aet Bcommutent si AB =BA.
Exemple : pour toute matrice A∈ Mn(K), Acommute avec In.
Th´eor`eme Formule du binˆome de Newton
Soient Aet Bdeux matrices qui commutent. Alors pour tout entier n, on a
(A+B)n=
n
P
k=0 n
kAkBn−k
Remarque
En particulier, si les matrices commutent, l’identit´e remarquable (A+B)2=A2+ 2Ab +B2est vraie. On
peut facilement montrer que l’autre identit´e est vraie aussi car alors (A−B)(A+B) = A2−BA+AB−B2=
A2−AB +AB −B2=A2−B2.
4

2.3 Matrices inversibles
D´ efinition
Soit A∈ Mn(K). A est inversible s’il existe une matrice B∈ Mn(K) telle que AB =Inet BA =In.
La matrice B, unique, est alors appel´ee inverse de Aet est not´ee A−1:
elle v´erifie le syst`eme AA−1=In
A−1A=In
L’ensemble des matrices inversibles de Mn(K) est not´e GLn(K).
Th´eor`eme (admis)
Soit A∈ Mn(K).
– Si il existe B∈ Mn(K) telle que AB =Inalors Aest inversible d’inverse B. En particulier BA =In.
– Si il existe B∈ Mn(K) telle que BA =Inalors Aest inversible d’inverse B. En particulier AB =In.
−→ En pratique il suffira donc de trouver Bv´erifiant l’une des deux ´egalit´es de la d´efinition.
Exemples : In×In=Indonc Inest inversible et I−1
n=In.
Qu’en est-il de 0n?
M´ethode pour trouver l’inverse d’une matrice `a l’aide d’un polynˆome annulateur
Exemple : Soit A∈ Mn(K) telle que A2+ 3A+ 2In= 0.
Montrer que Aest inversible et d´eterminer son inverse.
Proposition
Soient A, B deux matrices inversibles de Mn(K).Alors
•A−1est inversible et (A−1)−1=A
•tA∈GLn(K) et (tA)−1=t(A−1)
•AB ∈GLn(K) et (AB)−1=B−1A−1
En particulier, (preuve par r´ecurrence) pour tout entier p,Apest inversible et (Ap)−1= (A−1)p. On
note alors cette matrice A−p.
D´emonstration
1. Comme Aest inversible, on a AA−1=Iet A−1A=Idonc A−1inversible d’inverse Ad’apr`es la
d´efinition. (ou utiliser une seule ´equation et citer la proposition ci-dessus). D’o`u (A−1)−1=A
2. On a AA−1=Ind’o`u par transposition, t(AA−1) = tInc`ad t(A−1)tA=In. D’apr`es la proposition
ci-dessus, on obtient que tAest inversible d’inverse t(A−1) : d’o`u ( tA)−1=t(A−1)
3. On v´erifie : (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1=AA−1=Id’o`u AB est inversible d’inverse B−1A−1.
Proposition
Soit A, B deux matrices non nulles de Mn(K).Si AB = 0nalors ni Ani Bne sont inversibles.
preuve par l’absurde: Supposons que Aest inversible.
Alors A−1existe, d’o`u AB = 0n⇒A−1AB =A−10n⇒B= 0 contradiction. Donc An’est pas inversible.
De mˆeme, Bn’est pas inversible.
R`egles de Calcul
Soit A, B deux matrices de Mn(K) et soit C∈GLn(K) donc Cest inversible.
•AC =B⇔A=BC−1et CA =B⇔A=C−1B
•AC =BC ⇔A=Bet CA =CB ⇔A=B
preuve :
AC =B⇔ACC−1=BC−1(mult. `a droite par C−1inversible) ⇔AIn=BC−1⇔A=BC−1
ACC−1=Ad’o`u A=BC−1. De mˆeme pour le deuxi`eme (on multipliera `a gauche par C−1).
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