Fiche sur le triangle rectangle

TRIANGLE RECTANGLE
Ce qu’il faut savoir.
Triangle rectangle et cercle circonscrit
Direct : le centre du cercle circonscrit à
un triangle rectangle est le milieu de son
hypoténuse.
Réciproque : un triangle inscrit dans un
cercle de diamètre un de ses côtés est un
triangle rectangle.
Ce qu’il faut savoir faire.
Démontrer qu’un triangle est rectangle
Soit [AB], de 6 cm de longueur, et C
un point du cercle de diamètre [AB],
tel que AC = 4 cm.
Quelle est la nature du triangle
ABC? En déduire la longueur BC.
ABC est inscrit dans le cercle de diamètre
[AB] donc il est rectangle en C (inutile d’en dire
plus !).
•
Théorème de la médiane :
Direct : La médiane issue de l’angle droit
d’un triangle rectangle a pour longueur la
moitié de celle de l'hypoténuse.
Réciproque : si dans un triangle ABC, la
BC
médiane issue de A est telle que IA=
, ABC est rectangle en C.
2
Théorème de Pythagore
Direct : dans un triangle ABC, rectangle en A le carré de l'hypoténuse
est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit :
AB² + AC²= BC²
Réciproque : dans le triangle ABC, si on a : AB² + AC²=BC² , alors
ABC est rectangle en A.
Soit ABC un triangle tel que AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 9
cm. Quelle est la nature de ce triangle ?
BC² =9²=81
AB² + AC²=6²+ 8²=100
BC² ≠AB² + AC²
Si le triangle était rectangle, d'après le théorème de Pythagore, on
aurait AB² + AC²=BC² ce n'est pas le cas donc le triangle n'est pas
rectangle
•
Calculer une longueur.
• Dans MNP rectangle en M, tel que NP = 12 cm, calculer la
longueur de la médiane issue de M, MI.
D’après le théorème de la médiane, la médiane issue de l’angle droit
a pour longueur la moitié de l'hypoténuse donc
cm.
Soit le triangle ABC rectangle en C, tel que AB = 6 et AC
= 4. Calculer BC
Dans ABC rectangle en C d’après le théorème de Pythagore :
AB² = AC ²+ BC² .
D’où : BC² =AB² − AC² =6²−4²=36−16=20
Ainsi BC=√ 20 .
•
Remarque : on ne calculera la valeur décimale de BC que si l’énoncé demande une
valeur approchée.
TRIANGLE RECTANGLE
Ce qu’il faut savoir
Surtout ne jamais oublier qu’on ne peut utiliser la trigonométrie
que dans un triangle rectangle ! !
Dans ABC rectangle en A :
̂ côté adjacent = AB
cos B=
hypotènuse
BC
̂ côté opposé = AC
sin B=
hypotènuse BC
̂ côté opposé = AC
tan B=
côté adjacent AB
Ce qu’il faut savoir faire
Calculer une longueur ou un angle
Dans le triangle BCD rectangle
̂
en D, calculer BCD
et la
longueur BC, en n’utilisant que la
trigonométrie.
Dans ABC rectangle en B,
D’où
Deux formules trigonométriques
Pour tout angle x
sin x
(cos x) ²+(sin x ) ²=1 et tan x=
cos x
Quelques valeurs à savoir
Angles
0°
30°
√3
BD 12
=
BC 15
12
̂
BCD=arcsin
( )≈53 ° .
15
Dans BCD, rectangle en D,
BD
̂
tan BCD=
CD
D’où en remplaçant par les valeurs connues
45°
60°
90°
√2
2
1
2
0
cosinus
1
sinus
0
1
2
√2
√3
2
2
tangente
0
1
√3
1
2
̂
sin BCD=
1
√3
Quand deux angles sont complémentaires (leur somme est de 90°),
le sinus de l’un est égale au cosinus de l’autre.
On remarque aussi que leurs tangentes sont inverses l’une de l’autre.
tan 53=
12
.
CD
Ainsi CD=12×tan 53≈16
Conseils pour le brevet
Avant de se lancer dans les calculs bien repérer les données du texte
:
Quels sont les côtés que l’on connaît ? Que cherche-t-on ?
Quelle va être la relation trigonométrique que l’on va utiliser ?
Ne pas oublier de faire la différence entre valeur exacte et valeur
approchée.
Sin, cos et tan servent à calculer des longueurs.
Sin-1 , cos-1 et tan-1 servent à calculer des angles.