(X) = 1 - Maths au lycée Mezeray

Probabilités : lois continues
I.
Définitions générales .
1.
Rappels sur les lois de probabilités discrètes
a. Cas général
Une variable aléatoire X est dite discrète si elle ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs 𝑥𝑖
Sa loi de probabilité est alors donnée par le tableau suivant :
𝒙𝒊
𝑥1
𝑥2
…
𝑥𝑛
p(X = 𝒙𝒊 )
p(X = 𝑥1 )
p(X = 𝑥2 )
…
p(X = 𝑥𝑛 )
1
Tableau pouvant être représenté par un diagramme en bâtons
La somme des « longueurs des bâtons » devant être égale à 1
L’espérance de X est donnée par E(X) = ∑𝑖=𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖 p(X = 𝑥𝑖 )
𝑖=𝑛
2
2
Et la variance par V(X) = ∑𝑖=1 (𝑥𝑖 − 𝐸(𝑥))2 p(X = 𝑥𝑖 ) = ∑𝑖=𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖 p(X = 𝑥𝑖 ) – (𝐸(𝑥))

Exercice :
Soit l'expérience aléatoire : "On lance un dé à six faces et on regarde le résultat."
On considère le jeu suivant :
- Si le résultat est pair, on gagne 1€.
- Si le résultat est 1, on gagne 5€.
- Si le résultat est 3 ou 5, on perd 2€.
On note X la variable aléatoire correspondant au gain .
Donner la loi de probabilité de X , son espérance mathématique et sa variance .
b.
Cas de la loi binomiale B(n,p)
Dans un schéma de Bernoulli comportant n épreuves indépendantes avec ,pour chaque épreuve , 2 issues
possibles s et 𝑠̅ de probabilités respectives p et q = 1 – p , et pour la variable aléatoire X correspondant au
nombre de succès s on a :
Loi de probabilité (loi binomiale ) donnée par 𝒑(𝑿 = 𝒌) = (𝒏𝒌) 𝒑𝒌 𝒒𝒏−𝒌
Espérance donnée par E(X) = np
Variance donnée par V(X) = npq = n p (1–p)

