L`ensemble Z/nZ

CHAPITRE 1 : L’ensemble Z=nZ
Dans tout ce chapitre, ndésigne un entier supérieur ou égal à 2.
I Dé…nitions.
Dé…nition I.1 Soit aet bdeux entiers relatifs. On dit que aest congru àbmodulo nsi abest un multiple
de n. Cette propriété se note abmod nou ab[n].
Remarque I.1 Deux nombres sont congrus modulo nsi et seulement si ils ont le même reste dans la division
euclidienne par n.
Proposition I.1 La relation de congruence modulo nest une relation d’équivalence.
Démonstration. Comme tout entier divise 0, il est clair que pour tout a2Zon a aa[n]. D’autre part,
si ndivise abalors ndivise ba: la relation est symétrique. En…n, s’il existe q2Ztel que ab=nq et
s’il existe k2Ztel que bc=nk alors ac=n(q+k)donc ndivise acdonc ac[n]: la relation est
transitive.
Dé…nition I.2 Pour tout entier n2,Z=nZest l’ensemble quotient de Zpar la relation de congruence
modulo n.
On peut noter Z=nZ=_ 0;_ 1;_ 2; : : : ; n1où _xest la classe de xc’est à dire l’ensemble des nombres dont
la division euclidienne par na pour reste x.
On dé…nit une opération somme notée +et une opération multiplication notée sur Z=nZde la façon
suivante :
_a+_ b= a+b
_a_ b= ab
Proposition I.2 Les opérations ci-dessus sont bien dé…nies et (Z=nZ;+;)est un anneau commutatif.
Démonstration. Faite dans le cours "Anneaux et arithmétique"
Exemple I.1 Quelques calculs dans Z=10Z
_
3 + _ 8 = 11 = _ 1,_ 4_ 4 = 16 = _ 6,
_
2 + _ 8 = 10 = _ 0on dit que _ 8est l’opposé de _ 2et que _ 2est l’opposé de _ 8.
_
3_ 7 = 21 = _ 1on dit que _ 7est l’inverse de _ 3et que _ 3est l’inverse de _ 7.
_
2_ 5 = _ 0: on dit que _ 2et _ 5sont des diviseurs de zéros.
_
5 + _ 5 = _ 0donc _ 5est égal à son opposé !
_
9_ 9 = 81 = _ 1donc _ 9est égal à son inverse.
_
3100 =_
3250 =_ 950 =_ 9225 =_ 125 =_ 1
1

II Éléments inversibles et diviseurs de zéros.
Dé…nition II.1 Soit _xun élément non nul de Z=nZ. On dit que _xest un diviseur de zéro si et seulement
si il existe _y6=_ 02Z=nZtel que
_x_y=_ 0
Exemple II.1 _ 6est un diviseur de zéro dans Z=36Zcar _ 62=_ 0
Dé…nition II.2 Soit _xun élément de Z=nZ, on dit que _xest inversible si et seulement si il existe _y2Z=nZ
tel que
_x_y=_ 1
Alors cet élément _yest unique et s’appelle l’inverse de xet on le note ( _x)1. L’ensemble des éléments
inversibles de Z=nZest noté (Z=nZ).
Remarque II.1 La dé…nition précédente permet de dé…nir les éléments inversibles d’un anneau commutatif
quelconque.
Remarque II.2 Soit _xun élément de Z=nZalors _xne peut pas être à la fois inversible et un diviseur de
zéro.
Démonstration. Supposons qu’il existe _ytel que _x_ _y=_ 1et _z6=_ 0tel que _x_ _z=_ 0alors
_x_y_z= _z
= _x_z_y=_ 0
ce qui donne une contradiction.
Dé…nition II.3 On appelle fonction indicatrice d’Euler et on note 'l’application de Ndans Ndé…nie
par
(n) = j(Z=nZ)j
où jEjdésigne le cardinal de l’ensemble E.
Exemple II.2 On a '(2) = 1,'(3) = 2,'(4) = 2,'(5) = 4,'(6) = 2,'(7) = 6 et '(8) = 4.
Le théorème que l’on va voir maintenant est très important et il découle essentiellement de la remarque
très simple suivante :
Remarque II.3
Si l’on a une expression du type A=B+Cou A+B+C= 0
entre trois entiers A; B et C. Alors tout nombre divisant deux de
ces entiers divise automatiquement le troisième. En particulier,
on a A^B=A^C=B^Con rappelle que A^B=pgcd(A; B).
