(X) = 1 - Maths au lycée Mezeray

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I. Définitions générales .
1. Rappels sur les lois de probabilités discrètes
a. Cas général
Une variable aléatoire X est dite discrète si elle ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs 
Sa loi de probabilité est alors donnée par le tableau suivant :
Tableau pouvant être représenté par un diagramme en bâtons
La somme des « longueurs des bâtons » devant être égale à 1
L’espérance de X est donnée par E(X) = 
 p(X =  )
Et la variance par V(X) = 
 p(X =  ) =   p(X =  ) – 
 Exercice :
Soit l'expérience aléatoire : "On lance un dé à six faces et on regarde le résultat."
On considère le jeu suivant :
- Si le résultat est pair, on gagne 1€.
- Si le résultat est 1, on gagne 5€.
- Si le résultat est 3 ou 5, on perd 2€.
On note X la variable aléatoire correspondant au gain .
Donner la loi de probabilité de X , son espérance mathématique et sa variance .
b. Cas de la loi binomiale B(n,p)
Dans un schéma de Bernoulli comportant n épreuves indépendantes avec ,pour chaque épreuve , 2 issues
possibles s et  de probabilités respectives p et q = 1 – p , et pour la variable aléatoire X correspondant au
nombre de succès s on a :
Loi de probabilité (loi binomiale ) donnée par 
Espérance donnée par E(X) = np
Variance donnée par V(X) = npq = n p (1–p)
 Exercice
On lance un dé supposé parfait 10 fois . X représente le nombre de sorties du 6 .
 Calculer p(X = 4) puis p(X 4 )
 Calculer l’espérance de X , sa variance et son écart-type .
p(X =
p(X =
p(X =
…
…
p(X =
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Probabilités : lois continues

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La loi de probabilité de l’exemple précédant est donnée par le tableau ci-dessous et sa représentation graphique
est jointe .
On conçoit alors que , pour un très grand nombre de lancés , la représentation en bâtons va être formée de
bâtons très rapprochés ( pour pouvoir mettre en abscisse toutes les valeurs de X ) donnant donc pratiquement
une surface . La somme des « longueurs des bâtons » (égale à 1 ) correspond alors à l’aire de la surface en
question et donc cette aire devant être égale à 1 .
OK cela est un peu « capilo-tracté » mais permet d’avoir une approche de la notion de variable aléatoire
continue .
En effet on peut rencontrer des variables aléatoires pouvant prendre une infinité de valeurs par exemple tous
les réels d’un intervalle .
2. Variable aléatoire continue .
a. Exemple
On s’intéresse à la probabilité de durée de vie en heure d’une ampoule électrique .
Si on note X la durée de vie et en supposant que la durée de vie maximum d’une ampoule est de 4 ans , on peut
considérer que X prend toutes les valeurs de l’ intervalle [0 ; 35 040 ] ( 35040 = nombre d’heures en 4 ans )
Chercher la probabilité de X = a n’a pas grand intérêt ( par exemple on se fiche un peu de connaître la
probabilité que l’ampoule ait une durée de vie de 1247 heures ! ) mais admettons que cette probabilité soit
donnée par une certaine fonction f . On aurait donc p(X = a) = f(a)
Pour que on soit en adéquation avec ce qui a été dit pour les lois discrètes , il faut donc , d’un point de vue
graphique , que la somme de toutes les « longueurs des bâtons » soit égale à 1 pour « a » allant de 0 à 35040 .
Et donc , que l’aire de la partie du plan sous la représentation graphique de f , au-dessus de l’axe des abscisses
et entre les droites d’équations x = 0 et x = 35040 soit égale à 1 .
On reconnaît là la traduction graphique de l’écriture de :
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011
x
p
0
0,16150558
1
0,32301117
2
0,29071005
3
0,15504536
4
0,05426588
5
0,01302381
6
0,00217064
7
0,00024807
8
1,8605E-05
9
8,2691E-07
10
1,6538E-08

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La probabilité de l’événement « b  » étant la somme des probabilités des évènements « X = a »
pour « a » variant entre b et c , par la même interprétation par les « bâtons » , on a :
P(b  ) = 
On voit bien que chercher la probabilité de « X = a » n’a pas de sens avec cette définition puisque on aurait :
P(X = a) = P(a  ) = 
 = 0
Pour les lois continues on calcule donc P(X  I ) où I est un intervalle inclus dans l’ensemble de définition de f
. b. Fonction de densité
c. Probabilité d’une variable aléatoire continue
On appelle fonction de densité ( ou densité ) sur l’intervalle I toute fonction f définie et positive sur
I telle que l’intégrale de f sur I soit égale à 1 .
Etant donnée une variable aléatoire continue sur l’intervalle I .On définit une loi de probabilité de la
variable aléatoire continue associée à la fonction de densité f sur l’intervalle I par :
Pour a et b dans I P(X  = P(  = 

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Remarques :
 P(X  = P(X  = P(X  = P(X  )
car P(X = a) = P(a  ) = 
 = 0 de même pour P(X = b)
 P(X ) = 
 Si X est à valeurs dans [a;b] alors pour tout c de [a;b] on a
P(X  = P( X  = 1 – P(X  = 1 – P( X  )
démonstration :
d. Espérance mathématique
Par analogie avec l’espérance pour une variable aléatoire discrète E(X) = 
 p(X =  )
En remplaçant la somme finie 
 par la somme  et p(X =  ) par f(x)
On a :
e. Exercice
Dans un état fictif , un fonctionnaire se tourne les pouces de manière continue .Soit X le nombre de tours de
pouces ( en milliers)effectués par jour . On admet que X prend ses valeurs dans l'intervalle [0 ; 20] avec une
densité de probabilité f définie par : f(x) = 0,015 x – 0,00075 x²
a) Démontrer que f est une densité de probabilité sur [0 ; 20].
b) Calculer la probabilité de l'événement E "le fonctionnaire se tourne les pouces plus de 12 000 fois".
c) Calculer l'espérance mathématique de X.
Etant donnée une variable aléatoire X continue sur l’intervalle [a ;b] associée à la fonction de densité
f sur l’intervalle [a ;b] on a :
E(X) = 

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a) Par étude du trinôme 0,015 x – 0,00075 x² on a 2 racines 0 et 20
( car 0,015 x – 0,00075 x² = x(0,015 –0.00075 x )
Et donc (signe du trinôme)
f(x)0
sur [0 ; 20].
De plus
f(t)dt 
0
20
0,0075t20,00025t3
0
20 0,00752020,0002520301
Donc f est bien une densité sur [0 ; 20].
b)
P(E)P(12 X20)
f(t)dt
12
20
0,0075t20,00025t3
12
20
0,00752020,000252030,00751220,00025123
10,648
0,352
c)
E(X)t f (t)dt
0
20
t f (t)dt
0
20
0,015t20,00075t3dt
0
20
0,005t30,0001875t4
0
20
0,0052030,00018752040
10
II. Exemple 1 : loi uniforme sur [a ;b]
1. Définition
Montrer que f est bien une densité sur [a ;b]
2. Propriété
Démonstration :
Soit a et b deux réels tels que 
La loi uniforme sur [a ;b] , notée  , est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction
constante f définie sur [a ; b], par : f(x) = 
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme 
Alors, pour tout t de [a ; b] , on a : P( X  = 