Exercice
On lance un dé supposé parfait 10 fois . X représente le nombre de sorties du 6 .
 Calculer p(X = 4) puis p(X ≤ 4 )
 Calculer l’espérance de X , sa variance et son écart-type .
1
La loi de probabilité de l’exemple précédant est donnée par le tableau ci-dessous et sa représentation graphique
est jointe .
0.35
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
p
0,16150558
0,32301117
0,29071005
0,15504536
0,05426588
0,01302381
0,00217064
0,00024807
1,8605E-05
8,2691E-07
1,6538E-08
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
On conçoit alors que , pour un très grand nombre de lancés , la représentation en bâtons va être formée de
bâtons très rapprochés ( pour pouvoir mettre en abscisse toutes les valeurs de X ) donnant donc pratiquement
une surface . La somme des « longueurs des bâtons » (égale à 1 ) correspond alors à l’aire de la surface en
question et donc cette aire devant être égale à 1 .
OK cela est un peu « capilo-tracté » mais permet d’avoir une approche de la notion de variable aléatoire
continue .
En effet on peut rencontrer des variables aléatoires pouvant prendre une infinité de valeurs par exemple tous
les réels d’un intervalle .
2.
Variable aléatoire continue .
a. Exemple
On s’intéresse à la probabilité de durée de vie en heure d’une ampoule électrique .
Si on note X la durée de vie et en supposant que la durée de vie maximum d’une ampoule est de 4 ans , on peut
considérer que X prend toutes les valeurs de l’ intervalle [0 ; 35 040 ] ( 35040 = nombre d’heures en 4 ans )
Chercher la probabilité de X = a n’a pas grand intérêt ( par exemple on se fiche un peu de connaître la
probabilité que l’ampoule ait une durée de vie de 1247 heures ! ) mais admettons que cette probabilité soit
donnée par une certaine fonction f . On aurait donc p(X = a) = f(a)
Pour que on soit en adéquation avec ce qui a été dit pour les lois discrètes , il faut donc , d’un point de vue
graphique , que la somme de toutes les « longueurs des bâtons » soit égale à 1 pour « a » allant de 0 à 35040 .
Et donc , que l’aire de la partie du plan sous la représentation graphique de f , au-dessus de l’axe des abscisses
et entre les droites d’équations x = 0 et x = 35040 soit égale à 1 .
On reconnaît là la traduction graphique de l’écriture de :
35040
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
0
2
La probabilité de l’événement « b ≤ 𝑋 ≤ 𝑐 » étant la somme des probabilités des évènements « X = a »
pour « a » variant entre b et c , par la même interprétation par les « bâtons » , on a :
𝑐
P(b ≤ 𝑋 ≤ 𝑐 ) = ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
On voit bien que chercher la probabilité de « X = a » n’a pas de sens avec cette définition puisque on aurait :
𝑎
P(X = a) = P(a ≤ 𝑋 ≤ 𝑎 ) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
Pour les lois continues on calcule donc P(X ∈ I ) où I est un intervalle inclus dans l’ensemble de définition de f
.
b. Fonction de densité
On appelle fonction de densité ( ou densité ) sur l’intervalle I toute fonction f définie et positive sur
I telle que l’intégrale de f sur I soit égale à 1 .
c.
Probabilité d’une variable aléatoire continue
Etant donnée une variable aléatoire continue sur l’intervalle I .On définit une loi de probabilité de la
variable aléatoire continue associée à la fonction de densité f sur l’intervalle I par :
Pour a et b dans I
𝑏
P(X ∈ [𝒂; 𝒃]) = P( 𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
Remarques :
 P(X ∈ [𝒂; 𝒃]) = P(X ∈ [𝒂; 𝒃[) = P(X ∈]𝒂; 𝒃]) = P(X ∈]𝒂; 𝒃[ )
𝑎
car P(X = a) = P(a ≤ 𝑋 ≤ 𝑎 ) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 de même pour
P(X = b)
𝐛
 P(X ∈ [𝐚; + ∞ [ ) = 𝐥𝐢𝐦 ∫𝐚 𝐟(𝐱)𝐝𝐱
𝐛→ + ∞
 Si X est à valeurs dans [a;b] alors pour tout c de [a;b] on a
P(X ≥ 𝒄 ) = P( X ∈ [𝒄; 𝒃]) = 1 – P(X ∈ [𝒂; 𝒄]) = 1 – P( X ≤ 𝒄 )
démonstration :
d.
Espérance mathématique
Par analogie avec l’espérance pour une variable aléatoire discrète E(X) = ∑𝑖=𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖 p(X = 𝑥𝑖 )
𝑖=𝑛
En remplaçant la somme finie ∑𝑖=1
par la somme ∫
et p(X = 𝑥𝑖 ) par f(x)
On a :
Etant donnée une variable aléatoire X continue sur l’intervalle [a ;b] associée à la fonction de densité
f sur l’intervalle [a ;b] on a :
𝒃
E(X) = ∫𝒂 𝒙 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
e.
Exercice
Dans un état fictif , un fonctionnaire se tourne les pouces de manière continue .Soit X le nombre de tours de
pouces ( en milliers)effectués par jour . On admet que X prend ses valeurs dans l'intervalle [0 ; 20] avec une
densité de probabilité f définie par : f(x) = 0,015 x – 0,00075 x²
a) Démontrer que f est une densité de probabilité sur [0 ; 20].
b) Calculer la probabilité de l'événement E "le fonctionnaire se tourne les pouces plus de 12 000 fois".
c) Calculer l'espérance mathématique de X.
4
a) Par étude du trinôme 0,015 x – 0,00075 x² on a 2 racines 0 et 20
( car 0,015 x – 0,00075 x² = x(0,015 –0.00075 x )
Et donc (signe du trinôme) f (x)  0 sur [0 ; 20].
De plus