Une autre conséquence est le théorème suivant, énoncé pour la
première fois en 1612 par Bachet.
Claude Gaspard Bachet
de Méziriac (1581 - 1638)
Théorème 1 :Théorème de Bézout. Les entiers aet bsont premiers entre eux si et seulement s’il existe
deux entiers relatifs uet vtels que 1 = au +bv.
2

Démonstration. Faite dans le cours "Anneaux et arithmétique". Donnons tout de même quelques indications
: tout nombre divisant aet bdivse forcément au +bv et donc au +bv est un multiple de pgcd(a; b), donc si
au +bv vaut 1c’est que aet bsont premiers entre eux.
Pour illustrer encore la remarque ci-dessus examinons l’équation suivante :
35x+ 77y= 55
pouvez-vous la résoudre ?
Solution : Comme 35 et 77 sont multiples de 7;le terme de gauche est toujours multiple de 7et donc il
ne peut pas être égal à 55 et l’équation n’a pas de solutions.
Proposition II.1 Soit _x2Z=nZon a
_xinversible () x^n= 1
Démonstration. _xest inversible ssi 9_ytel que _x_ _y=_ 1ssi 9y; k tels que xy= 1 + kn ssi 9y; k tels que
xy kn = 1 ssi x^n= 1:
Exposons maintenant une conséquence de ce théorème :
Corollaire II.1 '(n)est égal au nombre de nombres entiers positifs inférieurs à net premiers avec n.
Proposition II.2 En particulier si pest un nombre premier '(p) = p1et '(pr) = pr1(p1)
Démonstration. Seule la dernière formule n’est pas évidente. Les nombres qui ne sont pas premiers avec pr
sont les multiples de p; il y en a pr1entre 0et pr1donc '(pr) = prpr1.
Exemple II.3 On a '(37) = 36,'(49) = 42,'(64) = 32.
On peut aussi grace au théorème de Bézout préciser la relation entre les éléments inversibles et les diviseurs
de zéro de Z=nZ:
Corollaire II.2 Dans Z=nZtout élément qui n’est pas inversible est un diviseur de zéro.
Démonstration. Si _xn’est pas inversible alors x^n=d6= 1, soit y=n
d2Ncomme xy est multiple de n
on a _x_y=_ 0.
Maintenant l’on va montrer une formule "fondamentale" (dans le sens que beaucoup de théorème l’utilisent)
en théorie des nombres
Lemme II.1 Soit n2on a
n=X
djn
'(d)(1)
Démonstration. Écrivons les fractions : i
nsous forme réduite pour 0i < n. Pour dun diviseur de n; les
fractions obtenues de dénominateur dsont les j
davec 0j < d et j^d= 1, il y en a donc '(d). La formule
est alors claire.
À partir de maintenant on va s’abstenir de mettre les points au dessus des lattres désignant les éléments
de Z=nZ, le contexte devant permettre d’éviter toute confusion.
3

III Et si nest un nombre premier ?
Dans ce paragraphe (et même dans le reste de ce cours) pdésignera un nombre premier. Comme on l’a vu
ci-dessus dans Z=pZtout les éléments non nuls sont inversibles, c’est à dire que Z=pZest un corps. Dans un
corps les résultats sont moins surprenants qu’ils peuvent l’être dans un anneau. Par exemple il n’y a pas de
diviseurs de zéros dans un corps. Mais plus important encore à savoir :
Proposition III.1 Une équation polynomiale de degré dà coe¢ cients dans un corps Kadmet au plus d
solutions dans ce corps
Démonstration. Soit Pun polynôme de K[X]de degré d, et soit aune solution de P(X) = 0. Écrivons
le division euclidienne de Ppar Xa, on obtient P=Q(Xa) + Ravec deg (R)<deg (Xa) = 1
donc Rest une constante, en remplaçant Xpar adans l’équation précédente on trouve que R= 0 donc Pest
divisible par Xa. (ceci est toujours vrai si le polynôme a ses coe¢ cients dans un anneau quelconque, Z=nZ
par exemple ;-) ).
Si best une autre solution de P(X) = 0 alors on a P(b) = 0 = Q(b)(ba)et comme il n’y a pas de
diviseur de zéros dans un corps cela implique que Q(b)=0et donc que l’on peut factoriser Qpar Xbet
donc que l’on peut factoriser Ppar (Xa) (Xb)(ceci est maintenant généralement faux dans Z=nZmais
c’est vrai dans Z=pZ).
