dx - WordPress.com

2 L a l i n é a r i s a t i o n e t l a d i f f é r e n t i e l l e
De nombreuses disciplines utilisent les fonctions. Nous les rencontrons dès qu'il s'agit
d'étudier un phénomène dépendant d'une ou de plusieurs variables (dans ce cours,
nous nous limitons à une variable). Ce phénomène se traduit par une fonction qu'il
faut définir et que l'on peut ensuite étudier, manipuler et représenter par un graphique.
Bien souvent, cette fonction est relativement complexe et son maniement exige des
calculs compliqués.
La linéarisation permet, sous certaines conditions, de remplacer les calculs à effectuer
sur cette fonction par des calculs que l'on effectue sur une droite à peu près
équivalente à celle-ci sur un certain intervalle. Les calculs sur une droite sont bien plus
simples que sur la fonction originale et c'est là l'intérêt d'utiliser cette linéarisation.
Cette droite qui, à certaines conditions, équivaut à la fonction, c'est tout simplement la
tangente à cette fonction. Il suffit que le travail effectué sur la fonction le soit « dans
le voisinage » du point de tangence.
C'est ce que l'on appelle « linéariser » une fonction et cela débouche sur le concept de
« différentielle » particulièrement utile en physique.
2.1 La linéarisation d'une fonction
En sciences il arrive souvent que nous ayons à travailler sur une fonction dont la
définition est relativement complexe. Il est alors utile de remplacer cette fonction par
une qui est beaucoup plus simple et qui lui est équivalente dans la région où l’on doit
effectuer les calculs. Cette fonction plus simple est la tangente à la fonction au point
central de cette région.
Considérons par exemple le calcul de y=f x
(
)
=x+2 aux environs de x = 3. Plutôt
que de travailler sur cette fonction, il est plus facile de travailler sur sa tangente au
point d'abscisse x = 3, qui se traduit par une équation linéaire du premier degré.
Représentons d'abord cette fonction et sa tangente au point d'abscisse x = 3.
x
y
Aux environs de x = 3, la tangente est assez proche de la fonction. Cela devient encore
plus clair si nous effectuons une série de « zooms » autour du point 3, 5
(
)
. Nous
obtenons la série de figures suivantes :

page 5-2 Chapitre 5 Applications de la dérivée
x
y
x
y
x
y
x
y
Entre x = 2 et x = 4, la courbe et sa tangente au point d'abscisse x = 3 sont presque
confondues. Les résultats obtenus sur la tangente seront très proches de ceux qui
seraient obtenus sur la courbe.
Exemple
Déterminons maintenant l'équation y = L(x) de la droite D, tangente à la fonction
définie par y =f x
(
)
=x+2 au point d'abscisse a = 3.
Solution
Cette droite D est définie par L(x) = mx + b. Déterminons son équation sous la
forme explicite selon la procédure que nous avons utilisée à plusieurs reprises.
Calcul la pente m
Cette droite étant une tangente, sa pente m sera définie au point d'abscisse a
par m
=
′
f a
(
)
, soit ici :
m= ′ f a ( ) =
1
2a+2

Chapitre 5 Applications de la dérivée page 5-3
Au point d'abscisse
a
=
3
, nous obtenons m= ′ f 3 ( ) =
1
2 3 +2=
1
2 5
Calcul de l'ordonnée à l'origine b
Cette droite y=L x ( ) =
1
2 5 x+b passe par le point de tangence
3, 5
(
)
, elle
doit donc le vérifier, ce qui implique 5=L3 ( ) =
1
2 5 .3 +b. Donc :
5=
1
2 5 .3 +b
Nous obtenons alors :
b=5−
3
2 5 =
7
2 5
Nous en concluons qu'aux environs du point d'abscisse x = 3, la fonction
y = f x
(
)
= x + 2 est « linéarisée », c'est-à-dire qu'elle équivaut
approximativement à la droite L x ( ) =
1
2 5 x+
7
2 5 .
Nous pouvons généraliser ce résultat par la définition suivante :
Définition 1
Si la fonction y = f(x) admet une dérivée au point d'abscisse x = a, alors la
droite L x
(
)
=
mx
+
b où m
=
′
f a
(
)
et b
=
f a
(
)
−
m.a sous la forme
explicite.
L x
(
)
est une approximation linéaire de f(x) au point d'abscisse x = a.
Ici, comme bien souvent, il est recommandé d'utiliser la méthode générale permettant
d'obtenir l'équation d'une droite sous forme développée plutôt que de mémoriser
l'équation de la droite de linéarisation.
Remarque
Au point d'abscisse a lui-même, nous avons L a
(
)
=
′
f a
(
)
a
+
f a
(
)
−
′
f a
(
)
a
=
f a
(
)
.
Exemple
Définissez la droite de linéarisation L(x) de y = f x
(
)
= x + 1
3
pour x variant autour
de 0.
Solution
Reprenons la procédure permettant d'obtenir l'équation de la droite de
linéarisation L x
(
)
=
mx
+
b sous la forme développée.

page 5-4 Chapitre 5 Applications de la dérivée
Calcul de la pente m
La dérivée de f(x) est
′ f x ( ) =
1
3x+1 ( )23
Nous en déduisons :
m= ′ f 0 ( ) =
1
3
Calcul de l'ordonnée à l'origine b
Sachant que la droite passe par le point 0, f0
(
)
(
)
, nous avons :
b
=
f0
(
)
−
m.0
=
f0
(
)
=
1
L'équation de la tangente L(x) au point x = 0 est donc :
L x( )=
1
3
x+1
Nous pouvons vérifier sur le graphique ci-dessous que la droite L(x) représente
bien la linéarisation de la fonction f(x) autour de x = 0.
2.2 La différentielle
2.2.1 La définition
Poursuivons notre raisonnement sur la linéarisation.
Supposons que nous connaissons bien la fonction y = f(x) au point d'abscisse
x = a : valeur de la fonction, valeur de la dérivée, etc. Nous voulons alors
évaluer l'impact sur la fonction d'un petit changement h de la variable x autour
de a.
Cette situation est représentée sur la figure ci-dessous :

Chapitre 5 Applications de la dérivée page 5-5
aa+h
f a
( )
f a +h
( )
L a +h
( )
h=dx
∆y
f x
( )
L x
( )
x
y
dy = ∆L
Cet impact se représente par la variation
∆
y
de la fonction :
∆
y
=
f a
+
h
(
)
−
f a
(
)
.
Mais cet impact
∆
y
est souvent compliqué à calculer. Nous devons en effet
évaluer la valeur de la fonction en deux points très proches, ces deux calculs
pouvant être fastidieux selon la définition de la fonction y
=
f x
(
)
.
Considérons plutôt la tangente L x
(
)
.
Sur la tangente L(x) qui linéarise la fonction f(x) au point d'abscisse a, cet
impact se représente par la variation
dy
=
∆
L
que nous allons définir.
La pente de la droite L x
(
)
au point d'abscisse
x
=
a
est donnée par :
m= ′ f a ( ) =
dy
dx
a
Donc, au point d'abscisse x = a, nous avons :
dy
=
′
f a
(
)
dx
Si nous généralisons, en un point d'abscisse x quelconque, nous aurions :
dy
=
′
f x
(
)
dx
dy est appelée la différentielle de la fonction y = f(x). Cette différentielle dy est
due à la variation dx de la variable indépendante x. Cette variation dx est aussi la
différentielle de x. Cela se traduit par la définition ci-dessous :