20
20
f (t) dt  0,0075t 2  0,00025t 3   0,0075  202  0,00025  203  0  1
0
0
Donc f est bien une densité sur [0 ; 20].
b) P(E)  P(12  X  20)


20
f (t) dt
12
 0,0075t 2  0,00025t 3 
20
12
 0,0075  202  0,00025  203  0,0075  122  0,00025  123
 1  0,648
 0,352
c) E( X ) 

20
0



t f (t) dt
20
0
20
0
t f (t) dt
0,015t 2  0,00075t 3 dt
 0,005t 3  0,0001875t 4 
20
0
 0,005  20  0,0001875  204  0
 10
3
II.
1.
Exemple 1 : loi uniforme sur [a ;b]
Définition
Soit a et b deux réels tels que 𝒂 < 𝑏
La loi uniforme sur [a ;b] , notée 𝑼([𝒂;𝒃]) , est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction
constante f définie sur [a ; b], par : f(x) =
𝟏
𝒃−𝒂
Montrer que f est bien une densité sur [a ;b]
2. Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme 𝑼([𝒂;𝒃])
Alors, pour tout t de [a ; b] , on a : P(𝒂 ≤ X ≤ 𝒕 ) =
𝒕 −𝒂
𝒃− 𝒂
Démonstration :
5
P(a  X  x) 

x
a
x
1
1
xa
t  
dt 
a
b a
b a
b a
3. Espérance mathématique
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme 𝑼([𝒂;𝒃])
Alors :
E(X) =
𝒂+𝒃
𝟐
Démonstration : (à faire )
4. Exercice :
Au supermarché Carouf , un jour de grande affluence , le temps d’attente T (en minutes) à la caisse de Ginette
suit la loi uniforme sur [2 ; 20]
a. Donner la fonction de densité
b. Quelle est la probabilité d’attendre moins d’un quart d’heure à la caisse de Ginette ?
c. Quel est le temps d’attente moyen à la caisse de Ginette ?
6
III.
Exemple 3 : Loi normale centrée réduite
1. Définition
La loi normale centrée réduite , notée N (0,1) , est la loi ayant pour densité de probabilité la
fonction 𝝋 définie sur ] – ∞ ; + ∞ [
par :
𝝋(x) =
𝟏
√𝟐𝝅
𝒆
−
𝒙𝟐
𝟐
𝝋 est appelée fonction de densité de Laplace-Gauss
La fonction 𝜑 a une allure particulière appelée « courbe en cloche » (On parle aussi de « gaussienne »).
Cette répartition est courante dans la nature d’où le nom de loi « normale »
Montrer que 𝜑 est bien une densité sur ] – ∞ ; + ∞ [ nécessite des connaissances plus élaborées car , si il est
+∞
évident que 𝜑 est continue et positive sur ] – ∞ ; + ∞ [ , la démonstration de ∫− ∞ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥 = 1 est difficile
car on ne connaît pas de primitive de 𝜑 et il faut alors utiliser la technique de calcul de l’intégrale de Gauss
Le calcul de cette intégrale est très largement hors programme .
On admettra donc que 𝜑 est bien une fonction de densité sur ] – ∞ ; + ∞ [
Donc
+∞
+∞
∫− ∞ 𝜑(𝑥) 𝑑𝑥 = , ∫− ∞
1
−
𝒆
√2𝜋
𝒙𝟐
𝟐
𝑑𝑥 = 1
Pour des raisons de symétrie de la courbe , on a :
+∞
∫0
1
−
𝒆
√2𝜋
𝒙𝟐
𝟐
𝑑𝑥 =
1
2
et
0
1
−
∫− ∞ √2𝜋 𝒆
𝒙𝟐
𝟐
𝑑𝑥 =
1
2
2. Propriétés
Soit la variable aléatoire X qui suit la loi normale centrée réduite , notée N (0,1)
Pour des raisons de symétrie de la représentation graphique de 𝜑
on a : pour tout a strictement positif
 P(0 < X < a ) = P(– a < X < 0 )
𝑎
0
(car ∫0 𝜑(𝑡)𝑑𝑡 = ∫−𝑎 𝜑(𝑡)𝑑𝑡 )
 P(– a < X < a ) = 2 P(0 < X < a )
De plus il est important de penser aux résultats suivants
 P(X < 0 ) = 0.5 et P(X> 0) = 0.5
 P( X < a ) = 0.5 + P(0 < X < a )
 P( X < – a ) = 0.5 – P(–a < X < 0 )
Démontrer ces 2 derniers résultats
7
3. Calcul de P( X ∈ [a ; b] )
𝑏
Si X est une variable aléatoire qui suit une loi N (0,1) , pour calculer P( X ∈ [a ; b] ) = ∫𝑎
1
−
𝒆
√2𝜋
𝒙𝟐
𝟐
𝑑𝑥
Nous n’avons pas d’autre choix que d’utiliser la calculatrice , d’où la nécessité de connaître la
séquence de touches
Avec Casio