En itérant le raisonnement on voit que si l’équation admet ssolutions alors Pest divisible par un polynôme
de degré set donc sd.
Ce résultat nous sera utile dans le cas ou K=Z=pZ;il n’est généralement pas vrai dans Z=nZ, par exemple
l’équation X3X= 0 admet 6solutions dans Z=6Z.
Voici une application simple qui nous servira plusieurs fois :
Corollaire III.1 x2Z=pZvéri…e x2= 1 alors on a x=1.
Démonstration. L’équation x2= 1 admet au plus deux solutions d’après la proposition précédente et on a
deux solutions qui sont 1et 1donc on les a toutes.
Énonçons une autre particularité de Z=pZ.
Lemme III.1 Soit aet bdans Z=pZon a
(a+b)p=ap+bp
Démonstration. Il su¢ t de montrer que Ck
pest un multiple de ppour 1kp1pour que la formule du
binome de Newton donne le résultat. Or Ck
p=p(p1)(pk+1)
k!comme p^k! = 1 d’après le théorème de Gauss
k!divise (p1)      (pk+ 1) et donc Ck
pest un multiple de p.
Théorème 2 Petit théorème de Fermat : soit pun nombre premier alors tout élément nde Z=pZvéri…e
np=n
De plus si n6= 0 on a
np1= 1
Pierre de Fermat
(1601-1665)
Démonstration. On va procéder par récurrence sur n. Si n= 0 ou n= 1 le résultat est clair. Supposons
que pour un n…xé on ait np=nd’après le lemme précédent on a (n+ 1)p=np+ 1p=np+ 1 appliquons
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l’hypothèse de récurrence et l’on obtient (n+ 1)pn+ 1 donc le résultat est vrai pour l’entier n+ 1, ce qui
permet de conclure sur le premier point.
Si n6= 0 alors nest inversible dans Z=pZet en multipliant par l’inverse de nl’égalité du premier point,
on obtient le second.
On va démontrer maintenant un théorème un peu plus général qui nous sera utile par la suite :
Théorème 3 Soit pun nombre premier impair, on pose p1=2kqoù qest impair. Soit a2Z=pZ,a6= 0,
on a
aq= 1
ou bien
Il existe un entier ivéri…ant 0i < k tel que a2iq=1
Démonstration. D’après le petit théorème de Fermat on a
ap1=a2kq= 1 = a2k1q2
et donc d’après le corollaire III.1 on a soit a2k1q=1(et le théorème est vrai), soit
a2k1q= 1 = a2k2q2
et donc d’après le corollaire III.1 on a soit a2k2q=1(et le théorème est vrai), soit a2k2q= 1 et ainsi de
suite on va arriver à ce que a2iq=1pour un entier i0ou aq= 1.
IV Équations et système d’équations
a) Équation ax =bdans Z=nZ.
La résolution de l’équation ax =best immédiate dans l’ensemble des nombres réels ou complexes. Dans Z,
elle admet une solution si et seulement si best un multiple de a. Voyons ce qu’il en est dans Z=nZ.
Proposition IV.1 On considère l’équation ax =bdans Z=nZ, soit d=a^non a :
Si d-balors l’équation n’a pas de solution.
Si djbalors l’équation admet dsolutions. En particulier si d= 1 alors la solution est x=a1b.
Démonstration. Si d-bsupposons que xsoit une solution de l’équation ax =bdans Z=nZ. Il existerait
alors un entier ktel que on ait l’égalité ax =b+kn dans Z, comme djaet djncette équation implique que
djbet on a une contradiction.
Si djb, notons a1=a
d,b1=b det n1=n d. On cherche à résoudre l’équation à deux inconnues (xet k) dans
Z:ax +kn =bqui est équivalente à a1x+kn1=b1qui donne a1x=b1dans Z=n1Zcomme a1^n1= 1,a1
est inversible Z=n1Zet cette équation admet pour unique solution x=a1
1b1. Par conséquent, les solutions
de l’équation ax =bdans Z=nZsont de la forme x=a1
1b1+jn1et il n’y en a que ddistinctes modulo n.
b) Théorème des restes chinois.
Ce théorème nous permet de résoudre explicitement un système d’équations à une seule inconnue !
Théorème 4 Soit n=n1n2     nkavec les nombres (ni)1ikdeux à deux premiers entre eux. Alors
le système d’équation 8
>
>
>
<
>
>
>
:
xa1[n1]
xa2[n2]
.
.
.
xak[nk]
5