Algorithme de planification de mouvement sur les variétés

Algorithme de plani…cation de mouvement sur les
variétés topologiques compactes
Younes Derfou…
CRMEF OUJDA
January 2014
(Institute) Séminaire de Topologie Algébrique 11/10 1 / 32

Résumé
L’objectif principale de cet article est l’étude de l’ensemble des algorithmes
de plani…cation de mouvement M(X)sur les variéts toplogiques
compactes. Nous montrons dans un premier temps qu’on peut munir ce
dernier d’une structure d’espace métrique complet (M(X),δ).Nous
dé…nissons ensuite un groupe topologique (C
I,)constitué des
homémorphismes de [0,1]dans lui même et qui opère continument sur
(M(X),δ).Nous dé…nissons par la suite une isométrie sur (M(X),δ)qui
conserve l’homotopie. Dans la même rubrique nous montrons qu’à
homotopie près il n’existe qu’un seul algorithme de plani…cation de
mouvement sur une variété topologique compacte, connexe par arc et
contractile et par conséquent son groupe fondamentale est triviale.
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Résumé
Dans un second temps nous dé…nissons sur les varités di¤érentiable
di¤érent type de compléxité topologique TC di¤ ,TC Ck,TClisse ... ainssi
que les liens qui existent entres ces derniers et celle dé…nie par M. Farber
[1].En…n par application du théorème de prologement de Whitney nous
montrons que Si Xest une variété riemannienne compacte de dim =m
alors l’espace des algorithmes de plani…cation de mouvement (M(X),δ)
est isométrique à un espace (M(B),δ)où Best une boule arbitrairement
petite de l’espace Euclidien de dim =2m.
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Complexité topologique
Soit Xun espace topologique et PX =fγ:[0,1]! Xgl’espace des
chemins continues de X. On dé…nit l’application π:PX ! XXpar
γ! (γ(0),γ(1)).(PX est équipé de la topologie Compacte Ouverte
( ie compact open topology )
De…nition
La complexité topologique de Xest le plus petit entier kpour lequel Il
existe un recouvrement Ouvert fUigk
i=1de XXtel que :
Pour tout i2 f1, ..., kgil existe une locale section si:Ui! PX ( ie
application continue si:si:Ui! PX telle que πsi(x) = x8x2Ui)
On écrit alors TC (X) = k( S’il n’existe aucun entier k veri…ant les
conditions ci-dessus on pose TC (X) = ∞)
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Complexité topologique
proposition
(TC (X) = 1)() Xest contractil
Examples
Si Cest une partie convexe d’un evn alors TC (C) = 1,en particulier
pour toute boule Bd’un evn Eon a TC (B) = 1
Examples
TC (S1) = 2
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