OPTN → STAT → DIST → NORM →
𝑁𝑝𝑑
{ 𝑁𝑐𝑑
𝑖𝑛𝑣𝑁

Npd permet de calculer les valeurs de la densité f
La syntaxe est alors NormPD( « valeur »)
par exemple pour calculer f(1.2) =
𝟏
√𝟐𝝅
𝒆−
𝟏.𝟐𝟐
𝟐
on tape NormPD(1.2) on obtient environ 0.194186

Ncp permet de calculer P( a< X < b )
La syntaxe est alors NormCD( « borne inf », « borne sup »)
par exemple pour calculer P( –1.5 < X < 2.2 ) on tape NormCD(–1.5,2.2) on obtient environ
0.919289

la fonction invN donne le nombre réel k tel que P(X < k) = « valeur » , la « valeur » devant
être nécessairement entre 0 et 1 (puisque c’est une probabilité ! ) Cette fonction va être
importante dans la suite .
La syntaxe est InvNormCD(« valeur »)
Par exemple InvNormCD(0.3) donne environ – 0.5244 donc P(X < – 0.5244) ≈ 0.3
4. Exercice
La variable X aléatoire suit la loi normale N (0,1) ( les résultats seront données en valeurs arrondis au
millième ).
Calculer P( –1.34 < X < 2.27 )
b. Calculer P(X < – 1.754)
c. Déterminer le réel a tel que P(X < a) = 0.275
a.
8
5. Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite , notée N (0,1)
Alors
 P( – 𝟏. 𝟗𝟔 < 𝑋 < 𝟏. 𝟗𝟔 ) ≈ 0.95 = 95 %
c’est à dire que environ 95 % des valeurs de X se trouve dans l’intervalle ]– 𝟏. 𝟗𝟔 ; 𝟏. 𝟗𝟔 [
Et
 P( – 𝟐. 𝟓𝟖 < 𝐗 < 𝟐. 𝟓𝟖) ≈ 0.99 = 99 %
c’est à dire que environ 99 % des valeurs de X se trouve dans l’intervalle ]– 𝟐. 𝟓𝟖 ; 𝟐. 𝟓𝟖 [
Vérification à la calculatrice :
6. Espérance et écart-type
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite , notée N (0,1)
Alors son espérance est nulle et son écart-type vaut 1
E(X) = 0
et 𝝈 (X) = 1
Ces résultats sont admis
7. Exercices
Exercice 1
La variable X aléatoire suit la loi normale N (0,1) ( les résultats seront données en valeurs arrondis au
millième ).
a. Calculer P(X=1)
b. Calculer P(–1.5 < X < 2.2)
c. Calculer P(X < 1.3)
d. Calculer P(X > 0.22)
e. On note A l’événement « X > –0.38 » et B l’événement « X < 1.02 » calculer 𝑃𝐴 (𝐵) .
Exercice 2
Lors d’un concours , la moyenne des notes est 8 .
T est la variable aléatoire qui donne l’écart entre t – 8 où t est la note obtenue par un candidat .
T suit la loi normale centrée réduite N (0,1) .
a. A combien faut-il fixer la note seuil d’admissibilité à ce concours pour que 60% des candidats soient
admissibles ?( arrondir au centième )
b. Dans quel intervalle de notes centré en 8 trouve - t -on 80 % des notes des candidats ?
9
Exercice 3
Une embouteilleuse remplit de jus de pommes des bouteilles de 100 cl ;
On note X l’écart entre q – 100 , en cl , où q est la quantité de jus dans une bouteille .
On admet que X suit la loi normale centrée réduite N (0,1) .
a. Déterminer au centième prés la valeur du nombre u tel que P(–u < X < u) = 90 %
b. En déduire un encadrement ,centré sur 100 cl , de la quantité de jus dans 90% des bouteilles .
Exercice 4
La température T relevée en janvier , en milieu de journée , suit la loi N (0,1) .
a. Interpréter dans ce contexte le fait que E(T) = 0
b. Justifier que , dans plus de 95% des cas , la température relevée est entre –2 ° et 2° .
c. Quelle est la fourchette de températures relevées dans plus de 99 % des cas ?
d. Donner une estimation de la probabilité d’avoir un jour de janvier une température supérieure à 2 °
IV.
Exemple 4 : Loi Normale générale
1. Définition
Si 𝝁 est un réel et 𝝈 un réel strictement positif
La variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres 𝝁 et 𝝈² , notée N ( 𝝁 ,𝝈² ) , si et
seulement si la variable aléatoire Z =
𝑿−𝝁
𝝈
suit la loi N ( 𝟎 ,𝟏 )
Remarque
Il existe ,bien sur, une fonction de densité g définie sur IR liée à une loi normale N ( 𝜇 ,𝜎² ) et donc telle
𝑏
que : P(a < X < b) = ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
mais son expression n’est pas au programme .
En fait , par changement de variable que vous apprendrez plus tard , on obtient g(x) = 𝜎
1
√2𝜋
𝑒
−
(𝑥−𝜇)2
2𝜎2
2. Exemples de fonctions de densité pour une loi normale N ( 𝝁 ,𝝈² )
10
3. Propriétés
Si la variable aléatoire X suit la loi normale N ( 𝝁 ,𝝈² )
Alors :
 P(X < 𝝁 ) = P(X > 𝝁 ) = 0.5
 Si a > 𝝁 alors P(X < a ) = 0.5 + P( 𝝁 < X < a )
 Si a < 𝝁 alors P(X < a ) = 0.5 – P( 𝒂 < X < 𝝁 )

pour les calculs il est utile de revenir à la valeur x = 𝝁 pour une loi normale N ( 𝝁 ,𝝈² )
4. Espérance et variance
Si la variable aléatoire X suit la loi normale N ( 𝝁 ,𝝈² )
Alors son espérance est E(X) = 𝝁 et sa variance est 𝝈²
( donc son écart type est |𝝈| )
5. Les intervalles « un , deux , trois sigmas »
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi N ( 𝝁 ,𝝈² ) et si Z =
𝑿−𝝁
𝝈
Z suit alors la loi N ( 𝟎 ,𝟏 )
On a alors P( 𝜇 – 𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝜎) = P( – 1 < Z < 1 ) ≈ 0.683 à la calculatrice
On montre de même que P( 𝜇 – 2𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 2𝜎) ≈ 0.954
Et P( 𝜇 – 3𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 3𝜎) ≈ 0.997
Retenir :
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi N ( 𝝁 ,𝝈² )
Alors :
 P( 𝝁 – 𝝈 < 𝑋 < 𝜇 + 𝜎) ≈ 0.683
 P( 𝝁 – 𝟐𝝈 < 𝑋 < 𝜇 + 2𝝈) ≈ 0.954
 P( 𝝁 – 𝟑𝝈 < 𝑋 < 𝜇 + 3𝝈) ≈ 0.997
11
6. Utilisation de la calculatrice
La calculatrice permet de calculer directement P(a < X < b ) lorsque X suit la loi normale N ( 𝝁 ,𝝈² )

Pour cela taper NormCD(« borne inf », « borne sup », « 𝝈 » , « 𝝁 ») (attention à l’ordre !!)

Par exemple NormCD( 0.5 , 1.3 , 0.8 , 2) ≈ 0.16039 donc P(0.5 < X < 1.3) ≈ 0.16039 lorsque X suit
la loi normale N ( 2 ,0.8² )
 Si on cherche , pour cette loi normale N ( 2 ,0.8² ) , p(X < 2.7 )
On utilise l’espérance 𝜇 = 2
p(X < 2.7 ) = 0.5 + P( 2 < X < 2.7) = 0.5 + NormCD(2 , 2.7 , 0.8 , 2)
On obtient p(X < 2.7 ) ≈ 0.809213
7. Exercices
Exercice 1
Les températures du mois de juillet au camping « les flots gris » de Loch Mordefraix suivent la loi normale
d’espérance 18.2 ° et d’écart-type 3.6 ° .
Les deux frères Tairieur ( Alex et Alain ) comptent aller camper là-bas en juillet .
Leur indiquer la probabilité que la température un jour de juillet soit :
a. Inférieur à 16 °
b. Comprise entre 20° et 24.5°
c. Supérieure à 21°
Exercice 2
Le club-house du Rugby Club de Mezidugnac (Lot et Garonne ) sert beaucoup de boissons . La consommation
(en cl ) de boisson locale à base de houblon ( le bobolacabessa )d’un supporter Lambda suit la loi normale
N ( 120 ,225 ) .
a. Donner la consommation moyenne d’un supporter du RCM ;
b. Quelle est la probabilité pour que Jo Tapedur , ancien talonneur du RCM , consomme entre 1,10 l et
1.35 l de bobolacabessa ?
c. Le jour du derby Mezidugnac contre Boitaclac-le-Groin , le club a servi 850 clients .A combien peuton estimer le nombre de supporters dont la consommation de bobolacabessa dépassait 130 cl ?
Exercice 3
Lors d’un test de QI dans la classe de TES , 70 % des élèves ont un score inférieur à 60 .
Sachant que les résultats suivent une loi normale d’écart-type 20 , calculer l’espérance de QI de Théo ?
Exercice 4
La variable aléatoire X suit la loi normale N ( 90 ,400 )
Les résultats seront données arrondis au dixième .
a. Déterminer le réel 𝑘1 tel que p(X < 𝑘1 ) = 0.98
b. Déterminer le réel 𝑘2 tel que p(X > 𝑘2 ) = 0.60
c. Déterminer un intervalle I centrée en 𝜇 tel que P( X ∈ I ) = 0.85
12
8. Remarque :Approximation normale d’une loi binomiale
Pour une loi binomiale
B(30,1/3) on obtient avec Excel
la représentation en colonnes suivante :
0.2
0.15
On peut remarquer que l’allure « en cloche » de
ce diagramme suggère la présence d’une loi
normale dont la représentation de la loi de
densité serait approchée par le diagramme en
colonnes .
0.1
0.05
0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
La fonction de densité représentée ci-contre
correspond à la loi normale N ( 𝜇, 𝜎²)
Avec 𝜇 = n p = 30 × 1/3 = 10
1
3
2
3
Et 𝜎 2 = npq = np(1–p) = 30× ( ) × ( ) =
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale
20
3
B(n,p)
On peut dire que :
Pour les grandes valeurs de n , X suit pratiquement la loi normale N ( 𝒏𝒑,np(1-p)) = N ( 𝒏𝒑,npq)
13